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1、专升本高等数学精选练习强化试卷12选择题1.半圆形闸门的半径为R，将其垂直放入液体中，且直径与液面相齐。设液体的密度，若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为（ C ）. （A）； （B）； （C）； （D）。2.如图，x轴上有一线密度为，长度为L的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a ，已知引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ）（A）； （B）； （C）；（D）。解：用微元法，在，其质量，则质点和这一小段细杆之间引力，。故应选（A）。3.双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为（ A ）（A）；（B）；（C）；（D）.解：双纽线的极坐标方程为，。 由对称性可知，

2、所求面积为。二、填空题1.如图，由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积为。 解：。2.设曲线由确定，则该曲线对应于的弧长为。解：， ，。3.函数在上的平均值. 解：。三、计算下列广义积分1.解:2.解法1:解法2:.3. 解：是瑕点，令，则 。四、解答题求曲线，所围成的平面图形的面积S，并求 该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。解：所求面积，。 。 平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积 ， 平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积 ， 故所求旋转体的体积。解法2：（薄壳法） 。2设有曲线，过原点作其切线，试求：切线方程；此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积和表面积

3、。解：设切点为，则过原点的切线方程为，再以点代入，解得， 则切线方程为。 体积 表面积 。3半径为R的球沉入水中，它与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，问需要做多少功？解法1：如图建立坐标系 则圆的方程为。 取积分变量为x，积分区间为，下面研究厚度为dx部分的球所作的功。 由于球的比重与水相同，因此这部分的球由x处提到水面不作功。而将球从水中取出，这部分球将向上提起，克服重力作功，从而 故。解法2：如图建立坐标系，则圆的方程为，积分区间为， .5.设在连续，且在内有，证明在内存在唯一的，使曲线与两直线，所围成的面积A1是曲线与两直线，所围成的面积A2的三倍。证明思路：要证存在唯一的，使，等价于证明存在唯一的，使。证明：先证存在性。设辅助函数，则。 ，在上

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