2018常微分方程考研复试题库答案

1、2018常微分方程考研复试题库及答案2018常微分方程考研复试题库及答案7/72018常微分方程考研复试题库及答案123132133138139143144145146150151156157162164167168173174177178180184185189190192193194195198199202203205206210211216217221222226227229230233234235236241242将（2x-4y+6）dx+(x+y-3)dy=0化为齐次方程。243求解dy=f(x+y+1)dx244说明当p(x连续时，线性齐次方程的0解唯一。证明线性齐次方程任意两个解

2、的和与差仍是它的解。246常数变易法用变换y=C(x)exp(-p(x)dx)与线性齐次方程通解有什么不相同248dy/dx-xy=0.1x2dy249求初值问题的解ycosxdx1y(0)250求解dy2xy=4x.dx251求解方程y2y=x2exp(2x),y(0)=0.252解方程dy=1ydxx253设y1(x),y2(x)是一阶线性方程两个不相同的特解，试用这两个特解来表示通解。用变量代替或微分方法将下面方程化为线性（1）xdx=(x22y+1)dy（2）(x+1)(yy-1)=y2（3）xy(t)dtx+1y(x)=0化以下方程为线性方程（1）y-4y=xyx（2）y=y2-x2

3、-1256将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。257试证明：凡拥有通解为y=C(x)+(x)式的一阶方程都是线性方程。其中(x)，为可微函数。常微分方程2答案1231321331381391431441451461501511562157162163164167168173174177178180181184185189190192193194195198199202203205206210211216217221222226227229230233234235236241242方程变形为dy=2x4y6，它的分子，分母两条直线交点为（1,2）dxxy2作变换xu1，于是获取dv2u4

4、v，它已经是齐次方程。yv2duuv243令z=x+y+1,则dz1dy，于是dz=1+f(z),dxdxdx只要f(z)0,可分别变量得x=dz+C1f(z)xx244因p(x)连续，y(x)=y0exp(-p(x)dx)在p(x)连续的区间有意义，而exp(-p(x)dx)x0 x00。若是y00，推出y(x)=0,若是y(x)0,故零解y(x)=0唯一。245设有两个解y1(x),y2(x),则y(x)+p(x)y(x)0,y(x)+p(x)y2(x)0,则112（y(x)y2(x)）y(x)(y(x)+y2(x)=(y(x)+p(x)y(x)+y(x)+p(x)y2(x)11112表示

5、y1(x)y2(x)仍是解。246在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C（x）是x的可微函数。将任意常数C变成可微函数C（x），希望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。247用线性齐次方程通解公式得y=Cexp（sinx）249p(x)=-cosx用线性齐方程初值问题解公式即得y=exp(sinx)250用线性方程通解公式：y=exp(-2xdx)(C+2xdx)dx)=exp(-x2)(C+2exp(-x2)=2+Cexp(-x2)公式求得方程通解y(x)=exp(2x)(C+x2exp(2x)exp(-2x)dx)=exp(2x)(c+1x3)3利

6、用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=1x3exp(2x)3252x看作自变量，y看作函数，则它是非线性方程，经变形为dxdyx+y以x为未知函数,y是自变量，它是线性方程，则通积分为x=exp(dy)(c+yexp(y)dy)=cexp(y)-y-1253任一解y(x)满足（y(x)-y1(x)）/y2(x)-y1(x)=C,或(y2(x)-y1(x)+|y1(x)这就是一阶方程通解的结构。254令z=x2,则dz=2xdx,代入方程得1/2dz=(z-2y+1)dy它已经是线性方程。1）令u=y2,则du=2yy,代回原方程得dxx+1）(1/2u-1)=u,变形为du=2u2dxx1这已经是线性方程。（2）它不是微分方程，但对它求导后得dy(x)dxy(x)+1,这已经是线性方程。dy-2xy=exp(x2)cosxdx此为线性方程，从而通解为y=exp(2xdx)(C+exp(x2)cosxexp(-2xdx)dx)=exp(x2)(C+sinx)dy+y(x)(x),(x)是已知可微函数)dx此方程为线性方程，从而通解为y=exp(-ddx)(C+(x)(x)exp(x)dx)dxdx=exp(-(x)(C+exp(x)(x)-1)=Cexp(-(x)+(x)-1255此为贝努利方程。令z=y得dz2z=x,它是线性方程。dxx2（1）此为黎卡