空间向量的数乘运算

1、3.1.2空间向量的数乘运算【学习目标】1了解空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律2了解平行（共线）向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题问题导学预习新知夯实基础知识点一空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数久与空间向量a的乘积加仍然是一个向量，称为向量的数乘几何定义久0加与向量a的方向相同久V0加与向量a的方向相反加的长度是a的长度的1刀倍久=0加=0,其方向是任意的运算律分配律久(a+b)=Aa+Ab结合律久(wa)=a)a知识点二共线向量与共面向量思考1回顾平面向量中关于向量共线的知

2、识，给出空间中共线向量的定义答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量思考2空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案正确根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量梳理平行（共线）向量与共面向量共线（平行）向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a,b（bM0），若两个向量a，b不共线，则向量pAAA,B,DBA,B,Callb的充要条件是存在实数久，使a-Xb与a,b

3、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，使p-xa+yb如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP-OA+ta，其中a叫做直线l的方向向量，Q如图，空间一点P位于平面MAB内推论如图所示.的充要条件是存在有序实数对(x,y),使MP-xMA+yMB，或对空间任意一点O来说，有OP-OM+xMA+yMB若在l上取AB-a则式可化为OP-OA+tABp-思考辨析判断正误1若p二xa+y乃，则p与a,b共面.(d)若p与a,b共面，则p=xa+yb.(X)若MP=xMA+yMB，则P,M,A,B共面.(d)(4)若P,

4、M,A,B共面，则MP二xMA+yMB.(X)题薩探究启迪惠维探兗董点类型一共线问题例1(1)已知向量a,b,且AB=a2b,BC=5a+6b,CD=7a2b，则一定共线的三点是()CCB，C，DDA，C，D设e1,e2是空间两个不共线的向量，已知AB=e1+ke2，BC=5e1+4e2,DC=-e2e2,且A,B,D三点共线，实数k=.考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断答案(1)A(2)1解析(1)因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB，故ADAB，又AD与AB有公共点A，所以A，B，D三点共线(2)yAD=AB+BC+CD=7el+(k+6)e2且AB与AD

5、共线，故AD=xAB,即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,又Ve1,e2不共线，7-x07-x0,、k+6-kx0,解得故k的值为1.、k1,反思与感悟(1)判断向量共线的策略熟记共线向量的充要条件：(i)若allb,bM0，则存在唯一实数久使a肋;(ii)若存在唯一实数久，使a肋，bHO，则ab.判断向量共线的关键：找到实数九(2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.存在实数久，使PAAPB成立.对空间任一点O，有OPOA+tAB(tWR).对空间任一点O，有OpxdA+ydB(x+y1).跟踪

6、训练1如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，请判断向量EF与AD+BC是否共线?考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断解设AC的中点为G，连接EG，FG，.jeF=Eg+G;F=1Bc+bC),.jeF=Eg+G;F=1Bc+bC),EF与AD+BC共线.类型二空间向量的数乘运算及应用QipCiAB例2如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设-Ai=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1，BC,Cp的中点，试用a,b,QipCiAB(1)AAP；(2)A-A1N；(3)MAPN-AC1.考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算A-A-A

7、解(1)AP二AD+DP二(AA+AD)+|aB=a+c+*b.(2)AN=AAA+AN=-AAa1+AB+AD=-a+b+2c.A-A-A-A-AA-A(3)MP+NC二(MA+AD1+DP)+(NC+CC)=2aA+AD+*AB+AD+AAa1=|AAi+tAD+2AB=2a+2b+2C.引申探究若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且諾二1”，其他条件不变，如何表示AP?解AP二AA+DAP二AA+AD+|AB二a+c+2b.反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知

8、向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质跟踪训练2如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在Ap上，且AAE=2E-Di，F在对角线A1C上，且人了=2走.求证：E,F,B三点共线.考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用证明设AB-a,AD=b,AA1=c.因为aa=2edi,A-fFC,所以AE-|人花，AF-IAC,所以Ae-|aD-jb,-A|A-A|AAAF-5（AC-AA1）-5（AB+AD-A-A-A|4|所以EF-A1F-AlE-5a-15b-5c又EB-EA1+A1A+AB-jb-c+a-a-jb-c,所以EF=|EB,又因为EF与EB

9、有公共点e，所以e,f,b三点共线.类型三空间向量共面问题例3(1)已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O,确定在下列条件下,点P是否与A，B，M一定共面OM+OB=3oP-OA；Op=4oa-OB-OM.(2)已知A,B,C三点不共线，点M满足OM=|OA+3OB+|Oc.MAMB,MC三个向量是否共面？点M是否在平面ABC内？考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用解TOM+OB-jOP-OA,.OP=OM+(OA-OP)+(OB-OP)=om+Pa+pb:.(Op-(5m=pa+Pb:.mp=pa+pb,:.mp,PA,PB为共面向量，:.P与A,B,M共面.OP

10、=2OA+(OA-(JB)+(dA-OM)=2CpA+IpA+MA根据空间向量共面的推论，点P位于平面ABM内的充要条件是OP=OA+xBA+yMlA,:.P与A，B，M不共面.(2)yOA+OB+OC=3OM.OA-OM=(O)M-OB)+(OM-Oc),ma=ma=bM+cM=-M-AB-M-AC，:.向量MJA,mb,MC共面.由知向量M；A,MB,MC共面，又它们有共同的起点M,且A，B，C三点不共线，.M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内.反思与感悟向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够

11、逆用它求参数的值.跟踪训练3如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且1AG=2，点G在AH上，且丽=血，若G,B,P,D四点共面，求m的值.考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用解连接BG.因为ab=Pb-Pa,Ajb=DDc,所以DC=PB-PA,因为Pc=PD+Dc,所以Pc=Pd+PB-PA=-PA+pB+Pd.因为Hc=2，所以PH=pC,所以PH=3(-Pa+PB+PD)1p1p1p=-3PA+-jPB+-jPD,又因为ApH=PpH-PpA，所以AH=+|pb+1pd因为ah=m，pp4mpmpmp所以AG=mAH=3PA+3PB+jPD,因

12、为BpG=-ApB+ApG=PpA-PpB+ApG，所以BG=(1-43l)Pa+(3-JpB+PD又因为G，B，P，D四点共面，4m小3所以1-丁=0,m=4，3即m的值是3达标检测达标检测检测评价达标过关1下列命题中正确的是()若a与b共线，b与c共线，则a与c共线向量a,b,c共面，即它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D.若ab,则存在唯一的实数久，使a=Ab考点空间向量的数乘运算题点线线平行的判定答案C解析零向量的方向是任意的3112.a,b,c不共线，对空间任意一点O,若（Op=4（Oa+8（Ob+80c,则p,a,b,c四点（）不共面B.共面不一定共面D.无法判断是否共面考点

13、空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案B解析（OP=4ojA+|（OB+8oc=3OA+8（OA+AB）+8（OA+Ac）=（Oa+8ab+|Ac,由共面的充要条件，知p，A，B，c四点共面3下列条件，能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是（）A.AB+BC=ACB.AB-BC=ACc.AB=Bcd.iAbi=iBci考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案C解析由Alb=bc知AB与BC共线，又因有一共同的点b,故a,b,c三点共线.4.若非零空间向量ex，e2不共线，则使2滋e2与ex+2（k+1）e2共线的k的值为考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用1

14、一221一22乙-若,案析2k答解则+(k2+-e与2、总线共21-2-一一k1-2-一一kV、-1=2A(k+1),5.右非零空间向量ex，e2不共线，则使kex+e2与ex+ke2共线的k=考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案1解析由ke+e2与e+ke2共线，k=X,得ke1+e2=X（e1+ke2），即故k=1.1211=Xk,p-规律与方法1.四点P,A,B,C共面对空间任意一点O,都有（Op=xOA+y（OB+z（）C，且x+y+z=1.2.OP=OA+xAB+yAC称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定证明（或判断

15、）三点A,B,C共线时，只需证明存在实数久，使AB=XBC（或AB=XAC）即可，也可用“对空间任意一点o，有OC二tOA+（1-t）OB”来证明三点a,b,c共线.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x,y），使MP=xMA+yMB,满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式这个充要条件常用于证明四点共面.课时对点练注董双基强化落卖一、选择题1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量币，DC,入花是（）A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案C解析因为dc-d1

16、A=aC，且Ac=a-c1,所以dc-da=a-c1,即dTC=da+a-c1.又DA与a-C不共线，所以DC,da，A-C三向量共面.2.在平行六面体ABCD-A1B1C12.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.=a,A1D1=b,A1A=c,则下列向量中与BM相等的向量是（A-|a+|b+cB2a+2b+cC2a-2卅D-a-obc考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案A1解析B1M=B1B+BM=AA+Q（BA+BC）111=c+2（-a+b）=-2+2b+c.如图所示，在四面体ABCD中，点E是CD的中点，记AB=a,AC=b,AD=c,则BE等于

17、（）CD1-_+11_-CD1-_+11_-Ba-2fl+b+2c考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案B解析连接AE，VE是CD的中点，AC=b,AD=c,.aE=1.aE=1(Ac+AD)=2(bc)在aabe中，BE二BA+AE二-AB+AE,又AB=a又AB=a,:.BE=a+c)=L1a+2b+2cB.cbC.b_cB.cbC.b_cD.c_bT设点M是ABC的重心，记BC=a,CA=b,AB=c,且a+c=0,MAM等于()b_cA,2考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案D解析设D是BC边的中点，VM是ABC的重心，.而AD=:.AM.而AD=:.AM=+AC

18、)=b)，*c-b).5.设空间四点O,A,B,P满足OP=mOA+nOB，其中m+n=1,贝肚)点P一定在直线AB上点P一定不在直线AB上点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上AB与AP的方向一定相同考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案A解析已知m+n=1，则m=1-n,OP=(1OP=(1-n)OA+nOB=OA-nOA+nOB即OP-OA二n(OB-OA)，即AP二nAB.因为ABM0，所以AP和AB共线，又AP和AB有公共点A，所以点A,P,B共线，故选A.6.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O,有-M=xOA+3OB+|OC，则x的值1-1-3D3C0)

19、B1(为A.考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案D解析OM二xOA+3亦+3C,且M，A，B，C四点共面，.1.1丄x+3+3=1,/.x=3，故选D.7在下列命题中：若a，b共线，则a，b所在的直线平行；若a,b所在的直线是异面直线，则a,b一定不共面；若a,b,c三向量两两共面，则a,b,c三向量一定也共面；已知三向量a,b,c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数为()A0B1C2D3考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案A解析根据空间向量的基本概念知四个命题都不对二、填空题8以下命题：两个共线向量是指在同一直线上的两

20、个向量；共线的两个向量互相平行；共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量其中正确命题的序号是考点空间向量的数乘运算题点空间向量共面定理及应用答案解析根据共面与共线向量的定义判定，知正确.129.已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量Op=5Oa+3Ob+AOc定的点P与A,B,C共面，则2=.考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用2答案吉解析VA,B,C三点不共线，点O是平面ABC外一点，由向量OP二5鬲+3亦+2OC确122定的点P与A,B,C共面，.丐+亍+久二1，解得A=J5.10.如图，在正方体ABCD-A1B1C

21、1D1中，M,N分别为AB,B&的中点.用ABAD,A兀表示MN,则MN=考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案*ab+2ad+|aai解析mN=mB+bC+cn1-*-*1-*二2AB+AD+2(CB+BB)1-*-*1-*=2AB+AD+2(-AD+AA1)=2ab+|ad+11设棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点所成的集合为S.向量的集合P=mlm=P*2,P1，P2WS，则P中长度为冷茲的向量有个.考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案8解析每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对角线三、解答题设ex，e2，e3三向量不共面，而AB=ex+2e2+3e3，BC=2e1+Ae2+