高考中数学文化的考查：数列中的数学文化题

1、专题二 数列中的数学文化题一考点解读：数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式二数学文化的典型题：（ 1）等差等比数列：等差等比数列的数学文化题频繁出现在各级各类考试试卷中. 解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式。（ 2）斐波拉契数列：斐波那契数列又称“兔子数列”，也称黄金分割数列，是这样一个数列：这个数列的第0 项是 0， 第 1 项是1， 从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即：0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、13、 21 ，在

2、数学上斐波纳契数列被以递归的方法定义：F（0）=0，F （ 1） =1， F （n）=F（n-1）+F（n-2） （n2，nN*）。斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明起始的正方形（ 图中用灰色表示） 的边长为1， 在它左边的那个正方形的边长也是1 ， 在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2， 以后顺次加上边长为3、 5、 8、 13、 21等等的正方形，这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。（ 3） 九章算术：九章算术是我国古代的数学名著，强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为数列的问题，然后再利

3、用数列的知识有关知识进行解题。（ 4）“莱布尼兹调和三角形”：“莱布尼兹调和三角形”： 第 n 行有 n 的数它们是由整数的倒数组成的，且两端的数均为1/n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，例 1 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了()A 192里 B 96里 C 48里 D 24里思路点拨：读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于：1已知

4、等比数列a n 中，公比q 2，前6 项和S6 378，求a2.1解题分析：设等比数列a n 的首项为a1，公比为q 21，1a1 1 26依题意有1 378 ，解得a1 192，21 TOC o 1-5 h z 则a2 192 296 ，即第二天走了96 里正确答案：选B总结反思：涉及等差等比数列的数学文化题频繁出现在各级各类考试试卷中.解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式 .例 2. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱， 令上二人所得与下三人等问各得几何？”其意思为： “已知甲、 乙、丙、 丁、

5、戊五人分5 钱， 甲、 乙两人所得与丙、丁、 戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”( “钱”是古代 TOC o 1-5 h z 的一种重量单位) 这个问题中，甲所得为()A.5钱B.5钱C.3钱D.4钱4323思路点拨：读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于已知等差数列an中，前5项和为5，a1a2a3a4a5，求a1.2a1 d 3a1 9d，解题分析：设 a n 首项为a1，公差为d，有52a1 d 2，解得a1解得a1，31d6，正确答案：选 D.总结反思：九章算术是我国古代的数学名著，强调“经世济用”，注重算理算法， 其中很多问题可

6、转化为数列的问题，然后再利用数列的知识有关知识进行解题。例 3. (2018 南阳一中模拟)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，即F(1) F(2) 1， F(n) F(n 1) F(n 2)(n 3， nN*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3 整除后的余数构成一个新数列 bn ，则b2 019 .思路点拨：本题先根据题意明确该数列的递推公式，再依据所给式子中项的特点把递推公式恰当变形得出结论解题分析：由题意得引入“兔子数列”： 1,1,2,3,5,8,13

7、,21,34,55,89,144,233 ， 此 数 列 被 3 整 除 后 的 余 数 构 成 一 个 新 数 列 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0 ，构成以8 项为周期的周期数列，所以b2 019 b2 016 3 b3 2. TOC o 1-5 h z 正确答案：2总结反思：该题的命制以 “斐波那契数列”为背景，考查考生灵活处理递推数列问题的能力和转化与化归能力，高考中多次考查斐波那契数列.例 4. 如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有 n 个数且两端的数均为1 n 2 , 每个数是它下一行左右n相邻两数的和

8、, 如 1 = 1 + 1 ， , 1 = 1 + 1 ， , 1 = 1 + 1 ，则：1 2 2 2 3 6 3 4 12第6 行第2 个数(从左往右数)为。第n 行第3 个 数(从左往右数)为思路点拨：本题先根据莱布尼兹调和三角形的第n n 3 行第 3 个数字12是 122 ，再依据项的特点恰当变形得出结论nCn 1 n n 1 n 2解题分析：（ 1）第六行第一个数是所以 a6,21 ，第二个数设为6111；5 630a6,21+a解题分析：（ 1）第六行第一个数是所以 a6,21 ，第二个数设为6111；5 630a6,21+a6,26尼兹调和三角形，由于杨辉三角形中的第么莱布尼兹

9、调和三角形的第2）观察发现：将杨辉三角形中的每一个1Cnr 都换成r ，就得到莱布n 1 Cnrn n 3 行第 3 个数字是Cn21，那1n n 3 行第 3 个数字是12nCn2 12nn 1 n 2正确答案：（ 1） a 6,2130总结反思：该题的命制以“莱布尼兹调和三角形”为背景，考查考生灵活处理2)12nCn 12nn 1 n 2数列问题的能力和转化与化归能力。（ 2011 年理第 13 题）九章算术“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共 4 升，则第5 节的容积为升 .（2017高考全国卷 ）我国古代数

10、学名著算法统宗中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A 1 盏 B 3 盏 C 5盏 D 9 盏（2018 江西七校联考）九章算术之后， 人们学会了用等差数列的知识来解决问题， 张丘建算经卷上第22 题为：“今有女善织，日益功疾 （ 注：从第2 天开始，每天比前一天多织相同量的布） ，第一天织5 尺布，现一月（ 按 30天计 ） 共织 390 尺布”，则从第 2 天起每天比前一天多织尺布 .（ 2018江西省赣州市期中）莱因德纸草书（ Rhin

11、d Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100 个面包分给5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1 是较小的两分之和，则最小7 TOC o 1-5 h z 的 1 份为（）A. 5 B. 10 C. 5 D. 116336（ 2018 内蒙呼和浩特质量普查）“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数，具体数列为：1，1， 2， 3， 5， 8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，已知数列an 为“斐波那契”数列，Sn为数列an 的前 n 项和，若 a2017m ，则S2015

12、（ ）A. 2m B. 2m 1 C. m 1 D. m 12（ 2013 年湖北理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如nn 111三角形数1,3,6,10, ,第n个三角形数为n n 11 n21 n.记第 n 个 k边形数222为 N n,k k 3 ,以下列出了部分k边形中的第n个数的表达式：三角形数N （n,3）1 n2 1 n, 正方形数N （n,4） n2,22五边形数N(n,5) 3 n2 1 n, 六边形数N(n,6) 2n2 n,22可以推测N n, k 的表达式，由此计算N(10,24)=.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“菱草形段”第一个

13、问题， “今有菱草六百八十束， 欲令落一形( 同垛 ) 之， 问底子 ( 每层三角形边菱草束数，等价于层数) 几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛 ( “落一形”即是指顶上一束，下一层三束，再下一层 6 束，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数) ，则本问题中三角垛底层菱草总束数为.8.(2012 年湖北文科第17题 )传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上 TOC o 1-5 h z 画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10, 记为数列a n, 将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列b n. 可以推

14、测:(1)b 2012是数列an中的第 项 ;(2)b 2k-1=.(用 k 表示 )1.67/66 ；2. B1.67/66 ；2. B；1629；4.C；5.D解析 : 5.D解析 : Q an 2 anan 1anan 1 an an an 1an 2an 1an an 1 an2 an 3an 2anan 1 aan an 1 an2 an 3an 2anan 1 an2 +an 3. a2 a1 1=Sn1,S2015a20171 m1D.6.1000；解：结合以上的公式发现如下规律：(1) 第 n 个 k 边形数 N n,k (k 3)的表达式是关于n 的二次函数(不含常数项)，且二次项系数为k 2；22)每一个k 边形数的第一个数都是1；故有 N k n,kk 2n22 k22n ，所以N 10,2422102 102 1000 .27.120；解析：由题意，第n 层菱草数为1 解析：由题意，第n 层菱草数为1 2nn(n 1）2，n（ n 1）1 3 62 680，11112 6n（n1）（2n1）2n（n1）6n（n 1）（n 2） 680， n（n 1）（n 2） 15 16 17，n（ n 1）n 15，