带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析

1、带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析带电粒子在 “有界”磁场中运动问题分类解析一、求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时，一般先根据题意画出运动的轨迹，确定圆心，从而根据几何关系求出半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。1、首先确定圆心：一个基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上。三个常用方法：方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心， 知道两个速度的方向， 画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。例 1：如图 1 所示， 一个质量为 m 电荷量为 q 的带电粒子从x 轴上的 P（ a ， 0

2、）点以速度v，沿与 x 正方向成 60的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限。 求匀强磁场的磁感应强度 B 和射出点的坐标。解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O 即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为ra2 a ，洛仑兹力是向心力qBvmv2，由解得r2a , B3mv .sin 603r32aq射出点的纵坐标为（ r+rsin30 ） =1.5r,因此射出点坐标为（0，3a ）。方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条

3、半径的交点确定圆心的位置。例 2：电子自静止开始经M 、 N 板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为d 的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P 偏离入射方向的距离为L，如图2 所示，求：1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；2）匀强磁场的磁感应强度 .（已知电子的质量为 m，电量为 e）解析：（ 1）联结 AP 的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦AP 的中垂线，由于电子通过 A 点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过A 点的半径与磁场的左边界重合。AP 弦的中垂线 OC 与磁场左边界的交点O 即是电子圆运动的圆心，以O 为圆心以 OA为半径画圆弧，如

4、图3 所示，（ 2）在 M 、 N 间加速后获得的速度为v，由动能定理得：12eUmv2电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r ，则：eBvv2L在ACO 中：m在 AQP 中： sindrL22sinACL2 d 2 / 2由解得：B=2L2mUrrL2d 2e方法三：利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区， 如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。例 3、一质量为 m、带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点沿 y 轴正方向射入磁感应强度为 B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向

5、垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从B 处穿过x 轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为30，同时进入场强为E、方向沿与 x轴负方向成 60角斜向下的匀强电场中，通过了B 点正下方的C 点。如图示4 所示，不计重力，试求：（ 1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（ 2） C 点到 B 点的距离 h。解析：（ 1）反向延长 vb 交 y 轴于 O2 点，作 BO 2O 的角平分线交x 轴于 O 1 ，O 1 即为圆运动轨道的圆心，OO 1 即为圆运动轨道的半径，其半径为R OO1mvqB画出圆运动的轨迹（图 5 虚线圆） 交 B O2 于 A 点，最小的圆形磁场区域是以OA 为直径的圆，如图 5阴影所

6、示。设最小的磁场区域半径为r,则OA 2r3RS mi nr2利用解得 S m i n3 m 2 v 24q 2 B 2（2） B到 C受电场力作用，做类平抛运动，沿初速方向：h sin 30vt沿电场方向：1qE2利用消去43mv2h cos30tt 解得 h.2mqE2半径的确定和计算2一个基本思路：半径一般在确定圆心的基础上用平面几何知识求出，常常要解三角形。两个重要的几何特点：（ 1）粒子速度的偏转角（ ）等于回旋角（ ）并等于弦切角 （ AB 弦与切线的夹角）的两倍（如图所示），即 = =2 ；（ 2）相对的弦切角（ ）相等，与相邻的弦切角（ ）互补，即 + =180 03.运动时间

7、的确定一个基本思路：利用圆心角与弦切角的关系或者四边形的内角和等于3600 计算出粒子所转过的圆心角 的大小。两个基本公式：tr,tTv2例 4: 如图所示，在 xOy 平面上， a 点坐标为（ 0， L ），平面内一边界通过a 点和坐标原点O 的圆形匀强磁场区域， 磁场方向垂直纸面向里，有一电子（质量为m，电量为 e）从 a点以初速度 v0 平行 x 轴正方向射入磁场区域， 在磁场中运动，恰好在 x 轴上的 b 点（未标出）射出磁场区域，此时速度方向与 x 轴正方向夹角为 60，求：（ 1）磁场的磁感应强度；（ 2）磁场区域圆心O 1 的坐标（，）； （3）电子在磁场中运动的时间练习 1：如

8、图所示， 在第象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率与x 轴成 30角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（B )A、1：2B、 2：1C、1:3D、1：1二带电粒子在常见有界磁场区域的运动轨迹V1V21、基本轨迹。VO212（ 1）单直线边界磁场（如图1 所示）。O12OV1带电粒子垂直磁场进入磁场时。如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直原边界飞出；V3如果与磁场边界成夹角 进入，仍以与磁场边界夹角 飞出V2（有两种轨迹，图1 中若两轨迹共弦，则 1 2）（ 2）平行直线边界磁场（如图2 所示）。O3V1O2O1q图（ 2）带电粒子垂直磁场

9、边界并垂直磁场进入磁场时，速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。例 5:如图所示， 一束电子 (电量为 e)以速度 V 垂直射入磁感强度为B，宽度为 d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30，则电子的质量是，穿过磁场的时间是,若电子质量 m已知 ,则要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V 必须满足的条件为。 m=2dBe/V ， t= d/3V，VBed/m练习 2如图所示，相互平行的直线M 、 N 、 P、 Q 间存在垂直于纸面的匀强磁场。某带负电粒子由

10、O 点垂直于磁场方向射入，已知粒子速率一定，射入时速度方向与OM间夹角的范围为0 90 o，不计粒子的重力，则： （） ACDA. 越大，粒子在磁场中运动的时间可能越短B. 越大，粒子在磁场中运动的路径一定越长C. 越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN 的距离一定越小D.粒子在磁场中运动的轨迹长度与时间的比值与 无关（ 3）矩形边界磁场（如图3 所示）。V4带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，V3速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；V2速度在某一范围内时从侧面边界飞出；q速度为某临界值时， 粒子作部分圆周运动其轨迹与对面边界相切；O4O3 O2 O11图（ 3）V速度较大时粒子作部

11、分圆周运动从对面边界飞出。例 6：长为 L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为 B，板间距离也为 L ，板不带电，现有质量为m，电量为 q的带正电粒子(不计重力 )，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（AB ）A 使粒子的速度V5BqL/4m ；C 使粒子的速度VBqL/m ；D 使粒子速度BqL/4mV0 ， y0)这是一个圆的方程，圆心在（0， R ）处。磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积。磁场的最小面积为 ;S 2(1 R21 R2)22(2)m V 0422e2 B 2练习题：1一电子以垂直于匀强磁场的速度

12、vA，从A 处进入长为d、宽为 h 的磁场区域如右图所示，发生偏移而从 B 处离开磁场，若电荷量为e，磁感应强度为B，圆弧 AB的长为 L，则（）( B)dA电子在磁场中运动的时间为t vALB电子在磁场中运动的时间为t vAC洛伦兹力对电子做功是BevAhD电子在 A、 B 两处的速度相同2如右图所示，平面直角坐标系的第象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为 B.一质量为 m、电荷量为q 的粒子以速度v 从 O 点沿着与 y 轴夹角为 30的方向进入磁场，运动到A 点时速度方向与 x 轴的正方向相同，不计粒子的重力，则（）(A该粒子带正电mvB A 点与 x 轴的距离为 2qBmC粒

13、子由O 到 A 经历时间t 3qBD运动过程中粒子的速度不变3如图 (甲 )所示，在以直角坐标系xOy 的坐标原点 O 为圆心、 半径为 r 的圆形区域内， 存在磁感应强度大小为 B、方向垂直 xOy 所在平面的匀强磁场一带电粒子由磁场边界与 x 轴的交点 A 处，以速度 v0 沿 x 轴负方向射入磁场，粒子恰好能从磁场边界与 y 轴的交点 C 处，沿 y 轴正方向飞出磁场，不计带电粒子所受重力(1)求粒子的比荷q.m(2)若磁场的方向和所在空间的范围不变，而磁感应强度的大小变为B，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，粒子飞出磁场时速度的方向相对于入射方向改变了 角，如图 (乙 )所示，求磁感

14、应强度 B的大小解答 :(1) 由几何关系可知，粒子的运动轨迹如图，其半径R r，洛伦兹力等于向心力，即： qv0 B mv02得 q v0 .rm Brmv02(2)粒子的运动轨迹如图，设其半径为R，洛伦兹力提供向心力，即qv0 B R又r因为 tan 2 解得 B B tan 2 .R4.如图所示，在一个圆形区域内，两个方向都垂直于纸面向外的匀强磁场分布在以直径A2 A4 为边界的两个半圆形区域、中，直径A2A4 与 A1 A3 的夹角为60，一质量为m、带电荷量为q 的粒子以某一速度从区的边缘点A1处沿与 A1 A3 成 30角的方向射入磁场，再以垂直 A2A4 的方向经过圆心 O 进入区，最后再从A2 处射出磁场已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求区和区中磁感应强度 B1 和 B2 的大小 (忽略粒子重力 )m m