高等数学教学教案§71微分方程的基本概念§72可分离变量的微分方程

1、7 1 微分方程的基本概念7 2 可分别变量的微分方程授课次序 43 教学课题 教学重点 参考教材双语教学课堂教学 目标 教学过程教学基本指标7 1 微分方程的基本概念教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学12 2 可分别变量的微分方程微分方程与可分别变量的方程教学难点可分别变量的方程的解法同济高校编 高等数学 （第 6 版） 作业布置高等数学 标准化作业自编教材 高等数学习题课教程导数： derivative ； 微分： differential calculus ；微分方程：differential equation ；阶： order ；常微分方程：ordinary differential

2、equation ；偏微分方程：partial differential equation；解： solution ；通解： general solution ；特解： special solution ；初始条件：initial condition 1 明白微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念 2 把握可分别变量的方程的解法1微分方程的基本概念（35min）；2可分别变量的方程的解法（55min）教学基本内容第七章微分方程备注栏7 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何查找出所需要的函数关系 在实践中具有重

3、要意义 在很多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是依据问题所供应的情形 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行争论 找出未知函数来 这就是解微分方程例 1 一曲线通过点 1 2 且在该曲线上任一点 Mx y处的切线的斜率为 2x 求这曲线的方程例 2 列车在平直线路上以 20m/s相当于 72km/h的速度行驶 当制动时列车获得加速度 0 4m/s 2 问开头制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程 . 几个概念微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程未知函数

4、是一元函数的微分方程 叫常微分方程偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程微分方程的阶 微分方程中所显现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x 3 y x 2 y 4xy 3x 2 y 4 4y 10y 12y 5y sin2x y n 1 0一般 n 阶微分方程 Fx y y y n 0 y n fx y y y n 1 微分方程的解 满意微分方程的函数 把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式 叫做该微分方程的解 准确地说 设函数 y x在区间 I 上有 n 阶连续导数 假如在区间 I 上 Fx x x n x 0 那么函数 y x就叫做微分方程 Fx y y y n 0

5、 在区间 I 上的解通解 假如微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解yx初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如 x x0 时 y y0 yy 0 一般写成x 0y 0yxx0y 0即不含任意常数的解特解 确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解初值问题 求微分方程满意初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程yfx y满意初始条件yxx 0y 0的解的问题记为yxfx ,yx| t 0 A x | yx0y 0积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线例 3 验证 函数 x C1cos kt C2 sin

6、 kt 是微分方程d2x 2k2x0的解dt例 4 已知函数 x C1coskt C2sinktk 0是微分方程d 2 xdt 2k2x0的通解 求满意初始条件t 0 0 的特解7 2 可分别变量的微分方程观看与分析1 求微分方程 y 2x 的通解 为此把方程两边积分 得 y x 2 C一般地 方程 y fx的通解为 y f x dx C 此处积分后不再加任意常数 2 求微分方程 y 2xy 2 的通解由于 y 是未知的 所以积分 2 xy2 dx 无法进行 方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为y 12 dy 2 xdx 两边积分 得 1y x 2 C 或 yx 2 1C可以验证函

7、数 yx 21 C 是原方程的通解一般地 假如一阶微分方程 y x, y能写成 gydy fxdx 形式 就两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 Gy Fx C 由该方程所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式 Px ydx Qx ydy 0 在这种方程中 变量 x 与 y 是对称的如把 x 看作自变量、 y 看作未知函数就当 Qx,y 0 时 有dyx ,P x ,ydxQx ,y如把 y 看作自变量、 x 看作未知函数就当 Px,y 0 时 有dxQy dyPx,y可分别变量的微分方程假如一个一阶微分方程能写成gydy fxdx或写成 yx

8、y x 的函数和dx 那么原方的形式就是说能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy 另一端只含程就称为可分别变量的微分方程争论 以下方程中哪些是可分别变量的微分方程？1 y 2xy 是 y 1dy 2xdx23x 2 5x y 0 是 dy 3x 2 5xdx3x 2 y 2dx xydy=0 不是4y 1 x y 2 xy 2是 y 1 x1 y 25y 10 x y 是 10 ydy 10 xdx6 y x y不是y x可分别变量的微分方程的解法第一步 分别变量 将方程写成 gydy fxdx 的形式其次步 两端积分 g y dy f x dx 设积分后得 Gy Fx C第三步 求出由 G

9、y Fx C 所确定的隐函数 y x或 x y Gy Fx C y x或 x y都是方程的通解 其中 Gy Fx C 称为隐式 通解例 1 求微分方程 dy 2 xy 的通解dx例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比 已知 t 0 时铀的含量为 M 0 求在衰变过程中铀含量 Mt随时间 t 变化的规律例 3 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系例 4 求微分方程dy1xy 2xy 2的通解开头时容器内dx例 4 有高为 1m 的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2盛满了水求水从小孔流出过

10、程中容器里水面高度h 随时间 t 变化的规律S 1cm2故解 由水力学知道水从孔口流出的流量Q 可用以下公式运算QdV dt.0 62 S2 gh其中 0 62 为流量系数S 为孔口横截面面积g 为重力加速度现在孔口横截面面积dVdt 0 . 62 2 gh 或 dV 0 . 62 2 gh dt另一方面 设在微小时间间隔 t t dt 内 水面高度由 h 降至 h dhdh 0 就又可得到dV r 2dh其中 r 是时刻 t 的水面半径 右端置负号是由于 dh 0 而 dV 0 的缘故 又因r 100 2 100 h 2 200 h h 2所以 dV 200h h 2dh 通过比较得到 0 . 62 2 gh dt 200 h h 2 dh这就是未知函数 h ht应满意的微分方程此外 开头时容器内的水是满的 所以未知函数 h ht仍应满意以下初始条件 h|t 0 1001 3将方程 .0 62 2 gh dt 200 h h 2 dh 分别变量后得 dt 200 h 2 h 2 dh.0 62 2 g1 3 3 5两端积分 得 t 200 h 2 h 2 dh 即 t 400 h 2 2 h 2 C0 . 62 2 g 0 . 62 2 g 3 53 5其中 C 是任意常数 由初始条件得