陕西省榆林市2023学年高考仿真卷数学试题（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( )ABCD2已知集合，则（ ）ABCD3已知向量与向量平行，且，则（ ）ABCD4如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接

2、球的表面积为（ ）ABCD5已知函数，若则（ ）Af(a)f(b) f(c)Bf(b) f(c) f(a)Cf(a) f(c) f(b)Df(c) f(b) 0)分别与曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|的值20（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表：亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.（1）试估计的值；（2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.求的数学期

3、望和方差；若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.附：某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；若，则，.21（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为 （1）求线段长的最小值； （2）求点的轨迹方程22（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，正实数、满足，求证：.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60

4、分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案【题目详解】满足条件的正如下图所示：其中正的面积为，满足到正的顶点、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示，阴影部分区域的面积为.则使取到的点到三个顶点、的距离都大于的概率是.故选：A.【答案点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题2、C【答案解析】由题意和交集的运算直接求出.【题目详解】 集合，.故选:C.【答案点睛】本题考查了集合的交

5、集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.3、B【答案解析】设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【题目详解】设，且，由得，即，由，所以，解得，因此，.故选：B.【答案点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.4、A【答案解析】将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.【题目详解】由，可知平面将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的

6、外心连线上，记的外心为，由为等边三角形，可得又，故在中，此即为外接球半径，从而外接球表面积为故选：A【答案点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.5、C【答案解析】利用导数求得在上递增，结合与图象，判断出的大小关系，由此比较出的大小关系.【题目详解】因为，所以在上单调递增；在同一坐标系中作与图象，可得，故.故选：C【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.6、A【答案解析】根据分段函数的定义得，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的

7、最小值.【题目详解】依题意得，则,(当且仅当，即时“”成立.此时,，的最小值为，故选：A.【答案点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题.7、B【答案解析】根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【题目详解】设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，因此.故选：B【答案点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.8、C【答案解析】根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的

8、单调性可得选项.【题目详解】依题意得，当时，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，即，故选：C.【答案点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.9、D【答案解析】化简z（1+2i）（1+ai）=，再根据zR求解.【题目详解】因为z（1+2i）（1+ai）=，又因为zR，所以，解得a-2.故选：D【答案点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10、B【答案解析】根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【题目详解】输入，不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数不成立，则，；不成立，

9、是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；成立，跳出循环，输出i的值为.故选：B.【答案点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.11、A【答案解析】根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【题目详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选：A【答案点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.12、C【答案解析】先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，

10、列不等式组求解可得.【题目详解】依题意，令，则，故在上恒成立；结合图象可知，解得故.故选：C.【答案点睛】本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、27【答案解析】利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.【题目详解】由等比数列的性质可知，则，.当且仅当时取得最小值.故答案为：.【答案点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉

11、及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.14、【答案解析】若，,且,则，由是等比数列,可知公比为.故答案为.15、-1【答案解析】由题意，令即可得解.【题目详解】z112i，z2a+2i，又z1z2是纯虚数，解得：a1故答案为：1【答案点睛】本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.16、【答案解析】设圆柱的高为，底面半径为，根据容积为个立方单位可得，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值【题目详解】设圆柱的高为，底面半径为.该圆柱形的如罐的容积为个立方单位，即.该圆柱形的表面积为.令，则.令，得；令，得.在上单调递减，在上单调递增.当时，取得最小值，即材

12、料最省，此时.故答案为：.【答案点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或. （2）存在，；【答案解析】（1）根据动圆过，两点，可得圆心在的垂直平分线上，由直线的方程为，可知在直线上；设，由动圆与直线相切可得动圆的半径为；又由，及垂径定理即可确定的值，进而确定圆的方程.（2）方法一：设，可得圆的半径为，根据，可得方程为并化简可得的轨迹方程为.设，可得的中点，进而由两点间距离公式表示出半径，表示出到轴的距离，代入化简即可求得的值，进而确定所过定点的坐标；方法二：同上可得

13、的轨迹方程为，由抛物线定义可求得，表示出线段的中点的坐标，根据到轴的距离可得等量关系，进而确定所过定点的坐标.【题目详解】（1）因为过点，所以圆心在的垂直平分线上.由已知的方程为，且，关于于坐标原点对称，所以在直线上，故可设.因为与直线相切，所以的半径为.由已知得，又，故可得，解得或.故的半径或，所以的方程为或.（2）法一：设，由已知得的半径为，.由于，故可得，化简得的轨迹方程为.设，则得，的中点，则以为直径的圆的半径为：，到轴的距离为，令，化简得，即，故当时，式恒成立.所以存在定点，使得以为直径的圆与轴相切.法二：设，由已知得的半径为，.由于，故可得，化简得的轨迹方程为.设，因为抛物线的焦点

14、坐标为，点在抛物线上，所以，线段的中点的坐标为，则到轴的距离为，而，故以为径的圆与轴切，所以当点与重合时，符合题意，所以存在定点，使得以为直径的圆与轴相切.【答案点睛】本题考查了圆的标准方程求法，动点轨迹方程的求法，抛物线定义及定点问题的解法综合应用，属于难题.18、（1）的增区间为，减区间为；（2）.【答案解析】（1）求出函数的导数，由于参数的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；（2）由（1）的结论，求出的表达式，由于恒成立，故求出的最大值，即得实数的取值范围的左端点【题目详解】解：（1）解：， 当时，解得的增区间为，解得的减区间为. （2）解：若，由得，由得，所以函数

15、的减区间为，增区间为；， 因为，所以，令，则恒成立，由于，当时，故函数在上是减函数，所以成立； 当时，若则，故函数在上是增函数，即对时，与题意不符；综上，为所求【答案点睛】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细19、（），;（）【答案解析】（）根据，可得曲线C1的极坐标方程，然后先计算曲线C2的普通方程，最后根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果.（）将射线=分别与曲线C1和

16、C2极坐标方程联立，可得A，B的极坐标，然后简单计算，可得结果.【题目详解】（）由所以曲线的极坐标方程为，曲线的普通方程为则曲线的极坐标方程为（）令，则，则，即，所以，故【答案点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中的几何意义，属基础题.20、（1）（2），,72【答案解析】（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以（个小时），即可得到的估计值；（2）利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解；先根据条件计算出的取值范围，然后根据并结合正态分布概率的对称性，求解出在满足取值范围下对应的概率.【题目详解】（1）

17、平均时间为（分钟）（2），即最佳时间长度为72分钟.【答案点睛】本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果，则；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.21、（1）（2）【答案解析】（1）将曲线的方程化成直角坐标方程为，当时，线段取得最小值，利用几何法求弦长即可.（2）当点与点不重合时，设，由利用向量的数量积等于可求解，最后验证当点与点重合时也满足.【题目详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为即圆心，半径，曲线为过定点的直线，易知在圆内，当时，线段长最小为当点与点不重合时，设， 化简得当点与点重合时，也满足上式，故点的轨迹方程为【答案点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.22、（1）；（2）见解析.【答案