(压轴题)高中数学选修二第一单元《数列》检测卷(包解析)

1、一、选题1数列na 12，a a ） m n AB132C2我国古代著名的数学专著九章算里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良 马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还 迎驽马，九日后二马相逢问：齐去长安多少里？（ ）ABC 3设等差数列n n 项为 n N* S 0 12 ，则数列 n是（ ）A第 6 项B 项C第 12 项 13 项4数列成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔数，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该 n的前 n 项为 ，下列结论正确的是（ ）A2019F2021B2

2、0192021C2019F2020 F 2019 5已知等比数列n 项 2 ， 1222n（ ）ABC 6已知数列na ， a 1n n2n ，则 a ） 10ABC7数学著作孙子算经中有这样一问题“今物不知其数，三三数之剩二以 3 余 2)五五数之剩三除 余 3)，问物几何？现 到 2020 共 2020 个数中，同时满足“三数之剩二，五五数之剩三的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 , 共有（ ）则该数列A132 项B 项C 项 项8设数列 足 a 且 n 1 2n n 2 ， 的最大整 n数，则 1024 1 1024（ ）A1022 C1024 D9已知数列 n的前 n 项为 S ，

3、 S a n ，则S6 6)n n 1 2 3 4 5 6 n n n n 1 2 3 4 5 6 n n ABC10知数列a 是比数列S 为前 n 项和，若 =4， a =8则 S =A40C11比数列B的前 n 项为 ，若 3:1 ， S : S 3（ ）A :1B :1C 7 :1 :112知数列 n的首项为 1，第 2 项为 ， n 项为 S，当整数n 时，n n 12( Sn 1恒成立，则 等于（ ）15A210二、填题B 22513列n a 7 n 2，若对任意 ，所有的正整数 n 都 n成立，则实数 k 的取值范围14知正项数列na 19a 2 ，若对于一切的 *都有 n 成立，

4、则a的取值范围_15知正项数列nn满足：a1 ， a 2；a nn 2n，b b .则列为 na n_.16据下面的图形及相应点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n_已知数列n为等差数列，其前 项为S，且 6 ，给出以下结论： d ； ；12；数项为 S ； a 其中正确的有（出所有确结论的序号）18列 2 a 满 a n n n n ， ， a ，则 7_. b Sb b Sb S 19知数列na ， a 1 n n n n n ， * ，则lim 2 n_.20知首项为a，公比为 q 的比数列nq a a 3 ，则首项a的取值范围是_.参考答案三、解题21知数列n等比数列且a ， a

5、 ，设 是列1 n n项和，（） a 和 S ； （）列 项为 ，若不等式n对任意的 N * 恒立，求实数的最大值22知公比 大 1 的等比数列 式（）nna a 1 .（） b ，求数列n 项和 .请在n ； ； 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答23知等差数列na ， a ，列 2 4b ， b n n.（）数列（）数列n ； 项 S .24 1 ， ， 2 2 3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列n等数列n两，设S、Tn分别为数列且 n a ， T ，_，c n n，求n 项和 A .注：如果选择多个条件分别解，按第一个解答计.25知

6、数列 n的前 n 项为 ，对任意 n N*， ， S ， n 2 成等差数列（）数列 n的通项公式；（）数列 b 是项为 1，比为 的项等比数列n（）数列b n的前 项 . Sn , n a n a n Sn , n a n a n 2 6 6 n（）若数列 a n n为单调递增数列，求 q 的值范围.26知数列 ， a 1 n a n N .（）数列的通项公式（）b n ，求数列 前 项 . a n【参考案】 *试处理标，请不要删一选题1C解析：【分析】由 的意性，令 m ，得 an 12an，即数列 1是首项为 ，比为 得等 比数列，即可求出答. 【详解】由于 , n N*，有a m n，

7、且a 12令m ，则n a 1 nn，即数列1 1是首项为 ，比为 得比列， 2 2所以 q n 1n 1 2 n n ，故 a 故选：【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列，解题的关键是特殊值取法，由 的意性，令m ，即可知数列，查学生的分解题能力与运算能力，属于一般. n2A解析：【分析】由题意可知，良马每日行的距离n每行的距离n数，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结. 【详解】由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记na 103 ，差 d 1 .驽马每日行的距离成等差数列，记为n 97 ，公差d 2.设长安至齐为 里，则a 1 x 9 1 9，即 x 103 0.

8、5 2，解得 x .故选：【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和驽马九日所行的距离之和的 倍，并结合题意得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问题来求.3B解析：【分析】可利用等差数列的前 项的性质，等差数列下标的性质进行判断即可 【详解】由题意 0, S 及 12 13 12 1 12 6 13132 1 13 7，得 0, 6 7，所以 0,a 6 7，且公差 ，以 a ，小故 【点睛】等差数列的前 n 项和 具以下性质S 2 n 2 n 4B解析：【分析】.利用迭代法可得 F F F n n 1，可得n n，代入

9、2019即可求解【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则 F F F F n n n n n n n F Fn n n n F Fn n n n n n n n Fn F 2 ，所以 n ，令 ，得 F 2019 ，故选：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出 出 F n n ，利用迭代法得 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n n F Fn n n n F 2 1，进而得出n n.5D解析：【分析】由 a 与 S 的系可求 nn ，进而可判断出数列定数列的n首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数. 【详解】已知等比数列n的 项

10、 S 当 n 当 时， a 1 1时， a n n ；n n .由于数列n列则a 满 12 1，所以， 2 ，得 a a n ，且 a n a 4n n所以，数列首 ，公比为 4 ，1 n n 因此， .1 1 故选：【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：，（）式法：据等差数列或等比数列的通项公式 n 1或 n 1n 进行求解； 进行求解；（） 项法：根据 2 n （） 与 a 的关系式法：由 S 与 a 的系式，类比出 n n与 a 的关系式，然后两式作差，最后检验出 是满足用上面的方法求出的通项；（）加法：数列na n n f 第 n 项差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（

11、）乘法：数列 nn f 与第 n 项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（）造法：一次函数法：在数列na （、b均为常数，且k ， ）一般化方法：设a n n ，得到b ， bk ，可得出数列n n n n k 的等比数列，可求出 ；取数法：这种方法适用于ka n p m 、 p 为常数， ），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于 n 的式子； a （b、 为常数且不为零， n N）型的数列求通项 ，法是在等式的两边同时除以 c ，到一个 6B解析：【分析】a ka n 型的数列，再利中的方法求解即可由an n2n 转化为 2 ，利用叠加法，求得 a ，可求解【详解】

12、由an nn22，可得 ( n n ，所以a n n n n n n 2 1 1 1 1 1 2 n n 2 1 2 1 n ，所以a 102 1410 5.故选：【点睛】数列的通项公式的常见求法：对于递推关系式可转化为 项公式；a f ) n n的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通对于递推关系式可转化为 f ( ) 的数列，并且容易求数列 f ( n)前 n 项时，通常采用累乘法求其通项公式；对于递推关系式形如 pa 的数列，可采用构造法求解数列的通项公.7D解析：【分析】 n a 2 2 3 n a 2 2 3 n 由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项.【详解】被 除 且

13、 5 除 的构成首项为 ，公差为 的差数列，记为na 15 ，得： ，所以该数列的项数共有 135 项.故选：【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象 出等差数列8B解析：【分析】由a a 变得 n n n n n n n n ，可得 为 n n等差数列，求得得 n1 a 通， 结裂项公式求 项，再由最大 整数定义即可求解 【详解】由n n n n n n ，设 nn n，则bn 1bn2， nb a 1 2 ，公差为 ，故b n，bn a nn ， ， ，加得 2 n 1，化简得 n2，故1 1 1 1 a n n ，所以1024 a a 102

14、4a 1 1024 1 1 1 1 1024 1025 1023 故选：【点睛】方法点睛：本题考查构造数列的使用，等差通项的求解，叠加法求前n 项，裂项公式求 前 项，新定义的理解，综合性强，常用以下方法：（）如 n f 的数列，常采用叠加法求解；（）见裂项式有： 1 1 1 ， k 6 3 6 3 9 6 99 6 3 6 3 9 6 99 6 9 n 9A解析：【分析】利用数列递推关系： 时，a a 1，解得a ； 时， n n再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出 【详解】 a n ，n 时，a a ，得 a 1 1； 时，a a a ，化为：a 数列n是等比数列，公比为 2 a 2

15、5 626 ， 2 S 则 6 6故选：【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属 于中档题10解析：【解析】由等比数列的性质可知，数列 ，S S ，S S ， 是比数列即数列 4,8， ， S S 是比数列，因此 S =41632=60， 11解析：【分析】利用等比数列前 n 项的性质 ， S k 2 k， ， 4 k 3 k，成等比数列求解【详解】因为数列为等比数列，则 ， ， 3 3 9 成等比数列，设 ， S m ， 3 3，故S 6 6 S S 3 ，所以 m 9 ，得到 m9，所以SS9 3.故选：【点睛】2 2 n 2 n n 2 2

16、2 n 2 n n 2 本题考查等比数列前 项性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即. 12解析：【分析】利用已知条件转化推出 可【详解】a a 2 n ，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即解：结合n n 12( Sn 1可知， S ，得到a a 2 n ，故数列 1公差为 2 的差数列则 a n ，所以a 29，所以 ( )15 15 2 225，故选：【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查二、填题13【分析】记设根据即可求出从而得到再根据题意可得分参利用基本不等式 即可求出实数 k 的取值范围【详解】记设当时；当时当时也满足上式所以即显 然当时当时因此

17、的最大值若存在必为正值当时因为当且仅当时取等号所以的 31 解析 【分析】记b 2 n a ， S a 2 n 1 7n n2 2， 根据 b n n n 即可求出 b ，而得到 a ，再根据题意可得 n max，分参利用基本不等式即可求出实数 的值范围【详解】记b 2 ， S a 2 n 1 7n n2 2，当n 时 11 2 ；当 时 n 7 2 n n 2 时 ， ，为 n 而 时 ， ，为 n 而 当 n 时，b 也满足上式，所以b na n 2n 显然当 时a ， n 4，当 时，a 因此 a 的最大值若存在，必为 n n正值当 n a 5 n a 2 n n ，当且仅当 n 时取等

18、号所以 的最大值为 11631，变形得， 16 31 ，当且仅当 31 31 时等号，所以 k 4 2 故答案为： 【点睛】本题主要考查 与 a 的关系 a n nS S 2 n 应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题解题关键是记b 2 n a nn，设S a a 2 3 1 n2 n2 ，利用通项n与前 项 S 的系 b nS n S n n 求出通项 ，利用数列的单调性进求出数列中 n的最大值，由基本不等式解出14【分析】根据列出关于的不等式求解出的取值范围从而的取值范围可确定 出【详解】因为所以解得满足所以即故答案为：【点

19、睛】关键点点睛：解答本 题的关键是通过之间的不等关系求解出的取值范围由此可确定出的取值范围解析：【分析】根据 n 列出关于a的不等式，求解出a的取值范围，从而a的取值范围可确定出【详解】因为 a ，以 a ，解得 ，足 a n n，所以 ，即 ，故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过a 之间的不等关系求解出 的值范围，由此1 21 2可确定出 的取值范围15【分析】根据条件联立化简得数列是等差数列再根据条件得的通 项再代入即可得数列的通项公式【详解】则时时即数列是等差数列又首项公 差其中适合此式故答案为：【点睛】本题考查数列的通项公式考查对数列相关解析： n 2【分析】根据条 a

20、 ， b b 联化简得数列 再据条件n n n n n n可 入即可得数列 . 【详解】 ，b 0n， bn n 2n ，a n ，则 时 b b b n n n ， n 2 时 b n 数 是差列 b，即 b n n ，又 9 ， ， b 2 1 2 1 21，首项 ，公差 d b 2 ， b 2 n 2 b n， a b b n . n n ，其中.a 1适合此式，故答案为：12n .【点睛】本题考查数列的通项公式，考查对数列相关知识的理解与运用，解题关键是对题目条件的 转化，属于中等.16【分析】观察图中点数增加规律是依次增 5 可得求解【详解】第一图点 数是 1；第二图点数;第三图是；

21、第四图是则第个图点数故答案为：【点睛】本11 12 12 711 12 12 7题考查由数列的前几项求通项公式数列的前几项求通项公式的思路方法： 解析 5n 【分析】观察图中点数增加规律是依次增加 5，得求解。【详解】第一图点数是 1；二图点数 ;第图是 11=1+2 ；第四图是1 5则第 个点数 =1+(n-1) 5 n 故答案为：5n 【点睛】本题考查由数列的前几项求通项公.数列的前几项求通项公式的思路方法：给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中 各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不 变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，注意代值检验17

22、【分析】由可得即可判断可判断；可判断；由 可判断【详解】由可得故公差且确；故确；故正确；因所 以数列中的最大项为故误故答案为： 【点睛】本题考查等差 数列的性质涉解析：【分析】由 可 a ， a ， a 0 6 7 即可判；S a11 可判断；S 6( ) 12 6 可判断； 1 6 7可判断.【详解】由 可 a ， ， a 0 6 7 ，故公差 d ，a ，正确；11 12 ( a ) a ，正； ( ) a ) 2 确；，故正因 1 6 7，所以数列项为 6，故错误.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及到等差数列的和等知识，考查学生推理及运算能力，是一 道中档题18【分析】由等

23、式变形可得出利用等比中项法可判断出数列为等比数列求出 该等比数列的公比利用等比数列的通项公式即可求出的值【详解】即由等比中 项法可知数列为等比数列且公比为解得故答案为：【点睛】本题考查了数列 解析 63 n n 1 2 n n n 1 2 n 【分析】 2 a由等式 变可得出 a a ，利用等比中项 nn 可判断出数列 ，求出该等比数列的公比，利用等比数列的通项公式即可求出 的值.【详解】an a2 a n n n 即 na a n n n ， ，由等比中项法可知，数列 ，且公比为 3 2 2， a ，解得 a 63 2 .故答案为： 63.【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，

24、考查了推理能力与计算能力，属于中档 题19【分析】求出数列的通项公式利用裂项求和法求出利用极限的运算法则可 得出所求极限值【详解】且则数列是以为首项以为公差的等差数列所以因此故 答案为：【点睛】本题考查数列前项和的极限值的求法是中档题解题时要认解析：【分析】求出数列n式利用裂项求和法出b 1 2 n，利用极限的运算法则可得出所求极限值 【详解】a a 1，则数列 n为首项，以 3 为差的等差数列，所以， n， a n n 3n 1 1 1 b 4 7 1 1 n ，因此，lim 1 n 1 9n 3. q q q q 故答案为：13.【点睛】本题考查数列前 项的极限值的求法，是中档题，解题时要

25、认真审题，注意等差数列的 性质的合理运用20【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到令可得到由函数的单 调性可求得的取值范围【详解】由得：令则在上单调递减；在上单调递减；综 上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数值域的求解问题涉解析：【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到 1 q q1q q，令t 1q可得到 【详解】t ，由函数的单调性可求得 a 的值围由 a 04 得： 3 q 1 1， q1 1 q2 q q2 2 1 q .令t 1q，则t t t t ， 在 t 上单调递减 a ； 2 在 单调递减， t 3；综上所述： 的取值范围为 . 故答案为： .【点

26、睛】本题考查函数值域的求解问题，涉及到等比数列通项公式的应用；关键是能够将a 表示为 4 n 4 n 关于 的数，利用分离常数法确定函数的单调性，进而利用函数单调性求得函数的最 值，从而得到所求的取值范围三、解题211）nn 1，S nn；（）大值是.【分析】（）a ， a a ，得 1 2 1 的值，得出，进而求得数列的通项公式和前 项；（）（）可得 n 1 n S 2 n 2 n n ，求得数列 项 T n n ，根据数列的单调性和恒成立，即可求.【详解】（）题意，列n等比数列，且a1 4，a a a 2 1 4，所以 a ， 是程 0 的个根，且 4，解方程 x ，得a 1， ，所以 4

27、 ，解得q2，所以数列的通项公式为 q ， 1 所以 （）（）可得 nn S Sn n 1 ，所以数列n 项 1 1 1 T 3 7 7 2n 2 2 ，在正整数集上，以 n 1，因为，且对一切 N * 成，所以，所以实数 的大值是.【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略： 基本步骤： 2 2 裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前 项. 消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几. 22案见解析【分析】(1由题设求得等比数列 与项 a ，即可求得其通项公式

28、 (2当选条件时先(1）求得 ，再利用错位相减法求得其前 项即可；当选条件n时先）求得 ，再对 n 分 n4 与 5 两种情况分别求得其前 n 项即可；当选条n件时先由（）求得 【详解】n，再利用裂项相消法求得其前 n 项和即可（） a 1 ，解得 或 a1q q ， 2 a （）选 b nnS 3 1)2 2 n S n2 3 2n -得 2n (1 )2 n 选：b 2n | n n 时， 1 1n 2n n 4时，时，时， 2 2 15 3 2 b 164 1 2 即S n n n 1n +1 1n +1 时， n n( n 4)(1 n 9) n 2选 (2 1)(2 n n 1 1S

29、 2 22 2 1 2n 2 【点睛】关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和 中的应用，对运算能力要求较高，属于中档.231） （ n N*）；（） n*）【分析】（）方程组出 a d ，即得数列 ； n（）析得到列n是首项为 1，公比为 3 的比数列，再求数列项 nS.【详解】解：（）等数列 n的公差为 d ，由a ， 2 ，所以 a ， ，a d d 1 a n 1d （ N*）；（）（）得 ，n ，所以数列 1公比为 3 的等比数列， n S 3 （ N * ） 2【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列常用的方法有：1定义法（证明 某非零常n数）；2

30、）项法（证明a a n n ）24择见解析； n n.【分析】根据条件设n的公差为 2d，n的公差为 d，选择条根 S ，列式求d，再代入数列n的算，求数列nn的通项公式，若选择条根条件，解出数列n b 和d，以及求出数列nn式若选择条件根条件 ，以及 a 3 ， T ，组成方程组，求 b 和 d，这三个条件都根据基本量表示数列nn式并得到c n n，利用错位相减法求.【详解】不妨设n的公差为 2d， ， n方案 ：条由题意得，2b ， 1 d ，解之得， ， d ，则a a n n n，则c n n， n 2 3 n， n2 3 4 n ，两式相减，整理得： n n.方案 ：条由题意得2b ， 4 ) 1 1 ，解得b ， d 或b 1，d （舍去），则a n ， b n n，则c n n， n 2 3 n， n2 3 4 n ，两式相减，整理得： n n.方案 ：条由题意得，3a ，即 3 2 ，化简得，b d ， T 1 2 ，联立方程组得， ， d ，则n ， n的公差为 1，a 2 n n ，b n，则c n n， 2 n n n， n2 3 4 n ，两式相减，整理得： n n.【点睛】本题考查数列基本量计算，错位相减法