高二数数列练习题答案

1、- .高二数列专题 S1 n . 1 ,已知 Sn 求an ,应分 n 1 时 a1； n 2 时, an 1 S n 与an 的关系： an Sn S n 1 n 1 = 两步,最终考虑 a1 是否中意后面的 an 2.等差等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n a n 1d （ n 2 ） a n 1 qn N * an 通项 an a1 n 1d , an am n md , n m , 中项 假如 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中 假如 a, G ,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 项 A a b ； b 的等比中项 2 等比中项的设法： a

2、, a , aq 等差中项的设法： q 前 n Sn n a1 a n , Sn na 1 n n 1 d 如 如 m n p q ,就 * 项和 2 2 性 质 am an ap aq m, n, p,q N , m n p q *如 2m p q, 就有 a 2 m a p a q , p,q,n,m N 2m p q ,就 Sn , S 2 n Sn , S 3n S2n 为等比数列 Sn , S 2n Sn , S 3 n S 2 n 为等差数列 函数 an dn a 1 d An B 2Bn an a 1 qn q Aqnn q n 看数 sn 2 a 1 d n An a1 d n

3、2 2 sn a1 列 2 A Aq q 1 1 q 1 q 第 1 页,共 13 页- - .（ 1 ）定义法：证明 an 1 n N 为一个常数 *判定 （ 1 ）定义法：证明 an 1 an n N 为一个常数； *（2 ）中项：证明 an2 an a n 1 n N *, n 2 a n 1 （ 2 ）等差中项：证明 2a a a n N * , 方法 n n 1 n 1 n 2 （ 3 ）通项公式： an cq nc, q 均是不为 0常（ 3 ）通项公式 : an kn b k,b 为常数 n N *数） （ 4 ） sn An 2Bn A, B 为常数 n N* （4 ） snA

4、q n1A A,q 为常数,3. 数列通项公式求法； （ 1）定义法（利用等差,等比数列的定义） A 0,q 0,1 ） kan b 型） 6 ；（ 2 ）累加法 （3 ）累乘法（ an 1 cn 型）； 4 利用公式 an S1 n 1 ；5 构造法（ an an Sn S n 1 n 1 倒数法 等 4.数列求和 （1 ）公式法；（ 2 ）分组求和法； （ 3 ）错位相减法； （ 4 ）裂项求和法； （ 5）倒序相加法； 5. Sn 的最值问题 ：在等差数列 an 中, 有关 Sn 的最值问题常用邻项变号法求解： ,留意转化思想 1 当 a1 0, d 0 时,中意 am a m 1 0

5、的项数 m 使得 Sm 取最大值 . 0 2 当 a1 0, d 0 时,中意 am a m 1 0 的项数 m 使得 Sm 取最小值； 0 也可以直接表示 Sn ,利用二次函数配方求最值；在解含确定值的数列最值问题时 的应用； 6.数列的实际应用 现实生活中涉及到银行利率,企业股金,产品利润,人口增长,工作效率,图形面积,等实际问题,常 考虑用数列的学问来解决 . 训练题 一,选择题 1.已知等差数列 an 的前三项依次为 a 1, a 1 , 2a 3 ,就 2022 是这个数列的 B 第 2 页,共 13 页- - .A.第 1006 项 B. 第 1007 项 C. 第 1008 项

6、D. 第 1009 项 2.在等比数列 an 中, a6 a5 a7 a 5 48 ,就 S10 等于 （ A ） A 1023 B 1024 C 511 D 512 3如 an为等差数列,且 a7 2a4 1,a30,就公差 d C. 1 D 2 A 2 1 B 2 2 由等差中项的定义结合已知条件可知 1 2a4 a5a 3, 2da 7a5 1,即 d . 应选 B. 2 4.已知等差数列 an的公差为正数,且 a3 a7= 12, a4+a6= 4,就 S20 为 A B. 180 D. 90 5.（ 2022 青岛市）已知 an 为等差数列 ,如 a1 a5 a9 ,就 cosa 2

7、 a8 的值为（ A ） a ,应选 A 1 B 3 C 1 D 3 2 2 2 2 6在等比数列 a 中,如 n a a a a a 243 3 5 7 9 11 a92 ,就 的值为 a11 A9 B 1 C2 D3 a7a11 解析 由等比数列性质可知 aa a a a 5 243 ,所以得 a 3 ,又 2 a 9 3 5 7 9 11 7 7 a11 a11 7 D. 7已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,a1 a5 1 S5 ,且 a 9 2 20,就 S 11 A260 B220 第 3 页,共 13 页- - .C130 D110 aa 1 a a aa 1 5 1 11

8、 3 9 解析 S5 5,又 S5 a1a5,a1 a5 0.a3 0,S11 1 2 2 2 2 020 11 11 110 ,应选 D. 2 ,就 8 各项均不为零的等差数列 a 2 a a *, n 2 S 等于 n n n 1 n 1 2 009 A0 B2 C2 009 D4 018 2 * 2 ,就 an 解析 各项均不为零的等差数列 an,由于 anan 1 an1 0nN ,n 2 2an 0, an2,S2 009 4 018 ,应选 D. 9数列 an是等比数列且 an 0 ,a2a4 2a3 a5 a 4a 625 ,那么 a3a5 的值等于 2 A5 B10 C15 D

9、20 解析 2 2 2 2 由于 a 2a4a3,a4 a6 a5,所以 a2a4 2a3 a5 a4a6 a32a3a5 a5a3a5 25. 所以 a 3 a5 5. 又 a n0 ,所以 a3a5 5.所以选 A. 10. 首项为 1,公差不为 0 的等差数列 an中, a3 ,a4, a6 是一个等比数列的前三项,就这个 等比数列的第四项是 A8 B 8 C 6 D不确定 答案 B 解析 2 4 36. 1 2 3 1 2 1 5 a a a d d d . dd 1 0. d 1, a3 1,a4 2, q2. a6a4 q 4,第四项为 a 6q 8. 第 4 页,共 13 页-

10、- .11. 在 ABC 中, tan A 是以 -4 为第三项, 4为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 1 为第三项, 9 为第六项 3 的等比数列的公比,就这个三角形是 B C A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 非等腰的直角三角形 12 ,（ 2022 澄海）记等差数列 an 的前项和为 sn ,如 s3 s10 ,且公差不为 0 ,就当 sn 取最大值时, n （ A4 或 5 B 5 或 6C 6 或 7 D 7 或 8 13 在等差数列 a n中,前 n 项和为 Sn ,且 S 2 011 2 011 ,a1 007 3,就 S 2 012 的值为

11、 A1 006 B 2 012 C2 012 D 1 006 答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,依据题意可得, S 2 011 a d 2 011 , 2 011 1 2 a1 007 a1 1 006 d 3, a1 4 021 ,a11 005 d 1, 即 解得 d4. da11 006 d 3, 所以, S 2 012 2 012 a 1 2 2 012 4021 2 012 2 011 2 2 012 4 022 4021 2022. 方法二 由 S 2 011 a1a2 011 2 011 a 1 006 2 011 , 解得 a 1 006 1 ,就

12、2第 5 页,共 13 页- - .14 S2 012 a1 a 2 012 2f a1 006 a1 007 1 2 012. 2 n 2 2 n nN*,且 f1 2,就 f20 设函数 fx 中意 fn1 2 B A95 f B97 C105 D192 f 19 , 2 解析 nf 1 fn fn , 2 . f 18 , 2 f f 1 . 2 累加,得 f20 1 f1 2 . 19 1920 f1 97. 15. 已知数列 2 2 2 4 B ） an 的前 n 项和 Sn 中意 log 2（ Sn 1 n 1,就通项公式为（ A. an 2n n N *B. an 3 n n 1

13、 2 n 2 C. an 2n 1 n N * D. 以上都不正确 16. 一种细胞每 3 分钟分裂一次,一个分裂成两个,假如把一个这种细胞放入某个容器内,恰好一小时布满 该容器,假如开头把 2 个这种细胞放入该容器内,就细胞布满该容器的时间为 （ D） 第 6 页,共 13 页- - .A15 分钟 B 30 分钟 C 45 分钟 D 57 分钟 二,填空题 1,等差数列 a n的前 n 项和为 S n,如 a2=1,a 3=3, 就 S4= a = 1 18. = 6 . 48 2.（ 2022 广东理, 2 ）记等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ,如 ,S =20 ,就 S 4

14、 23. （ 2022 广州一模）在等比数列 an 中, a1 1,公比 q 2 ,如 a n 64 ,就 n 的值为 . 74.（ 2022 海南,宁夏理, 4）设等比数列 a n 的公比 q=2, 前 n 项和为 S n,就 S4 = . 15 a2 25.等差数列 a ,b 的前 n 项和分别为 S 和 T ,如 Sn 2n ,就 a100 n n n n Tn 3n 1 b100 a a 1 199 答案 199 解析 a100 2 S 199 199 299 b100 b1 b199T 199 299 2 6,数列 an 的前 n 项和记为 Sn , a1 1,an 12Sn 1 n

15、 1 就 an 的通项公式 解：（）由 an 12Sn 1 可得 an 2Sn 1 1 n 2 ,两式相减得 an 1 an 2an ,an 1 3an n 2 又 a 2 2S 1 1 3 a2 3a 1 故 an 是首项为 1,公比为 3 得等比数列 an 3n 1 7已知各项都为正数的等比数列 2 4 4,a1231 an2 1 的 9 最大正整数 n 的值为答案 4 解析 设等比数列 a n的公比为 q,其中 q0 ,依题意得 2 aa 4.又 a 0,因此 a 3 2 4 3 3 1 2 2, a 1 a a a q 12 ,由此解得 q 1 , a 8, a 1 n1 2 4n,

16、a a a n n 1 n 2 1 1 2 1 n 2 2 293 n . 由于 2 3 1 1 ,因此要使 29 3n 1 ,只要 9 3n 3,即 n 4,于是中意 an an 1 an 8 9 91 2 的最大正整数 n 的值为 4. 9第 7 页,共 13 页- - .8等比数列 an的首项为 a 1 1,前 n 项和为 Sn,如 S10 31 ,就公比 q 等于 ,所以 q .1 S5 32 答案 1 解析 S10 31 由于 ,所以 S10S5 31 32 1 q 5 1 ,即 5 2 S5 32 S5 32 32 2 2 三,解答题 1（ 2022 山东理数）（ 18 ）（本小题

17、满分 12 分） 1 , n+1 已知等差数列 an 中意： a3 7 , a5 a7 26 , an 的前 n 项和为 Sn （）求 及 Sn ； （）令 bn= 1 1 n N*,求数列 bn 的前 n 项和 Tn an an 2 1【解析】（）设等差数列 an 的公差为 d ,由于 a3 7 , a5 a7 26 ,所以有 a1 2d 7 ,解得 a 13,d 2 , 2a1 10d 26 所以 an 3 2 （ n 1=2n+1 ； Sn = 3n+ nn-1 2 = 2 n +2n ； 2 （）由（）知 2n+1 ,所以 bn = an 1 = 1 = 1 1 1 1 2 1 （2n

18、+1 24 nn+1 4 n 1 所以 Tn 1 1 1 1 = 1- + + + - 1 1 1- 1 = n , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4n+1 即数列 bn 的前 n 项和 Tn = n ； 4n+1 2（全国新课标理 17 ） 已知等比数列 a n 的各项均为正数,且 2a1 3a2 1,a 32 9a 2a6 1 （I ）求数列 an 的通项公式 （ II）设 bn log 3 a1 log 3 a2 log 3 an ,求数列 bn 的前 n 项和 2 3 2 q 2 1 q 1 2 解：（）设数列 an 的公比为 q ,由 a3 9a2 a6 得 a 3 9a4

19、 所以 9 由条件可知 c0 ,故 3 1 1 a1 由 2a 1 3a2 1 得 2a 3a q 1 2 1 ,所以 3 故数列 an 的通项式为 an= 3n 第 8 页,共 13 页- - .1 2 . n （ ） bn log 3 a1 log 3 a2 . log 3 an nn 1 21 1 1 1 . 11 n n 1 2n 2 1 2 2 1 1 1 1 . 1 故 bn n n 1 n n 1 b1 b2 bn 2 2 3 n 1 所以数列 1 2n bn 的前 n 项和为 n 1 3. 本小题满分 12 分已知 an是各项均为正数的等比数列, 且 a 1 a22 1 1 ,

20、a3 a4a 5 64 1 1 1 项和 T . a1 a2 a3 a4 a5 1 求a 的通项公式； 2 设 b a 1 2,求数列 b 的前 n n n n an n n 解析 1 设 a n的公比为 q,就 an a q n 1 由已知,有 1 a1 a 1q2 1 1 , 1 2 1 3 1 4 , 化简,得 2 a1 q2, a1 a1q 2 6 a1 q 64. a q 1 2 1 3 a q a q 1 4 64 q a q a 又 1 0,故 q2, 1 1 1 an 1 2 . 11. 所以 n 2 由1 知, b n an 1 1 24n 11 2. 2 2 2 n n 1

21、 an a 4 1 因此,Tn 14. 4n 1 4n1 1 2n 14n1 4 1 4n1 2n 34 1 n 4 1n 2n 1 411 4 . 第 9 页,共 13 页- - . 1. 4.（山东省济南市 2022 ） 2, 5S 5 2S8 . 已知 an 为等比数列, a1 1,a 5 256 ； Sn 为等差数列 bn 的前 n 项和, b1 （1 ） 求 an 和 bn 的通项公式；（ 2） 设 Tn a1b1 a2 b2 an bn ,求 Tn . 解：（ 1） 设 an的公比为 q,由 a5=a 1q4得 q=4 所以 an=4 n-1 .设 bn 的公差为 d ,由 5 S

22、 5=2 S 8 得 55 b1 +10 d=28 b1+28 d, d 3 a1 3 2 3 , 2 2 所以 bn=b1 + n-1 d=3n-1. （ 2） T n=12+45+428+.+4n-1 3 n-1, 4Tn=42+425+438+.+4 n3 n-1, - 得： 3 Tn=-2-34+4 2+. +4 n+4 n3 n-1 = -2+41-4 n-1 +4 n3 n-1 n 2 n =（ n- 2 1 1 n2 n 2 , n N . *3 3 5（ 2022 广东理） 设数列 n的前 项和为 n Sn .已知 a1 1 , 2Sn an a 求a2 的值； 求数列an 的

23、通项公式； n 3 3 1 证明 :对一切正整数 n , 有 1 1 7 . a1 a2 an 4 【解析】 依题意 , 2S 1 a2 1 1 2 ,又 S1 a1 1,所以 a2 4 ； 3 3 2 n , n12 n 1 当n 2 时, 2S n nan 1 1 n3 3 1 n 1 a n n2 2Sn 1 n13 两式相减得 2a n nan 1 n 1 a n 3 2 3 3 1 3n23n 1 2n 1 2 整理得 n 1 a na n n 1 3 ,即 a n 1 an 1 a ,又 2 a1 3 1 n 1 n 2 1 第 10 页,共 13 页- - .故数列 an 是首项

24、为 a1 1 1 , 公差为 的等差数列 , 4 1 1 an21 1 1,n N , 且 n 1 所以 an 1 n 1 1 n ,所以 a n n2 . 1 1 157 ； n 1 7 ；当 n 1 2 时 , 当 n 1 时 , 1 a1 4 a1 a2 4 4 当 n 3 时 , 1 1 1 1 1 ,此时 an n 2 n 1 n n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a1 a2 an 4 3 2 42 n2 4 2 3 Sn 3 4 n 1 n 1 1 1 1 7 1 7 1 1 7 . 4 2 n 4 n n ,有 1 4 综上 ,对一切正整数 a1 a2

25、an 4 6（本小题满分 14 分）设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 ,中意 4Sn1 4n a2 , a5, a14 构成等比数列 1 证明： a 2 4a1 5 ； 2 求数列 an 的通项公式； 4a1 5 3 , 3 证明：对一切正整数 n ,有 1 1 1 1 1 a1a2 a2 a3 a a n n 2 1.【解析】（ 1）当 n 1 时, 4a1 a225, a2 24a1 5, an 0 a2 （ 2）当 n 2 时, 4S a2 n 4 n 1 1, 4an 4Sn 4Sn 1an 21an 24 n 1 ,解得 a2 2 an2 1 an24an 4 a n 2

26、 , an 0 a n 1an 2 当 n 2 时, an 是公差 d 2 的等差数列 . a2 , a5 , a14 构成等比数列, a52a2 a14 , a2 8 2 a2 a2 24 1 由（ 1）可知, 4a 1 a2 2 5=4, a 11 a2 a1 3 1 2 an 是首项 a1 1,公差 d 2 的等差数列 . 数列 an 的通项公式为 an 2n 1 . （ 3 ） 1 1 1 1 1 1 1 a1 a2 a2 a3 anan 11 3 3 5 5 7 2n 1 2n 第 11 页,共 13 页- - .1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n 1 2 3 3 5 5 7 2n 1 1 1 1 1 . 2 2n 1 2 7.（此题满分 14 分） a2 a5 是方程 x 2 12x 27 0 的两根 , 数列 an 是公差为正的等差数列,数列bn 1 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn 1 bn n N . 2 1 求数列 n n 的通项公式 记 n n