2020-2021学年山东省聊城市高二(上)期中数学试卷

1、 学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷 一、选择题（共 8 小）.若直线过两点（11），（2，），则此直线的倾斜角是（ ）A30B45C60D90若直线 l的方向向量为 ，面 的向量为 ，则能使 l 的是（ ）A （1，1）， 1，0）B ，1）， ，3，）C （，）， 2，）D 02，）， ，1）已知直线 xy 直线 x+10 平行，则它们之间的距离为（ ）ABCD某校计划从 名男生和 3 名生中任选 3 人加抗疫英雄事迹演讲比赛记事件 M 为 “至少有 名女生参加演讲”，则下列事件中与事件 M 对立的是（ ）A恰有 2 名生参加演讲B至多有 2 名生参加演讲C有 1 名生参加演讲D多 2

2、 名生参加演讲在四面体 中空间的一点 M 满 则 ）ABC，若 ， ，D共面，经统计某射击运动员随机命中的概率可视为 ，估计该运动员射击 次好命中 次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生 0 到 间取整数的随机数，用 ， 表示没有击中，用 ，5，8， 表示击中，以 个随机数为一组，代表射 击 的结果，经随机模拟产生了 组随机数：，0283，0346，4376，86587855，6233，6011，3661，95977424，根据以上数据，则可估计该运动员射击 4 次恰好命中 的概率为（ ）1 1 1 2 1 1 1 2 ABCD在正方体 ABCDA D 中平面 平面 ABCD 成二面角

3、的正弦值为（ ）ABCD排球比赛的规则是 局 制 局赛中，优先取得 胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为 ，前 局 中乙队以 2 领先，则最后乙队获胜的概率是（ ）ABCD二、选择题（共 4 小）.空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A点 （1，3）关于坐标平面 xOy 的称点的坐标为（123 B点 Q（1，2在平面 xOz 面C1 表一个与坐标平面 xOy 行的平面Dx+3y 示一条直线10点 P 在 2+21 上点 Q 在 C ：2y26+8 ，则（ ）A的最小值为 0B的最大值为 C个圆心所在的直线斜率为D个相交弦所在直线的方程

4、为 x811先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 b，则下 列说法正确的是（ ）Aa+7 时率为B+6 时率为Ca2 时的概率为D+ 3 的倍数的概率是12已知事件 A， P（），P（B），则下列结论正确的是（ ）A如果 A那么 （B），P（AB）B如果 与 互，那么 P（A），（）1 2 1 21 21 2 1 21 2C果 与 相独立，那么 P（A）0.9，P（）0D果 A 与 相互独立，那么 （ ）0.28（ B）三、填空题（本题共 小题，每小题 5 分共 20 分把答案填在题中横线上）。13设直线 l ：ax+3，线 l ：+2）y0当 时，l l ；

5、a时，l l14知甲两球落入盒子的概率分别为 和 假两球是否落入盒子互不影响甲 乙两球至少有一个落入盒子的概率为 15若曲线 ：2+2ax+4+52160 上有的点均在第二象限内，则 a 的值范围 是 16若 O 为间角坐标系的原点，则以 O 为球心，且与平面 +1 相的球的方程 是 ，点的坐标为 四、解答题：本题共 小题，共 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（ 分）在下列所给三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答 与线 4y0 直；直的一个方向向量为 ，）；与线 3+4+2 行已知直线 l 过 （1，），_（1求直线 l的一般方程；（2若直线 l与圆 x+y5 相

6、于 ，Q求弦长18（ 分）某次联欢会设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有 6 个种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项其中红球代表一等奖且只有 个代三等奖任一个小球二奖或三等奖的概率 华同学获得一次摸奖机会（1求他不能中奖的概率；（2若该同学中一等奖或二等奖的概率是 ，试计算黄球的个数19 分）如图所示，已知空间四边形 的条边和对角线都等于 1，点 ，F 别是 ABAD 的点，设 ， ， 为间量的一组基底， 用基底向量法求解以下各题求：（1 ； ， ， ，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2求异面直线 与 所角余弦值20（ 分某学生命科学

7、学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，在实际操作考试中“合格”的概率依 次为 ， ， ，所有考试是否格相互之间没有影响（1）假设甲、乙、丙三同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的 可能性最大？（2这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率21 分如在三棱柱 ABCA 中AA

8、 平面 ABCAA AC 90 是 的中点（1求直线 AB 与面 A 所角的正弦值（2在 上否存在一点 使得平面 PAB 与面 BE 所成二面角为 45？若存 在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由22 分圆 x+24点 P 为线 lx+8 上一动点过 P 引 O 的条切线， 切点分别为 A，（1若点 P 的坐标为（2，），求直线 PA、PB 的程；（2求证：直线 恒过定 ，并求出该定点 Q 的标参考答案一、单项选择题（本大题共 8 小，小题 5 分共 分在每小题给出的四个项中， 只有一项是符合题目要求的）若直线过两点（11），（2，），则此直线的倾斜角是（ ）A30B45C60D90【分析

9、】设此直线的倾斜角是 ，180）利用斜率计算公式可得 tan，即可 得出 解：设此直线的倾斜角是 ，180）tan30故选：A 若直线 l的方向向量为 ，面 的向量为 ，则能使 l 的是（ ）A （1，1）， 1，0）B ，1）， ，3，）C （，）， 2，）D 02，）， ，1）【分析】直接利用向量的数量积和平面的法向量的应用求出结果解：直线 l只要满足对于 ：对于 ：对于 C：对于 ：故选：C的方向向量为 ，面 的法向量为 ，能使 l， 即可，、，已知直线 xy 直线 x+10 平行，则它们之间的距离为（ ）ABCD【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得 m 的，再利用两平行直线间的距离

10、公式，求得结果解：直线 x+2y0 与线 2+1 行， ，得 4， 故两平行直线即 直线 2y+60 与线 x+4y0，故它们之间的距离为 故选：A ，某校计划从 名男生和 3 名生中任选 3 人加抗疫英雄事迹演讲比赛记事件 M 为 “至少有 名女生参加演讲”，则下列事件中与事件 M 对立的是（ ）A恰有 2 名生参加演讲B至多有 2 名生参加演讲C有 1 名生参加演讲D多 2 名生参加演讲【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解解：某学校计划从 2 名生和 3 名女生中任选 3 人加抗疫英雄迹演讲比赛， 记事件 M 为“至少有 2 名女生参加演讲”，对于 ，有 名生参加演讲与至少有 2

11、名生参加演讲”能同时发生，不对立事 件，故 错；对于 ，多有 2 名生参加演讲与至少有 2 名生参加演讲”能同时发生，不是对立 事件，故 错误；对于 C，恰 1 名生参加演讲“至少有 2 名生参加演讲”是立事件，故 正；对于 ，至多有 2 名女生参加演讲和“至有 名生参加演讲”能同时发生，不是对 立事件，故 D 错故选：C在四面体 中空间的一点 M 满 则 ）ABC，若 ， ，D共面，【分析】利用向量共面基本定理即可得出结论解：由 ， ，共面知：+ +1，解得 ，1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 故选：B经统计某射击运动员随机命中的概率可视为 ，估

12、计该运动员射击 次好命中 次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生 0 到 间取整数的随机数，用 ， 表示没有击中，用 ，5，8， 表示击中，以 个随机数为一组，代表射 击 的结果，经随机模拟产生了 组随机数：，0283，0346，4376，86587855，6233，6011，3661，95977424，根据以上数据，则可估计该运动员射击 4 次恰好命中 的概率为（ ）ABCD【分析】首先确定古典概型问题，进一步利用关系式的应用求出结果 解：根据题意，射击 20 次命中 3 次有 7 ，故 P 即该运动员射击 4 次恰好命中 3 的概率为 故选：C在正方体 ABCDA D 中平面 平面

13、 ABCD 成二面角的正弦值为（ ）ABCD【分析】以 为原点DA 为 轴， 为 ， 为 z 轴建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出平面 A 与平面 ABCD 所成二面角的正弦值解：以 D 为点DA 为 轴，DC 为 轴DD 为 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD C D 中长为 ，则 （，01），B（1，），（，0，），（，0，1， （11），设平面 BD 的向量 （x，y，），则 ， x， 1，1，），平面 ABCD 的向量 （，），设平面 BD 与面 所二面角的平面角为 则 ，sin 平面 BD 与面 所二面角的正弦值为 故选：C排球比赛的规则是 局 制 局赛中，优先取得 胜

14、利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为 ，前 局 中乙队以 2 领先，则最后乙队获胜的概率是（ ）ABCD【分析】由题意利用相互独立事件的概率乘法公式分别求出乙队以0 胜的概率、以 ： 获胜的概率、以 3 胜的概率，再把这 个概率相加，记得所求解：若乙队以 ： 获胜，概率为 ，若乙队以 3 获胜，概率为 ，若乙队以 3 获胜，概率为 ，故最后乙队获胜的概率是+ ，故选：D二、选择题：本题共 4 小，小题 5 ，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符1 2 1 1 2 2 1 21 21 1 2 1 1 2 2 1 21 21 21

15、2 合题目要求。全部选对的得 5 分有选错的得 ，部分选对的得 。空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A点 （1，3）关于坐标平面 xOy 的称点的坐标为（123B点 Q（1，2在平面 xOz 面C1 表一个与坐标平面 xOy 行的平面Dx+3y 示一条直线【分析】利用对称、平面、直线的性质直接求解解：对于 A， （，3）关于坐标平面 xOy 的称点的坐标为12），故 错误；对于 ， （，0，2在平面 xOz 面，故 B 确；对于 C，1 表一个平面，其与 xoy 平平行且距离为 ，故 C 正；对于 ，x+3y 表示过点0，）和（，0）的一条直线，故 D 正确故选：10点 P 在 2+21

16、 上点 Q 在 C ：2y26+8 ，则（ ）A的最小值为 0B的最大值为 C个圆心所在的直线斜率为D个相交弦所在直线的方程为 x8【分析】根据题意，有圆的方程分析两个圆的圆心和半径，对AB由圆与圆的位置关系分析|的最小、最大值，可得 A 错，B 正；对于 ，由两个圆的圆心坐标，即可得两个圆心所在的直线斜率，可得 正，对于 D，析两个圆的位置关系可得两 圆外切，不存在公共弦，可得 D 错，即可得答解：根据题意，圆 C ：2，其圆心 （，0，半径 1圆 C ：+26+8+240即（x3+（），其圆心 （3，4），半径 r1圆心距C 5则|的最小值为C C r3最大值C C r7故 A 错， 正确

17、；对于 C，圆 （0），圆心 C （，4，则两个圆心所在的直线斜率k 1 21 21 21 2 ， 错，对于 ，圆圆心C |5有C R+r，两圆外切，不存在公共弦D 错 故选：11先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 b，则下 列说法正确的是（ ）Aa+7 时率为B+6 时率为Ca2 时的概率为D+ 3 的倍数的概率是【分析】基本事件总数 n66，利用古典概型概率计算公式能求出结果解：先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 ， 基本事件总数 66，对于 ，ab7 包的基本事件有：（16），（，5），（，4），（，3，（，2），（61

18、，共 6 个a+b 时概率为： ， A 正；对于 ，ab6 包的基本事件有：（15），（，4），（，3），（，2，（，1），共 5 个a+b 时概率为： ， 错误；对于 C，2b 包含的基本事件，）有：（2），3），41，4，2，51），5，2，1）6，2）， （63），共 9 个a2 的概率为： ， 错；对于 ，+ 3 的倍数包含的基本事件有：（1），1），21，2，4，33），3，6，2）4，5）， （51），（，4），（，3），（，6，共 个，a+b 是 3 的倍数的概率是： 故选： ， D 正确1 2 1 21 21 2 1 21 2 1 21 21 2 1 212已知事件 A， P（

19、），P（B），则下列结论正确的是（ ）A如果 BA那么 （B），P（）0.3B如果 与 互，那么 P（A），（）C果 与 相独立，那么 P（A）0.9，P（）0D果 A 与 相互独立，那么 （ ）0.28（ B）【分析】对于 A，如果 B，么 （B）（），P（AB（）；对于 ，如果 与 互，那么 （A）（）P（），P）P（）对于 C，如果 A 与 互独立，那么 （）P（）P（）P（），（AB（）P（B；对于 D，如果 A 与 相互独立，那么 （）P（ ）P（ ），（ ）P（ ）（）解：事件 ， P（）（B）0.3，对于 ，果 ，么 （B）（A），P（）P（B）， A 正；对于 ，果 与 B 互

20、，那么 （AB（A+（B）0.9 P（）P（）0故 B 正；对于 C，如 与 B 相独立，那么 （）P（）P（）P（AB）0.90.180.72，P（）P（A）P（B）0.18故 C 错；对于 ，果 与 相独立，那么 （ ）P（ ）P（ ），P（ ）P（ ）（）0.40.12故 D 正故选：ABD三、填空题（本题共 小题，每小题 5 分共 20 分把答案填在题中横线上）。13设直线 l：+3，线 l ：x+（）+4 a 时，l l；当 a时，l l【分析】利用直线与直线平行或直线与直线垂直的性质能求出结果解：直线 l：+3y+120，直线 l：x（2y0由 l l 得：解得 1，1 21 2由

21、 l l，得 （2，解得 a 故答案为：， 14知甲两球落入盒子的概率分别为 和 假两球是否落入盒子互不影响甲 乙两球至少有一个落入盒子的概率为 【分析】根据互斥事件的概率公式计算即可解：甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为：（1 ）（1 ）1 ，故答案为： 15若曲线 ：2+22ax+4ay2160 上有的点均在第二象限内，则 a 的值范围是 （，） 【分析化 C 方程为圆的标准方程可得圆心和半径由题意得圆心在第二象限， 圆心到 x，y 轴距离大于半径，解不等式可得所求范围解：曲线 C22ax+4ay+50，即为圆（xa）2+a2，可得圆心 C，a，半径为 ，由题意可得 ， ，解得 4，则

22、取值范围是（，）故答案为：（，）16若 为空间直角坐标系的原点，则以 O 球心，且与平面 +1 切的球的方程是x+2+2 ，点的坐标为 （ ） 【分析由知借助于三棱锥求解 到面 xy+1 的离可得球面方程再重心 坐标公式求切点坐标解：平面 x+ 与 xyz 轴交点分别为10，1），01），三个坐标平面与平面 xy+1 围一个四面体个面两两垂直且是边长为 的等腰直 角三角形，1 1 第四个面是边长为则四面体的体积为的等边三角形，等边三角形的高为为 ，设球的半径为 R，面与球相切，则球心到平面的距离为 R 则球的方程为，得 R；切 点 为 等 边 三 角 形 的 中 心 ， 由 重 坐 公 可 得

23、 切 点 坐 标 为（即（ ， ， ），故答案为：x+22 ， ， ， ）四、解答题：本题共 小题，共 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（ 分）在下列所给三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答 与线 4y0 直；直的一个方向向量为 ，）；与线 3+4+2 行已知直线 l 过 （1，），_（1求直线 l的一般方程；（2若直线 l与圆 x+y5 相于 ，Q求弦长【分析】（1）先选条件，然后根据条件求直方程；（2利用直线与圆相交，建立直角三角形，即可求解 解：（1）：因为直线 4y0 的斜率为 ，因为直线 4y0 与直线 l垂直，所以直线 l的斜率为 k ，依题意，直线

24、l的方程为 y+2 （），即 x+4+5；选：因为直线的一个方向向量为 ，3），所以直线 l的向量为 k ，依题意，直线 l的方程为 y+2 （），即 x+4+5；选 ：因为 x+4y+20 的率为 ，又因为直线 l 与 x+4+2 行，所以直线 l 的率为 ，依题意，直线 l的方程为：y （x），即 x+4+5；（2圆 22 的圆心 O，0到直线 x+4+5 距离为 d ，设 PQ 中点为 M由圆的半径为 r因此|2|PM，弦长PQ为 可知： 218（ 分）某次联欢会设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有 6 个种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项其中红球代表

25、一等奖且只有 个代三等奖任一个小球二奖或三等奖的概率华同学获得一次摸奖机会（1求他不能中奖的概率；（2若该同学中一等奖或二等奖的概率是 ，试计算黄球的个数【分析】（1设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为 A，B，D，它们彼此是互事件，推导出 （A）+P） ，由对立事件的概率公式能求出不能中奖的概率，（BC）P（）（2由 （B） ，（B）（P（B）得到 （）（C） ，从而求出中三等奖的概率为 ，此能求出黄球个数解：）设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别 为 AB，C，D，它们彼此是互斥事件，由题意得 （） ，P（+C）P（B）+P

26、（） ，由对立事件的概率公式得 （1（A+1（C（ ，不能中奖的概率为 （2（B） ， （B）P（A）+（），（） ，（+CP（B）P（）（） ，中三等奖的概率为 ，黄球个数为 4（个），19 分）如图所示，已知空间四边形 的条边和对角线都等于 1，点 ，F 别是 ABAD 的点，设 ， ， 为间量的一组基底， 用基底向量法求解以下各题求：（1 ；（2求异面直线 与 所角余弦值 ， ， ，【分析】（1）由已知结合向量数量积的性质入即可求解；（2由已知结合向量数量积性质及直线夹角与向量夹角关系即可求解解：（1）由题意则 | ，且， ， ，的夹角为 ， （ ），（2，（） （）， ， ，设异面直线

27、 CF 与 BD 所角 ，则 ，因此异面直线 CF 与 BD 所成角余弦值 20（ 分某学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，在实际操作考试中“合格”的概率依 次为 ， ， ，所有考试是否格相互之间没有影响（1）假设甲、乙、丙三同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的 可能性最大？（2这三人进

28、行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率 【分析】（1）直接利用相互独立事件的运算式的应用求出结果；（2利用相互独立事件和互斥事件的概率的应用求出结果解：（1）设“甲获得下一轮比赛”为事件 ，乙获得下一轮”为事件 ，丙获得 一轮”为事件 C，其中 、C 的每两次考试之间彼相互独立，由于 （） ， ， ，所以 （）P）（C），所以甲获得下一轮比赛的可能性最大（2设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件 D1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则 ，由，所以概率和为： 21 分如在三棱柱 ABCA 中AA 平面 ABCAA AC 90 是 的中点（1求直线 AB 与面 A 所角的正弦值（2在 上否存在一点 使得平面 PAB 与面 A BE 所成二面角为 45？若存 在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由【分析（1以 C 为点CA 为 x