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文档简介

1、第三章 随机变量的数字特征3.5 切比雪夫不等式与大数定律概率论中用来说明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律.定理1设随机变量的数学期望与方差存在，则对于任意的正数或1.切比雪夫不等式这两个不等式都叫做切比雪夫不等式.证：设 为连续随机变量，的概率密度为那么当为离散随机变量时，类似可证.所以有注：切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系，来估计的概率.可用它又因为定义对随机变量序列假设存在使得对于任意的正数则称随机变量序列按概率收敛于2.大数定律3.8 切比雪夫不等式与大数定律定理2切比雪夫定理设独立随机变量序列的数学期望与方差并且方差一致有上界，即存在某一常数使得则对于任意的

2、正数有证：对随机变量应用切比雪夫不等式得由此得令得到但概率不可能大于故有切比雪夫定理说明：假设独立随机变量序列的数学期望与方差存在，且方差一致有上界，按概率收敛于其数学期望则随机变量紧密地聚集在它的数学期望附近.的值将比较即当 充分大时,推论设随机变量序列独立同分则对于任意的正数有即， 独立同分布随机变量序列的算术平均值按概率收敛于期望注：这一推论是算术平均值稳定性的理论依据.并且数学期望与方差存在：布，定理3（伯努利定理）在独立试验序列中，设则事件 在 次试验中发生的频率当试验的次数时，按概率收敛于事件的概率即有证：设随机变量则独立同分布，且于是由切比雪夫定理的推论得又易知是事件在次试验中发

3、生的次数由此可知所以有伯努利定理说明：当试验在相同的条件下重复进行很屡次时，随机事的频率将稳定在事件的概率附近.件概率很小的随机事件在个别试验中是不可能发生的.说明：1随机事件的概率究竟要多么小，才能看作实际上不可能发生呢？这要根据随机事件的本质来确定.2此原理仅仅适用于个别的或次数极少的试验. 3由此原理可得重要结论：如果随机事件的概率很接近于那么可以认为在个别试验中这一事件一定发生.3.小概率事件的实际不可能性原理例从某工厂生产的产品中任取件来检查，结果发现其中有件次品，是否相信该工厂的产品的次品率解：假设该工厂的次品率则检查件产品发现其中次品数的概率因为很大且较小，所以在工业生产中，一般把概率小于的事件认为是小概率事件.由此可知是小概率事件.现在小概率事件在一次试验中发生了.根据小概率事件的实际不可能性原理，不能相信该工厂产品的次品率1. 切比雪夫不等式：2. 大数定律及其含义. 3. 小

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