2020年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学

1、2020 普高等学校招生全统一考试（江卷）数学本试题分选择题和选择题部分 全卷 页，选择题部 1 2 页非选择 题部分 3 至 页满分 分考试用时 钟.考生注：1题前，务必将自己姓名、考证号用黑字迹的字笔或钢笔别填写 在试题和答题纸规的位置 .2答题时请按照答题纸 “注意事 ”的求，在答纸相应位置规范作， 在本试卷上的作答律无效参考公：如果事 斥么 ( A ) ( A) ( )如果事 A 互独立，那P ( ( 如果事 在一次验中发的概率是 ， 那么 次立重复试验事件 好发生 k 的概率柱体的积公式 V 其中 表示柱体的面积， 示柱体高锥体的积公式 其中 表示锥体的面积， 示锥体高 球的表积公式

2、P ( ) C p (1 ) n ( 0,1,2, ) 台体的积公式 V ( S S h其中 S , S 分表示台的上下底面， 1 2 表示台体的高球的体公式 3其中 表示球的半径选择题分（共 40 ）一、选题：本大题 小题，每小题 分，共 分在每小题给出四个选 中，只一项是符合目要求 .已集合 = 4，Q =（ ）A. 2B. | 2 | 3 4 4【答案】【解析】【分析】根据集合交集定义求解【详解】 (2,3)故选：【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础已 a ， 2)ii为虚数单位是实数，则 a=（ ） D. 2【答案】【解析】【分析】根据复数为实数列式求解即可【详解】因

3、为( a a i为实数，所以 ，故选：点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础【若数 ，y 满约条件 x x y ，则 z=2x+y 的值范围是（ ）( 44, C.5, ( 【答案】【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小 值从而确定目标函数的取值范围即【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y x ，其中 z 取得最大值时，几何意义表示直线系在 y 轴的截距最大 z 得最小值时，其几何意义表示直线系 轴的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 处得最小值，联立直线方程： x x y ，可得点

4、A 的标为： ，据此可知目标函数的最小值为：且目标函数没有最大.z min故目标函数的取值范围是 故选：【点睛】求线性目标函数 zby(ab的值，当 b ，直线过可行域且在 上截距最大时， 最大，在 y 轴距最小时，z 值小；当 b ，直线过可行域且在 y 轴截距 最大时， 最小，在 y 轴截距最小时，z 值函 x+sinx 在区间，的象大致为（ ） C.【答案】【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在 x 的数值排除错误选项即可确定函数的图 象.【详解】因为f sin ，则f ，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项 CD 错；且 ，y ，据此可知选项

5、 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手从函数的定义域，判断图的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的特点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、 筛选选项某何体的三视图（单位）如图所示，则该几何体的体积（单位）是（ ）A.B.C. D. 【答案】 【解析】【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体.【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为 ，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为 ，所以

6、几何体的体积为： 故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础.已空间中不过同一点的三条直线 nl，则m，l 的（ ）在同一平面是m，l两两相交 充分不必要条件C. 充必要条件 必不充分条件 既充分也不必要条件【答案】【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条【详解】依题意 n l是空间不过同一点的三条直线，, nn n 1 , nn n 1 2n4 4 当 n l在同一平面时，可能 /n /l，故不能得出, , l两两相当 n l两两相交时，设 A, m l l ，根据公理 可 确一个平面 ， m ，根据公理可知，直线即l ，所以 m n, l

7、在同一平面.综上所述， n, l在同一平面是 n, l两两相交”的必要不充分条.故选：【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公 和理 的用，属于中档已等差数 前 n 项 S ，差 0， 列等式不可能成立的是（ ） 记 =S ， = ， n 下 a =a + =b +C. a b b 2 【答案】【解析】【分析】根据题意可得，b a n n 2 2 ，而b a 1 2 1 ，即可表示出题中b , b , b b 2 4 ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立【详解于 为列n列以根据等差数的下标和性质 2 可得， 2 6， 正；对于 ，题意可知，b a ， a n n 2 2 1

8、2 1 2， b a ， ， b a ， b 2 4 4 8 11 16 a 4 7 8，b 2 3 根据等差数列的下标和性质，由3 7,4 可得b =2 2 4 12 7 4， 正确；对于 ， a 8 1 a 1，当a 时， a ，C 确； 2 y 2 y 对于 ， b d d d ，b b 2 15161 1 12，b 4 2a d 1 当 d 时，a d ， 3 a 1 1 即 b b 8；当 时，a d1， a 1 即b 2 b 8，所以b 2 b ，D 不确故选：【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题已点 O0，02点 P 满PA PB， P 为数 y 4 图像上的点，则

9、|=（ ）A.222B. 710【答案】【解析】【分析】根据题意可知 P 在双曲线的一支上在数 y 坐标，得到 OP 的2的图象上可出点 P 的【详解】因为 PB | ，所以点 P 以 为焦点，实轴长为 2，焦距为 的双曲 线 的 右 支 上 ， 由c 2, a 可 得 ，b ， 即 双 曲 线 的 右 支 方 程 为2 3，而点 P 还函数 4 2 的象上，所以， 由 3 2，解得 3 ，即 OP 故选：【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题已 a，bR 且 ，(xa)()(b0 在 x 上成立，则（ ）A. 0 【答案】

10、【解析】【分析】对 a 分 a 与 a 两情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答【详解】因为 ab ，所以 且 b ， ( x x x )，则f ( x)零点的为x , b, a 1 2 当 时，则x 2 ， ，要使 x) ，必有 a，且 b ，即 b ， b ，以 0 ；当 时则x ， ，使 f ( ) 2 ，必有 0 综上一定有 b 故选：【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道 中档题10.设合 ， N*， N*， 至少有两个元素，且 S，T 满足：对于任意 x， ， ，都有 xy 对于任意 x， ，若 x，则yxS；下列命题正确的是（ ） 若

11、 S 有 元素，则 S 7 元素 若 S 有 4 个素，则 有 6 个素C. 若 元素，则 有 4 个素 若 S 3 个素，则 ST 有 5 个素 【答案】【解析】【分析】3 4 3 2 1 4 1 3 4 3 2 1 4 1 分别给出具体的集合 和集合 T用排除法排除错误选项后明剩余选项的正确性即 【详解】首先利用排除法：若取 4 个元素，排除选项 D；若取 ，包含 5 个元素，排除选项 ；若取 8,16,32,64,128 2,4,8,16,32,64,128 元素，排除选项 ；下面来说明选项 A 正确性：设集合 p , 2 p 2 3 ，p p , p 3 *，则p 1 4，且p , p

12、 1 2 2 ，则4 1， p p p 同理 ， ， S ， 3 S ， 2 p p2 2 1 1，若p 1，则p 2，则 p3 p ，故 p p2 2即 23 2，又 p p p 4 ，故 4 p p p 22 2，所以 4 ，故S p3 p 2 T , ， p 42S，矛盾，舍.若p 21，则 p2 3 p ， 3 , 2 p p p p1 1 1即p , p ，又 p p 4 ， 4 p 31 2 1，所以p 4 1，故S , p3 4 6 , 7 1 1 1 若 ， 则 1，故 1 p i i 4 1，故q i , i 1,2,3, 4，即 p , p 6 , 7 , 5 p p7 1

13、 1，此时S T 2 , p , , p , 1 1 1 即T中有 元.n 3 5 5 1 1 n 3 5 5 1 1 故 A 正.故选：A.【点睛“新定义主是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解但是，透过现象看本质，们考查的还是基础数学知识，所以新题”不一定“难 题，握好三基，以不变应万变才是制胜法非选择部分（共 分）二、填题：本大题 小题，共 分多空题每小 分，单空题每题 4 分.11.已数列 足【答案】 = ，则 S =_【解析】【分析】根据通项公式可求出数列，即可求出 【详解

14、】因为 a n 2，所以 a 1 即 10 3 1 故答案为：.【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题12.设 2 x3 x 1 2 【答案】 【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即.5，则 =_； +a + a =_【详解】 x的通项为Tr r5(2 )r r r 5xr，令 r ，T 4 C x x，故a 80 ； 5C 153C 355C 55122故答案为：；122【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.13.已tan，则 _ ) 4【答案】【解析】【分析】3 15 利用二倍角余弦公式以及弦化

15、切得，根据两角差正切公式得【详解】 2222222 2 2 3 ， 2 2 tan tan( ) 1 3，故答案为： , 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力， 属基础题.14.已圆锥展开图的侧面积 2为圆，则底面半径为【答案】 【解析】【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半【详解】设圆锥底面半径为 r ，线为l，则 ，解得 r l .2 故答案为：【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础15.设线l : ( ，圆 : 2 ，C : x y ，若直线l与 C ，1 都相切，则 k ；=_【答案】33 2 33【解

16、析】【分析】由直线与圆 , 1 2相切建立关于 k，b 方程组，解方程组即可.【详解】由题意， 1 2到直线的距离等于半径，即 b |k 2 ， 4 k 2 ，所以 4k ，所以 （）或者 ，解得 2 3 . 3故答案为： 2 3; 3【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础16.一盒子里有 1 个红 个 黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 ， (0) _； E () _【答案】13 【解析】【分析】先确定 对事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对概率，最 后根据数学期望公式求结【详解】因为 对事件为第一次拿

17、红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以 ，随机变量 ， 1 1 1 4 3 2 3， 1 1 3 ，所以 1 1 故答案为： ;1 【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能 力，属基础.2 2 17.设 ， 为位向量，满足 | e 2 ， ，b 1 1 1 ，设 ， 的角为，则 最值_【答案】【解析】【分析】2829利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得 1 再据向量夹角公式求 数关系式，根据函数单调性求最【详解】 ， 2， e 34， 2( a a (4 e 21 (2 e ) 1 ) 1 5 1 2 28 ) (1 ) 5 3 1 2故答案为：28

18、29【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最 值，考查综合分析求解能力，属中档.三、解题：本大题 小题，共 74 分解答应写文字说、证明过程演算步 骤18.在角 ，角 ， 的边分别为 ，b，且 A （I）求角 B；（II求 cosAC 的值范围3 【答案） II 3【解析】3 3,2 3 23 2 2 3 23 2 2 【分析】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊的三角函数值即可确定 的大小；（II结(1)结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有A 三角函数式，然后由三角 形为锐角三角形确定 的取值范围，最后结合三角函数的性质可求得 A B C的取

19、值范围.【详解）由 2 A 3 结正弦定可得： 2sin B sin sin , sin B 为角三角形，故B 3（II结合(1)的结论有：cos cos C A cos 3 3 1 1 cos A 2 2 sin 6 由 2 0 3 0 A 2 2 可得： ， A 6 6 3，则 3 1 3 sin , 即 A B C 的取值范围是 , 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实边化角，二是利用余弦定理实角化边；最值也是一种常见类，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等 式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最19.如，三棱台 DEF 中，面 面 ABC，ACD

20、=45， （I）证明；（II求 DF 与 DBC 成角的正弦值【答案）证明见解析）33【解析】【分析】（I作 DH 交 AC 于 H 连 BH 由意可知 DH 平面 即有 ，根据勾股定理可证得 BC BH 面 ，即证得 EF DB ；又 EF / / 可得 ，BH EF 即得 EF 平（II由 DF / ，所以 与面DBC所成角即为与平面DBC所成角，作HG BD 于 ，接 即可知 HCG 即所求角，再解三形即可求出 DF 与平面DBC所成角的正弦值【详解） AC交于 H ，接 BH 平面 ADFC 平面，而平面ADFC平面ABC ， 面ADFC， 面 ABC ， BC 面 ABC ，即有 D

21、H ACB ，CD 2 2 CH BC 在CBH 中 CH 2 45 2 ，有 BH2BC2CH 2 ， BC由棱台的定义可知，EF / / ，以 DH EF ， BH EF ，而 H， EF 面 ， BD 面 BHD EF （）因为 DF / / ，所以 与面DBC所成角即为与平面DBC所成角作 HG 于 G，连接 CG ，（）可知， 平 ，因为所以平面 面 ，而平面平面 BD ，n n n n n n n n n n n n HG 平面 BHD ，HG 平面BCD即在平面DBC内的射影为 CG ， HCG即为所求角在 中，设 BC ，则 CH 2a ， HG BH 2a 2 BD 3a 3

22、， sin HCG HG CH 3 3故 DF 与平面DBC所成角的正弦值为33【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面 所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题20.已数 ，a b b ( *)（）若数 等比数列，且公比 且 b b ，求 a 的项公式；（）若数 等差数列，且公差 ，证明： c 【答案） q 1 , a 2 3.）证明见解析【解析】【分析】（I）根据 b ，求得 ，而求得数列n式，利用累加法求得n通项公式.（II利用累乘法求得数列n，合裂项求和法证不等式成【详解）依题意b b , b 3，而 b ，1 ，由于

23、 ，所以n n 1 1 n bn n n n 1 1 n bn n 解得 ，所以 1所以 n 故 n 2n 1 n n所以数列 公比为 4的等比数列，2n 所以 nn 所以 4 （n 2, N*）所以 4 3.（II依题意设b c ，由于 ， c n 所以c b n n c b n N *故c c c n c n n c c b 3 c b b 2 1 n n 2 4 3 1 1 1 1 2 b d d n n n 所以c 1 1 1 b n 1 由于 1 1 d 1 ，以 n 0 所以 即c n， * .【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档21.如知

24、椭圆 : 2 2 物C : y2 px ( 椭圆 与物线 C12的交点，过点 A 的直线 l 交圆 于 ，交抛物线 于 M（，M 不于 1 22 2 2 2 （）若 ，求抛物线C2的焦点坐标；（）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的点，求 的大值【答案）,0)）【解析】【详解） 时， 的方程为 y 2 ，抛物线 的点坐标为 ,0)；（）设A y I 1 0 ，由 2 y 2 ， y y x 2 2 ，由 在物线上，所以 2 4 2 2 ，又 2 px y2 p y ， y p ， 2 0 1 0 m， m .2 由 2 px x x p p 0 x 0 0 x 0 p p2 1 2 8 p 16 ，所以 4 18 ， 2 ， ，所以， 的大值为 10 5 ，此时 A( . 法 2：设直线l : my 0, t 0)，A 0.将直线l的方程代入椭圆 : 2 得： ，所以点 M 的坐标为yMmt .将直线l的方程代入抛物线 : y 得：y pmy pt ，所以 yM，解得 2 p ，因此mx 02 m 2， 由 21 2 解得 m p m m ，所以当 m 2, t 105时， 取最大值为 .【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查 学生的数学运算能力，是一道有一定难度的.22.已 ，函数f ，其中 e=2.71828为自然对