2022-2023学年辽宁省鞍山市高三上学期第一次质量监测数学试题（解析版）

1、PAGE 鞍山市普通高中20222023学年度高三第一次质量监测数学考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如果，那么在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合，则集合的子集个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 5. 函数的单调减区间是（ ）A

2、. B. C. D. 6. 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（ ）A B. C. D. 7. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）A. B. C. D. 8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y0，则，当且仅当时等号成立根据权方和不等式，函

3、数的最小值为（ ）A 16B. 25C. 36D. 49二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数在处的导数存在，则（ ）.A B. C. D. 10. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（ ）附：A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，点满足，设点的轨迹为，则（ ）A. 的周

4、长为B. （不重合时）平分C. 面积的最大值为6D. 当时，直线与轨迹相切12. 已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是( )A. 当时，在单调递增B. 当时，在处的切线方程为C. 当时，在上至少有一个零点D. 当时，在上不单调三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中的系数为_.14. 的值为_.15. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则_.16. 若实数，满足，则的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解

5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列满足首项为的值，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角B；（2）若，的面积为，求的周长.19. 如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.（1）求与平面AEF所成角正弦值；（2）过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线：这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实（也称为公理）得出，请写出该基本事实的内容；求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.20. 北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功

6、对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上

7、程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.21. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP斜率之积等于.（1）求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；（2）设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.22. 已知函数（），.（1）求函数的极值点； （2）若恒成立，求的取值范围. 鞍山市普通高中2022202

8、3学年度高三第一次质量监测数学考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如果，那么在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先计算出，然后判断其所象限，即可求解【详解】由可得，复数所对应的点位于第四象限.故选：D2. 已知集合，则集合的子集个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】首先解指数不等式得到，即可得到，再求子集个数即可.【详解】，则，子集的个数为，故选：D3. “幂函数在上为增函

9、数”是“函数为奇函数”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，则，解得：，当时，则，所以函数为奇函数，即充分性成立；“函数为奇函数”，则，即，解得：，故必要性不成立，故选：A4. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为故选：C5. 函数的单调减区间是（ ）A. B

10、. C. D. 【答案】A【解析】【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案.【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.令，所以.故选：A.6. 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直三棱柱的定义及三角形的面积公式，再利用正弦定理及三元基本不等式，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】由题意可知，设底面圆的半径为，则,解得.因为直三棱柱的定义可知，要使能截得直三棱柱体积最大，只需要圆的内接三角形面积最大即可

11、，.当且仅当，即时。等号成立，所以三角形是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，.所以能截得直三棱柱体积最大为.故选：B.7. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式计算【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为，由题意可得，则，则数列为首项为，公比为的等比数列，所以，则视力4.9的视标边长为，故选：D.8. 权方和不等式

12、作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y0，则，当且仅当时等号成立根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）A. 16B. 25C. 36D. 49【答案】B【解析】【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a，b，x，y0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数在处的导数存在，则（ ）.A. B.

13、 C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由导数的定义得出，.【详解】因为函数在处的导数存在，所以，故B正确.又，所以C正确.故选：BC.10. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（ ）附：A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】先设男生人数为，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系即得答案【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，由题意可列出列联表：男生

14、女生合计喜欢锻炼不喜欢锻炼合计由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，所以；解得：，因为，故的可能取值为：9、10、11、12、13，即男生的人数可以是45，50，55，60，65.则选项中被调查学生中男生的人数可能45或60故选：BC.11. 在平面直角坐标系中，点满足，设点的轨迹为，则（ ）A. 的周长为B （不重合时）平分C. 面积的最大值为6D. 当时，直线与轨迹相切【答案】ABD【解析】【分析】设，根据题意求得曲线的方程为，结合圆的周长公式，可判定A正确；求得，延长到，使，连结，得到，进而求得，可判定B正确；利用三角形的面积公式和圆的性质，可判定C错误；不妨取，求得直线的方程，结合直

15、线与圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】设，因为，且点满足，可得，整理得，即曲线的方程为对于A中，曲线为半径为的圆，所以周长为，所以A正确；对于B中，因为，所以，所以，延长到，使，连结，如图所示，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，即平分，所以B正确对于C中，由的面积为，要使得的面积最大，只需最大，由由点的轨迹为，可得，所以面积的最大值为，所以C错误；对于D中，当时，或，不妨取，则直线，即，因为圆心到直线的距离为，所以，即直线与圆相切，所以D正确故选：ABD12. 已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是( )A. 当时，在单调递增B. 当时，在处的切线方程为C. 当时，在上至少有

16、一个零点D. 当时，在上不单调【答案】ABD【解析】【分析】A代入m1，求，根据指数函数和正弦函数在上的值域即可判断的正负，由此可判断f(x)在上的单调性；B代入m1，求f(0)和，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；C代入m1，求，令，求，根据在上的正负判断的单调性，根据单调性可判断其在上是否有零点；D判断在，上的正负，由此判断的单调性，由此可判断在，上有零点，故可判断f(x)在，上不单调【详解】当时，当x0时，1，1sinx1，0，f(x)在上单调递增，故A正确；f(0)0，在处的切线方程为yx，故B正确；当m1时，令，则，当x0时，1，1cosx1，0，在上单调递增，当x

17、0时，1，在上无零点，C错误；当，时，cosx0，0，0，在，单调递增，又，而，由零点存在定理可知，存在唯一，使得，当，时，单调递减，当，时，单调递增，在，上不单调，故D正确故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中的系数为_.【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特点即可求解.【详解】的展开式中第四项为，故的系数为：，故答案为：14. 的值为_.【答案】1【解析】【分析】把拆成，然后利用公式进行化简.【详解】因，所以；故答案为：1.15. 根据以往临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有

18、癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则_.【答案】【解析】【分析】先求，根据条件概率和全概率公式可得，代入计算即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以由全概率公式可得，因为所以.故答案为：.16. 若实数，满足，则的最小值为_.【答案】2【解析】【分析】把问题转化为曲线上的点与上点的距离的平方，进一步转化为点到直线的距离公式求解【详解】解：因为，所以，即，令，设直线与曲线相切于点，由，得，则，由，解得或（舍去），所以，则到直线的距离而的几何意义为曲线上的点与直线上点的距离的平方，则的最小值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明

19、、证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列满足首项为的值，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用对数的运算法则求得的首项，再利用等差数列的通项公式代入即可求解；（2）将（1）中代入，利用裂项求和法即可求得.【小问1详解】根据题意得， ，因为数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得，所以.【小问2详解】由（1）可得，所以.18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角B；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理边化角即可得，进而可求解，（2）根

20、据三角形面积公式以及可得，由余弦定理可求，进而可得周长.【小问1详解】，.由正弦定理得，.【小问2详解】的面积为，即，得，由余弦定理可得，三角形的周长为.19. 如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.（1）求与平面AEF所成角的正弦值；（2）过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线：这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实（也称为公理）得出，请写出该基本事实的内容；求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.【答案】（1） （2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；【解析】【分析】（1）取AC中点O连接

21、OB，OF，以O为原点，OA，OB，OF为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值；（2）由基本事实3可得，延长交延长线于点M，连接FM且.则FP即为所求，确定点位置，由余弦定理求得的长【小问1详解】取AC中点O连接OB，OF，因为正三棱柱，F为的中点，与三棱柱的侧棱平行，所以OA，OB，OF两两垂直，以O为原点，OA，OB，OF为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，所以，所以，设平面AEF的法向量，则，即，令，则，所以，设与平面AEF所成角为，则，所以与平面AEF所成角的正弦值为.【小问2详解】基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只

22、有一条过该点的公共直线.如下图，延长交延长线于点M，连接FM且.则FP即为所求.是中点，且，所以是的一条中位线，所以是中点，又是中点，所以是的重心，.由余弦定理可得：，.20. 北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模

23、拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1） （2）分布列见解析，甲【解析】【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解，（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小，即可判断谁的成功的可能性更大.【小问1详解】乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则.【小问2详解】由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，故X的分布列为X0123P所以.所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.21. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.（1）求动点P