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1、PAGE 专升本高等数学精选练习强化试卷01一、函数的概念二、函数的特性（奇偶性、单调性、周期性，不再赘述。） 函数的有界性： 有上界； 有下界； 有界。 例如：在有上界1，无下界。 在有下界0，无上界。 ，在有界。三、分段函数 在定义域的不同范围具有不同的表达式的函数叫做分段函数。1-1例1符号函数，求，。1-1 解：，。 ，。例2取整函数：， 若，则。不超过x的最大整数。例如：2.52，33，00，-4。注意：（1）；（2）。 例3证明：，是以1 为周期的周期函数。解：， 是以1 为周期的周期函数。 定义域：， 值域：。其图形如右：四、基本初等函数 （1）幂函数： 。 （2）指数函数： 。

2、 （3）对数函数： 。 （4）三角函数： ； ；。 （5）反三角函数：；。五、复合函数1复合函数的定义 若函数的定义域为，函数的定义域为，值域，且，则称函数或为定义在上的复合函数，称为中间变量。例4设， 求（1）；（2）。解：（1）当时，； 当时，； 当时，； 故。 （2）当时，； 当时，； 故. （，可见复合运算不可交换。）2把复合函数分解成若干个简单函数 简单函数是指基本初等函数和多项式。例5指出下列各复合函数的复合过程。 （1） 解：由，复合而成。 （2） 解：由，复合而成。 （3） 解：由， 复合而成。根据复合函数的结构，将复合函数分解成若干个简单函数时，应从外到里，一层一层地分解，千

3、万不能漏层。六、初等函数 由基本初等函数和常数，经过有限次四则运算与有限次复合而构成的，并能用一个数学式子表示的函数叫做初等函数。不是初等函数的函数称为非初等函数。例如 :、等都是初等函数。而狄里克莱函数，是非初等函数。例6设函数在内单调增加，且对一切有，证明：。证明：在内单调增加，且， ，又，。七、点的邻域 设,且。 ，称为点的邻域。 点称为的中心，称为的半径。 ，称为点去心的邻域， 表示。 常用和分别表示点的某个邻域和点的某个去心邻域。练 习 题1用定义证明：，则对任一正，。 证明：，当时，恒有。当时，必有，也必有，。2用定义证明：若，且，则。证明：，时，恒有。 当时， 当时，。3证明：。证明：限定，则，要使 ， 应有，令，只要取， ，时，恒有， 。4证明。 证明：先证“” 若， 则，时，恒有， 当时，必有和， 也必有和成立， 。 再证“” 若, 则， 时

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