立体几何中体积与表面积三年高考数学(文)真题分项版解析

1、 【2017 课 3文 9已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径 2 同一个球的 球面上，则该圆柱的体积为（）A BC2D4【答案B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，AC 3以 r 么柱的体积是2 3 V 2 ，故选 B.【考点】圆柱体积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊(一般为接、切点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半(直 径与该几何体已知量的关系，列方程组求.2.【 高山东，文 】已知等腰直角三角形的直角边的长为 ，将该三角形绕其斜边所 在的直

2、线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积( )（A【答案】（） （ ） （ ）【考点定位1.旋转体的几何特征2.几何体的体积【名师点睛本题考查了旋转体几何特征及几何体的体积计算答本题的关键是理解1所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何.本题属于基础题考旋转体几何特征及几何体的体积计算方法的同时查了考生的 空间想象能力及运算能力，是无考的一道好题.【2016 高新课标 文数】平面过正文体 ABCDA B C D 的顶点 A1 1 1则 mn 所角的正弦值为（）（A （B （ （）【答案A【解析】考点：平面的截面问面面平行的性质异面直线所成的【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所

3、成角 ,求异面直线所成角的步骤是：平移定 角、连线成解形求角、得钝求补.【2017 天津，文 11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个方体的表面积 为 18则这个球的体积为 .【答案】2【解析】试题分析：设正方体边长为 a ，则 6a2 a 2，外接球直径为 27 9 3 8 【考点】球与几何体的组合体【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等1.若柱体，球心肯定在中截面上底外圆的圆心心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，若是锥，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条

4、侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心平几何关系求半径若是三棱锥侧棱两两垂直时， 也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简.【 新课标 文 】已知是球的球面上两点,为该球面上的动点若三棱锥 B.【答案C【解析】体积的最大值为 36,则球 C. D.的表面积为（）【考点定位】本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能.【名师点睛由三棱锥底面 AOB 面积为定值故高最大时体积本题就是利用此结论求球的半径 然后再求出球的表面积 由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能使得这类问题一直是高考的热点及难提醒考生要加强此方面的训练 2016 高新标数 在封的直三棱柱， ，

5、， ，内有一个体积为的最大值是（）的球，若（A）（）（）（）【答案B【解析】试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大由题意知球的与直三棱柱的上下3底面都相切时的径取得最大值 时的体积为 选 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向据何体的构特征，变 动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值将何体平面化，如利用开图，在平 面几何图中直观求解建立函数，通过求函数的最值来求解7.【 全国 2文 】正三棱柱中点，则三棱锥的体积为( )（A （ （C） （D）的底面边长为 ，棱长为 ，为【答案C【考点定位】棱柱、棱锥、棱台的体积【名师点睛本题考查几何体

6、的积的求法于中档题求几何体的底面面积与高是解 题的关键，对于三棱锥的体积还可利用换底法与补形法进行处理8. 高考新课标 1文 6章算术是我国古代内容极为丰的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多已知 1 斛的体积约为 1.62 立尺，圆周率约 为 3，估算出堆放的米有（）（A）斛（B斛（C斛（）斛【答案B4【解析】设圆锥底面半径为r ， ，以 ，以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.62B.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公

7、式【名师点睛】本题以九章算术中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是圆锥，底面周长是两个底面半径与圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础【2017 课 ，文 】知三棱锥 S-ABC 所有顶点都在球 O 的面上， 是 O 直径若平面 平面 ，=，=BC三棱锥 的积为 ，则球 的表 面积为【答案】36因为平面 SAC 平面 所以 OA 平面 SBC设OA 1 r r 33所以r r ，所以球的表面积为 【考点】三棱锥外接球【名师点睛本题考查了球与几体的问题高考中的重点问题要有一定的空间想象能力样能找准关系到结外接球需要求球心和半径应确定球心的位置，借助于

8、外接球的性质心各点距离相等样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心心垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等同的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直个多边形需有公共点这样两条直线的交点，就是其外接球的球心根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到5底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径三条侧棱两两垂 直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球【2017 课 II，文 15长方体的长、宽、高分别为 3 ，顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为【答案】14 .【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 3 2 S 4 14 【考点】球的表面积【名

9、师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊(一般为接、切点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半(直 径与该几何体已知量的关系，列方程组求. 江苏，6】如图在柱 O 内一个球 ,球与圆柱的上、下面及母线均相. 2记圆柱 , 的积 V ,球 O 体积为 则 的值是【答案】【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略若给的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法

10、、分割法、补形法 等方法进行求解【2015 高四川， 14在三棱住 A C 中，BAC90，其正图和侧视图都1 1 162323是边长为 的正方形视是直角边长为 1 的腰直角三角形 分是 ， ， C 的点，则三棱锥 A 的体积1 【答案】C1P【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为 1 A1B1等腰直角三角形，高为 1 的三棱柱，底面积为CN如图，因为 PN故 AA 面 ，1 故三棱锥 P 与棱锥 AMN 体相等，1AMB三棱锥 PAMN 的面积是三棱锥底积的 ，高为 故三棱锥 P 的积为1【考点定位本题主要考查空间何体的三视图观图及空间线面关系三柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力

11、、图形分割与转换的能力，考查基本运算能【名师点睛本要确画出三棱柱的直观图各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥 PA 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥 P 体积，使得1计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结属于中档偏难【2016 高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位cm该几何体的表面 是_cm ,积是_cm .【答案】80；7考点：三视.【方法点睛决三视图求空几何体的表面积与体积问题般先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积 【2017 课标 II， 】如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 为边角形且垂直于底面ABCD

12、BAD ABC 90.（1证明：直线BC / 平面 PAD ;（2 eq oac(, ) 面积为 ，求四棱锥 ABCD的体积【答案）解析（） 【解析】试 题 解 析 1 ） 在 平 ABCD 内 因 为 ABC=90 ， BC 又BC 面P， 平面P，故 BC平面 PAD.（2取 的点 M，连结 PMCM由AB AD及 BC，得四边形 ABCM 为方形，则 CM8因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于面 ABCD，平面 PAD 平 ，所以 PMAD，底面 ABCD，因为CM底面，所以 PM设 ， CM=xCD=PM=，取 中点 N，结 ，则 PNCD，所以因 的积为 ，以，解得 （舍去，于是

13、AB=BC=2，AD=4PM=，所以四棱锥 P-ABCD 的体积【考点】线面平行判定定理，面面垂直性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类.证明线面、面面平行，需转化为证明线线平证明线面垂直，需转化为证明线线垂.证明线线垂直，需转化为证明线面垂.【2017 课标 ，文 】图，四体 ABCD 中 正三角形，CD证明：BD；已 ACD 是角三角形，=若 E 为 BD 上与 D 不合的点，且 ， 求四面体 与四面体 的积比【答案】（1）详见解析；（2）9试题解析：）证明：取 中点 O ，连OD AD CD，O为AC中点， AC OD ，又 ABC 是边三角形，AC

14、 OB，又OB OD O，AC 平面OBD， 平面OBD，AC BD .（2设 ， AC ， AB ，又 ， ， ABD CBD ， ，又AE EC， AC 2 ，在中 ，设DE x，根据余弦定理AD BD 2 AB 2 AD DE AE ADB 2 2 AD 22 (2 2 2) 22 22 2 2 解得 ，点 E 是 BD 的中点，则 ACE，VD VB ACE【考点】线面垂直判定及性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类.证明线面、面面平行，需转化为证明线线平证明线面垂直，需转化为证明线线垂.证明线线垂直，需转化为证明线面垂.【 北京 图棱锥 P 中B

15、C=BC，10D 为段 AC 的点， 为段 上点（）求证：BD（）求证：平面 BDE面 PAC（）当 平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的积 【答案】详见解析【解析】试题解析：证明：（I）因为 ， BC，所以 平面ABC，又因为 BD 平 ABC ，以 PA BD（II）为 BC，D为AC中点，所以BD AC，由（I）知，PA BD，所以 平面PAC，所以平面BDE 平面PAC（III）因为 平 平面 PAC 所以 PADE .平面 ，因为 D 为 的中点，所以 ， BD 由（I）知，PA 平面PAC，所以 平面PAC11所以三棱锥 E BCD 的积 1 BD 3【考点】线面垂直的判断和性

16、质2,面面垂直的判断和性质3.何体的体【名师点睛线线线的位置系以及证明是高考的重点内容其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直是根据面面垂直面的线垂 直于交线，则垂直于另一个平这两种途径都可以证明线面垂【2016 高新课标 文题分 分）如图,已知正三棱锥 P 的侧面是直 角三角形PA顶 在面 ABC 内正投影为点 ,连接 并长交 AB 于 G证明 是 AB 的点；在答题卡第18题图中作出点 在面 内正投影 F（说明作法及理由）, 求四面体 PDEF 体积【答案）见解析（II作图见解体积为

17、试题解析）为在平面内的正投影为所以12因为所以在平面平面内的正投影为 故,所以又由已知可,从而是的中点（II）平面内,过作的平行线交于点即为在平面内的正投影理由如下：由已知可得 平面为即点在平面 内的正投影. 所 此连接因为在平面内的正投影为所以是正三角形的中心由（I）知,是的中点所在上故由 题 设 可 得平 面平 面 所 以因 此由已知正三棱锥的侧面是直角三角形且可得在等腰直角三角形所以四面体中可得的体积考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算 空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系 ,其推理

18、论证的关键是结合空间想象能力进行推要防止步骤不完或考虑不全致推理片该类题目难度 不大以中档题为【 高考北京 题分 14 图三棱锥中面平面 ，为等边三角形，13且，分别为 ，的中点（I）求证：平面；求证：平面求三棱锥平面的体积；【答案）证明详见解析）证明详见解析）（II先在三角形中得到 再用面面直的性质得平面 最后利用面面垂直的判定得出结论III将三棱锥进行等体积转化，利用，先求出三角形的面积，由于平面 ，所以为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即.试题解析）因为 所以分别为 ，的中点，又因为平面，所以平面（）因为 所以，为的中点，又因为平面 所以平面平面，且平面 ，所以平面平面（）在等腰直

19、角三角形中， ，14所以所以等边三角形的面积又因为平面，所以三棱锥又因为三棱锥的体积等于的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公 式【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积中题证明线面平行的关键是证明线线平行线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形证面面垂直的关键是证明线面垂直明线面垂直可由面面垂直得到由面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线则很容易出现错误几体的体积的方法主 要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法19.2016 高新标文如图，四棱锥中，

20、平面 ，为线段上一点，为的中点证明求四面体平面 ；的体积.【答案）解析）15试题解析已知得 取的中点 连 由为中点知， 又，故，四边形为平行四边形，于是因为平面 ，平面，所以平面 .6 分（）因为平面 ，为的中点，所以到平面的距离为 分取的中点，连结由得 ，由得到的距离为 ，所以四面体的体积 . 分考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线平四形与梯形的平行关系来推证三锥体积关键是确定其高而的确定关键又推顶点在底面上的射影位置然有时也采取割补法体积 转换法求解【 高考陕西 角形中，是的中点，

21、是与的交点，将沿折起到图 2 中的位置，得到四棱锥16证：平面；(II)当平面平面时，四棱锥的体积为 ， 的.【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) .(II)由已知面，所以行 四 边 形平面平面面 积平，即平面是四棱锥， 从 而 四 棱 锥由I)知，的高，易求得平的 为，由 ，得试题解析(I)在 中，因为，是的中点 ，以，即在图 ，从而平面又所以平面(II)由已知，平面 且平面平面又由(I)知平面，所以，平面，17即是四棱锥的高，由图 可知， ，平行四边形面积 ，从而四棱锥的为，由 ，【考点定位1.线面垂直的判定面垂直的性质定理3.间几何体的体积【名师点睛在理有关空间中的线面平行、线面垂

22、直等问题时，常常助于相关的判定定理来解题时注意恰当的将题进行转化求几何体的体积的方法主要有公式法、 割补法、等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式.21. 【2014 全国 ，文 小题满分 12 分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面 ，是的中点（）证明：/平面 ；（）设，三棱锥的体积 ，到平面的距离【答案）见解析）18平面 以 ，平面的距离为 平面 以到【考点定位1.直线与平面平行点平面的距离.【名师点睛考了直线与平面平行的判断与证明积的求法求距离中题， 考查学生分析解决问题的能力证线面平行由判定定理可知只需在面内作一直线与已 知直线平行即可何出这条内线就是平时的经验积累与分析思维

23、的能力了点到平 面的距离，可用等体积法【2015 高新课标 1文 小满分 分如图四边形 ABCD 为形，G 为 AC 与 BD 交， ，证明：平面若 ，平面 ；三棱锥的体积为 求三棱锥的侧【答案）见解析（II【解析】试题分析）四边形 ABCD 为菱形知 AC BD，由 BE平面 ABCD 知 BE由线19面垂直判定定理知 AC平面 BED面直的判定定理知平面平面 设 AB= ，通过解直角三角形将 AG、GC、GB、GD 用 表示出来，在 中用 表示 EG在即可求出三棱锥 中，用 x 示 ，根据条件三棱锥的侧面的体积为求出 x，试题解析）为四边形 为形，所以 AC，因为 平面 ，所以 BE故 A

24、C平面 .又 平 ，所以平面 AEC（II） AB ，在菱形 中由平面 ABC=120可得 AG=GC= GB=GD= 因为 ，所以在 中，可得 = .由 平面 ABCD，知 为直角三角形，可得 BE= 由已知得，三棱锥 体积从而可得 = .故 所以 EAC 的积为 3 EAD 的积与 的积均为故三棱锥 E-ACD 的面积为考点线垂直的判定与性质面垂直的判定三棱锥的体积与表面积的计算逻推理 能力；运算求解能力【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1几何法，先由线线垂直证明线面垂直由线面垂直证明面面垂直 用向量法过算两个平面的法向量，证明其法向量垂直从证明面垂直对几何体的体积和表面

25、积问题用解法有直接法 和等体积法.【 高考重庆，文 】如题20图，三棱锥 -ABC 中，平面 平面 ABC，ABC=，点 D、E 在段 AC 上且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4点 F 在段 AB 上且20(证明：AB平面 PFE.(若四棱锥 的体积为 7，求线段 BC 的【答案）见解析）或（）设则可用 将棱锥的体积表示出来，由已知其体积等于 ，从而得到关于 的个一元方程，解此方程，再注意到即可得到的长试题解析明(20)图由知， 为腰中边的中点，故，又平面平面面平面，平面 ， ，所以平面，从而因从而所以与平面平面内两条相交直线 ，都垂直，解：设则在直角中，从而21由 ，知 ，故 ，即由从

26、 而 四 边 形DFBC的 面 积 为由1)知，PE在直角体积故得所以中，或平面 ，以 PE 为棱锥 的.，解得，由于 ，得【考点定位 空间线面垂直关系2. 锥的体积方思.【名师点睛本题考查空间直线直线直与平面平与平面的垂直关系的判定及简单几何体的体积的运算一通应用面面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直而转化为线线垂直来完成证明，第二通过设元，将已知几何体的体积表示出来，建立方程， 通过解方程完成解答.本题属于中档题，注意方程思想在解题过程中的应24. 【 高 考 ， 文 】 如 ， 三 棱 锥 P- 中 ， PA（）求三棱锥 P-ABC 的积；平 面 ABC ，（）证明：在线段 PC 上

27、在点 M使得 BM，求的值【答案） （）22由可知面是三棱锥的高,所以三棱锥的体积（证在面内过 B 作 垂为 过作交于，连接由面知由 面 ，又面，所以在直角得中，从而 由 ，【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定.【名师点睛将弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中的）问需要学生构造出线面垂直而利用性质定理证明出面面垂直题查了考生的空间想 象能力、构造能力和运算能力【2015 高湖北，文 20章术中，将底面为长形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在图所示的阳马中棱底面 点是的中点接（）证明：平面 试断四面是

28、否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论是，请说明理由；（）记阳马的体积为 ，面体的体积为 ，的值23【答案底面以 由面为长方形，而以平面平面以 又为，点是的中点所以 而所以平面四面体是一个鳖臑（知是阳马的高知，是鳖臑的高，所以 在中 ， 因 为 ， 点是的 中 点 ， 所 以 ， 是【考点定位题查直线与平垂直的判定定理线与平面垂直的性质定理和简单几何 体的体积，属中高档.【名师点睛】以九章算术为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算解题思路第问通过线线线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进

29、行求 结合数学史料的给予新定义仅查学生解题能力也强对数学的兴趣培养为空间立体 几何注入了新的活力.26. 高考福建文 20如，是圆的直径点是圆上异于的点，垂直于圆（）若所在的平面，且为线段的中点，求证平面 ；（）求三棱锥体积的最大值；（）若，点在线段上，求的最小值24【答案）见解析）【解析】解法一）在）中，因为，为的中点，所以又垂直于圆所在的平面，所以因为（II）为点，所以在圆上，平面所以当时，到的距离最大，且最大值为 又 ，以面积的最大值为又因为三棱锥的高 ，三棱锥体积的最大值为 又因为，所以垂直平分 ，即亦即为中点从而的最小值为 ，25解法二）解法一（III）在所以所以在三棱锥中，所以中，将侧面，绕，同理旋转至平面 ，之与平面共面，如图所示当 ， ，共线时，取得最小值所以在中，由余弦定理得：从而 所以的最小值为 【考点定位、直线和平面垂直的判定2、三棱锥体积【名师点睛证明直线和平面垂可以利用判定定理线线垂直到线面垂直也以利用面面垂直的性质定理，即面面垂直到线面垂直；决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时若中有