概率论题答案

1、 TOC o 1-5 h z 122x y 1, 一.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f (x, y)则0 其他，EE(X|Y)0.设随机变量X服从二项分布，Y服从泊松分布，即XB 4,0.5 ,Y 1 , XY 0.5,则 D(2Y X 1)3 .设X(t) A cosat Bsin at,( t )其中A, B是相互独立的随机变量，其均值都是0,方差都是1,则X(t)的自相关函数为RX(s,t)cosa(t s).设电话总机在(0,t内接受到的电话呼叫次数N(t)是强度(每分钟)为81 5 30的泊松过程，则3分钟内接到5次呼叫的概率为e3 .40.设随机过程 X(t) tY,t 0

2、,其中Y服从正态分布，即 YN(1,4),求1E 3tX(t)dt 1.0.设随机过程X(t),0 t 是实值均方可微过程，且其自相关函数为dRX(s,t) 5st,均值函数为mX (t) 2t ,令Y(t) X(t),则导数过程Y(t)的协 dt方差函数BY(s,t)1 .二.某商店顾客的到来服从强度为 4人每小时的Poisson过程，已知商店9:00开门,试求：(1)在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2)若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的 概率。解：设顾客到来过程为N(t), t=0,依题意N(t)是参数为 的Poisson过程(1)在开门半小时中，无顾客到

3、来的概率为：14 52P N -0 e E Acos t Acoscos tos t d t 2 d E Acos t Acoscos tos t d t 2 d21(2)在开门半小时中无顾客到来可表小为N -0 ,在未来半小时仍无顾1客到来可表小为 N 1 N -0 ,从而所求概率为:211P N (1) N 0|N011P N (1) N 0|N022P N (1) N 0|N N 002114 1 -P N(1) N 10 e 2 e2三.随机过程X t Acos t三.随机过程X t Acos tt ,其中 是常数，A, 是相互独立的随机变量，EA 2,DA 互独立的随机变量，EA 2

4、,DA 4,是在-,上均匀分布的随机变量试分析X t的平稳性和各态历经性。解：mXmX tE X t E A cosRX t,t E X t X t2E A E cos t2 cos t d28cos t24一 cos (def4cosRXt EA E cos tdef0 mX,t所以具有平稳性。),四.设平稳随机过程X(t)的自相关函数RX( ) 6。令丫。)X(t)cos( 0t),其中 0, 为0,2 均匀分布的随机变量，且X(t)与相互独立。求Y(t) 的自相关函数和功率谱密度。解：令 Z(t) cos( 0t)则Rz。/)Ecos( 0L)cos( 0t2)1，1，、E cos( o

5、ti0t2)21-cos( oti0t2 22)1 cos20 (t1 cos20 (t1t2 )cos 0(t| t2)Ecos2sin 0(t1t2)Esin 21一 1一 cos 0 (t1 t2)2Ry*)EY(t1)Y(t2)EX(t1EX(t1)cos( 0t1)X(t2)8s( 0t2)EX(tEX(t1)X(t2)Ecos( 0t1)cos( 0t2)1Rx(L t2) - cos 0(t1 t2),t1 t221 I -e cos 0 , 2S1 I -e cos 0 , 2Sx( )Sz()-12由Fourier变换的性质得c1c c1&( ) 2-Sx( ) Sz()-用

6、傅立叶变幻求出 Sy也算正确)五.设马氏链Xn,n 0t1 t2(0)(0)1n 0) n的状态空间为1,2,3,初始分(直接利11P11P 9P, 2，P3(0)0, 一步转移概率矩阵为求：X1的分布律;P(X求：X1的分布律;P(X1 1,X3 1,X4 1)1412133414001423 P(X P(X5 1,X62|X3 1)证明马氏链Xn,n 0是遍历的解(1) (P尸2尸3)(F1(0), P2(0), P3(0)Pi41i41213341400142312312(2)(8(2)P(X1 1,X3 1,X4 1) P(X1 1,X3 1,X4 1) P(X11)Pn(2)P113

7、J 1218 16 4512(3)P(X5 1,X62|X3 1)P11Q) P122164 (4)由于马氏链pj(2)0, 1(4)由于马氏链pj(2)0, 1i, j 3,所以Xn,n 0是遍历的.(利用分析发放证明也算正确)六.设马氏链Xn,n0的状态空间为1,2,3,4,5,6,7,转移概率矩阵为0.400.400.2001000P 0100000000000.20.20000001000000000.500.500.50.50000.50.53331681617113164811143649试确定该链是否可分，若可分，找出全部不可分闭集，讨论状态分类，各状态 的周期，并求平稳分布.解

8、 该链是可分，J 2,3,4, J2 5,6,7,由p32 1 0,所以J为周期为3的正常返集.J2有自环，所以J2非周期正常返集设J2平稳分布为5设J2平稳分布为5, 6, 7则有0.50.50.50.50.50.57 1解得1 1 17=3,3 寸七.设一平稳过程 X(t)先通过一个微分器，其输出过程为Y(t) _dX(t),然后过程Y(t)dttete再输入到另一脉冲响应函数为h(t)0,t 0的线性系统，输出过程记为Z(t).若测其他得Z(t)的功率谱密度为 SZ()一,试求X(t),Y(t)和Z(t)的自相关函数. 4解:(2)(注：若f(t)的傅里叶变换为F ()，则得Z(t)的功率谱密度为 SZ()一,试求X(t),Y(t)和Z(t)的自相关函数. 4解:(2)(注：若f(t)的傅里叶变换为F ()，则59的傅里叶变换为i F ()dt4 24)( 2 1)16/34/3Rz(h(t) H2(44e311 i2| |12a Ue3|H2()|2Sz(2|