专升本《高等数学》易错题解析-第七章：无穷级数

1、无穷级数无穷级数是研究生入学考试数学一和数学二的重点也是难点内容之一，内容包括常数项级数的收敛与发散，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数以及它们的收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法，初等幂级数展开式，函函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数，狄利克雷（Dlrichlei）定理，函数在-l，l上的傅里叶级数，函数在0，l上的正弦级数和余弦级数。通过

2、学习，同学应达到如下要求：1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7.理解幂级数的收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和

3、。9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10.掌握ex、sinx、cosx、ln（1+x）和（1+x）的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在-L，L上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，L上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。一、 知识网络图二、典型错误分析例1、判断级数 是否收敛。错解 , 分析 通项为零只是级数收敛的必要条件，即就是收敛，极限也未必为零。级数收敛的充要条件应该是cauchy收敛准则,但必要条件可以用来否定级数收敛正确解 ，考虑到任意性， 不妨取，于是从而 上面数列发散

4、注意，正项级数判别其敛散性的步骤如下：需进一步判别发散首先考察需进一步判别发散如中含或的乘积通常选用比值法；如是以为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；如含形如（可以不是整数）因子，通常用比较法；利用级数性质判别其敛散性；据定义判别级数敛散性，考察是否存在，实际上考察是否有上界。例2、判别下列级数的敛散性 错解 用比式判别法则 发散分析 此乃把正项级数的比式判别公式记颠倒了正确解法 只需要后一项比前一项就可以了，显然 收敛例3、判别下列级数的敛散性 错解 用根式判别法： 发散分析 此乃把正项级数的根式判别公式与级数收敛的必要条件混淆了正确解法 其实以上情形同比式判别法，结果是收敛的或者用

5、比较原则 收敛 原级数收敛3交错级数的敛散性的判别法 如，则称为交错级数。莱伯尼兹判别法：如交错级数满足：( i ) ( ii ) 则 收敛，且和例4、判断下列级数的敛散性。 错解 ，从而发散 分析 以上是一个不定式的极限，分子有理化后即得极限是零正确解法 由以上分析知道并且 收敛例5、判断下列级数的敛散性。 错解 发散 分析 以上是一个不定式的极限，不能贸然得极限是零正确解法 并且 即 由Leibnitz判别法知收敛注意：绝对收敛与条件收敛 知识点的掌握 为任意项级数 如 收敛 称绝对收敛 如 发散 收敛 称条件收敛 定理，如 收敛 必收敛对幂级数主要讨论两个问题（1）幂级数的收敛域 （2）

6、将函数表示成幂级数幂级数的收敛域具有特别的结构定理：（i）如在 收敛，则对于满足的一切 都绝对收敛 （ii）如在发散，则对于满足的一切 发散证：（1） 收敛 （收敛数列必有界）而为几何级数，当即收 收 原级数绝对收敛 （2）反证：如存在一点使收则由（1）收，矛盾。由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使收，发，称R为收敛半径幂级数的收敛半径及其求法定理：如幂级数系数满足 则（1） （2） （3）注意：当 的敛散性不能确定，要讨论例6：求下列幂级数的收敛域 错解 故 收敛域为分析 求收敛域必须考虑在端点处所对应的级数的收敛情况正确解法 当原级数为为交错级数，满足 收敛当原

7、级数为发 收敛域为例7：求下列幂级数的收敛域 错解 收敛域为-1，1）分析 求收敛域必须考虑在端点处所对应的级数的收敛情况正确解法 当原级数为发原级数为为交错级数满足（1） （2）设 ，当， 单调减， 故 收敛 收敛域为-1，1）求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式： 在端点的敛散性与有关。例9求下列幂级数的和函数错解 令 分析 幂级数只有在收敛域内才是逐项可积、逐项可导的 ，所以首先得求收敛域正确解法 R=1，x=1，un0，收敛域为（-1，1）令 x（-1，1）例10求下列幂级数的和函数 错解令故 x (-1,1)分析 幂级数只有在收敛域内

8、才是逐项可积、逐项可导的 ，所以首先得求收敛域，不能想当然的认为收敛域就是（-1,1）正确解法收敛域（-，+）令故，x例11 利用计算幂级数的和函数，求下列级数的和错解 因为 ，所以S=0分析 通项趋近于零只是级数收敛的必要条件。首先考虑其对应的幂级数，再求收敛域，利用收敛幂级数的性质正确解法 记： （-1，1） 将函数展开成幂函数1、泰勒级数与麦克劳林级数 设函数在的某邻城内具有任意阶导数，则级数 称为在点的泰勒级数特别当，则级数称为的麦克劳林级数2、函数展开成泰勒级数的条件能展开成泰勒级数：收敛于 在，之间3、幂级数展开式的求法 方法1、 直接法：计算 证明：及 方法 2、 间接法：利用已

9、知的幂级数展开式，通过变量代换四则运算，逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式。例12 将下例函数展开成的幂函数 , 错解 然后将, 按几何级数展开即可 分析 不符和在x=1展开的如下形式 正确解法 其中 ， （如 ， 如 ，）考研试题选编例13 (2004考研数学一) 设为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若=0，则级数收敛.（B） 若存在非零常数，使得，则级数发散.(C) 若级数收敛，则. 若级数发散, 则存在非零常数，使得. B 错解 C分析 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.正确解法 取，则=0，但发散，排除(A)，(D)；又取，则级

10、数收敛，但，排除(C), 故应选(B).本题也可用比较判别法的极限形式， ，而级数发散，因此级数也发散，故应选(B).例14 (2004 考研数学三) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 错解 D分析 可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.正确解法 (1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n )，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，都发散，而收敛. 故选(B).例15 (2005考研数学一) 求幂级数的收敛区间与和函数错解原级数可以分成两个与两个分别求和相加而得，从而对积分得到，再积分，用分步积分公式有，从而和函数为分析 显而易见该级数的收敛区域为(-1,1),正确解法 以上的推导结果只有在收敛区域才是成立的，所以正确的答案是在以上结果里加上收敛区域即可。错误的解答属于典型的对而不全例16 (2004考研数学一)设有方程，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一