高中数学导数讲义之定积分

1、 问题一曲边梯形的面积第一部分定积分的概念如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y f(x)的一段,我们把由直线x a , x b(a b), y 0和曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积?例如：求由抛物线y x2 ,直线x 1以及x轴所围成的平面图形的面积 So求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割.第二步：近似代替。第三步：求和.第四步：取极限。(说明：最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值)问题二汽车行驶的路程汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间 t所行驶的路程为 S vt.如果汽车作变速直线运动，在时刻 t 的速度为vt t2 2 (单位：k

2、m/h),那么它在0wtwi(单位：h)这段时间内行驶的路程 S (单位：kni) 是多少？问题三定积分的概念般地，设函数f(x)在区间a,b上连续，用分点问题三定积分的概念ax0 x1 x2 Lxi 1xiLxnb将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间nn b axi 1,xi上取一点i i 1,2,L ,n ,作和式：f i ? xbaf i当n )时，上述和式i 1i 1 nb无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分。记为： f(x)dx 即a,x叫做 变量,区间a, b为区间，b积f(x)dx=,x叫做 变量,区间a, b为区间，b积n i 1 n分, a积

3、分。b说明：(1)定积分f(x)dx是一个常数a(2)用定义求定积分的一般方法是:分割：n等分区间a,b;近似代替：取点i x1,xi (2)用定义求定积分的一般方法是:3f(ni);取极限:bf (x)dxalim3f(ni);取极限:bf (x)dxalimn(3)曲边图形面积:bt2S f x dx ;变速运动路程 S v(t)dtat1定积分的几何意义b从几何上看，如果在区间a,b上的函数f(x)连续且恒有f(x) 0。那么定积分f(x)dx表示由直a线 x a线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 yf (x)所围成的曲边梯形的面积。 定积分的性质根据定积分的定义，不难得出

4、定积分的如下性质:性质b1dx ba性质ba kf (x)dxba f（x）dx （其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质baf1(x) af2 (x)dxbbf(x)dxf2(x)dxaa（定积分的线性性质）性质f (x)dxf (x)dxf (x)dx (其中 a cb)（定积分对积分区间的可加性）说明：推广:baf1(x) af2(x)fm(x)dxf1(x)dxf2(x)dxba fm(x)ab推广：af (x)dxC1a f (x) dxc2Cif (x)dxbf(x)dxck微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）f (x)dx F(xF(b)F(a).典例分析b例1.利用定积分

5、定义，证明 1dx baa ,其中a,b均为常数且aa）.由曲线yx2 1和X轴围成图形的面积等于S.给出下列结果，其中正确的是 12121202 1 (x 1)dx; (1 x)dx; 2(x 1)dx; 21(1 x )dx .X. y o (sin t cost sin t)dt ,则 y 的最大值是 .若 f(x)是一次函数，且 f (x)dx 5, xf(x)dx ”,那么2f(xldx的值是0061 x12.计算d- dx02sinx2dx12.计算d- dx02sinx2dx0 sinx sin3xdx0 8sx 8s3 xdx21 sinxcosx | dx11 x 213 综合题：(1) Fdx0 x2 x 2(2) 01n(1 x)dx (3) 2(x2 4 x2 xcos5 x)dxe d