高中数学不等式经典题型专题训练试题(含答案)

1、I=Ji中数学不等式经典题型专题训练试题abcbaccbaacbabcbaccbaac0已知实数X, y满足条03,则目标函数z=2x-y （）丿0有最小值0,有最小值0,有最大值6有最小值有最大值3有最小值3,有最小值3,有最大值6有最小值有最大值63若X是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cos+sinxcos的最大值是（）A-1cA-1cB. xV2 B. xV2 或 x2D. xl4不等式x2-x-20的解集是(-2x2C. -lxO的解集为（2 1）,则函数y=f （）的图象为（）6.设 6.设 a=0.203 b=0.2o2 C=IOg2O.4 则 a.b, C的大小关系为（c

2、abcbaabcbcacabcbaabcbcaBA. a2ablIOiiLh IogL(I0 c, abb21D 2b2asin +sin C COS ( + B ) VSin Cl +sin A. Sin ( + B ) sin +sin C COS ( + B ) VSin Cl +sin Sin ( a + ) cos a +cos D. COS ( a + ) cos U +cos 9.若9.若OVmVn,则下列结论正确的是（A. （y ）7w2n) IogLn D 0g2m0g2n10设abpC. a-bA XB. prpC. a-b评卷人得分二.填空题（共10小题，每题2分，共20

3、分）1 211已知Q-1 Q且满足5=2,则市于的最小值为已知 a, bR 且 2a+b=l Rj2-42-2的最大值是已知向fe =(x-b 2), =(4, y)t若;丄，则 好+4丫的最小值为若x0 yO,且+-=1则x+y的最小值是15、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个而积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长X其边长X为 (m ) 2已知-l, y0且满足x+2y=2,则一+二的最小值为+l y若实数a+b=2, a0 b0,贝肚+夕的最小值为CIb+vO若X, y满足约束条件x-y+40 ,贝J z=3-y的最小值是0 且 4a2+b29,贝J a2-ab+b2 的范羽是+

4、1J 020.+1J 020.已知 f(X)=0评卷人得分三简答题（共10小题，共60分）（6 分）已知 x0, y0,（1）若2xy=l,求丄+丄的最小值.3：求函数f (X)的最小值.25.（6分）已知向戦=25.（6分）已知向戦=(l+sin2t SinX-COSX) =(1, Sin+cos)函数f (x)（【）求f（X）的最大值及相应的X的值：A（II）在AABC中，a, b, C分别是三个内角A, Bt C所对边，若f （- ） =2, a=2,求ZABC 而积的最大值.的最小值为I 9的最小值为26.(6分)设Gby C均为正数.且ab+c=12 I则-+726.a b(4 分)

5、己知：Xt y. zRt 2+y2+z2=l,则 -2y-3z 的最大值为(4 分)若 a, b, cR+,且十+g+g=l,求 a+2b+3c 的最小值.（10分）某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：原材料费每件50元：职工工资支出750020 x元：电力与机器保养等费用为x2-30 x600元：其中X是该厂生产这种产品的总件数.（I）把每件产品的成本费P（X）（元）表示成产品件数X的函数，并求每件产品的最低成 本费：（II ）如果该厂生产的这种产品的数量X不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件 产品的销售价为Q（X）（元），且7Q（X） =1240.v-.试问生产多少件产品，

6、总利润最高？并求出最髙总利润.（总利润=总销售额总的成本）（6分）已知左义在R上的函数f （X） =x-lx2的最小值为a.（1）求a的值；1 2（2）若m, n是JE实数，且m+n=a,求一+r的最小值.ni R评卷人得分参考答案参考答案一单选题(共_小题)1.设 a=sinl4 +cos 14 , b=sinl6 +cos 16 , C =申,则 a, b, C 大小关系()A abcB. bacC. cbaD acb答案：D 解析:解:由题意知,a=sinl4 +cosl4sinl4-+cosl4-0)=j2si11590.解:由题意知,a=sinl4 +cosl4同理可得，b=si16

7、 +cos 16 =QSin61 , C = Y-=JySil160 ,Vy=SinX 在(0, 90)是增函数,sin59 sin60 .ac003，则目标函数z=2x-y （lvoA.有最小值0,有最大值6B.A.有最小值0,有最大值6B.有最小值有最大值3C.有最小值3,有最大值6D.有最小值-2.有最大值6解：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.当目标函数z=2xy过直线x=3与直线尸0的交点（3, 0）,目标函数取得最大值6： 当目标函数z=2xy过直线X=O与直线x-y2=0的交点（0, 2）时，目标函数取得最小值2 故选D.3.若X是三角形的最小内角，则函数y=sinx

8、+cos+sinxcos的最大值是（）A. -1B.匹C. 2D. 2答案：D解析：解:y=sin+cosx+sinxcos=SinX (l+cos) +l+cos-l =(l+sin) (1+cosx) -1 y (l+sin) 2+ ( (l+cos) 2-l（当且仅当l+sin=l+cosx时成立，此时SinX=COSX=） 即 y (max)故选D4不等式x2-x-20的解集是()A. -2x2B. xx2C. x-lxlD. xxl答案：A解析：解：原不等式化为x2-x-20因式分解得(-2)(仪|+1) 0,所以x-20RP2解得:-2xO的解集为(2 1),则函数y=f ()的图

9、象为()解析：解：不等式f (X) =ax2-cO的解集为(-2, 1),a b=0.2o2, C=IOg20.4 则 a, b, C 的大小关系为()A. cabB. cbaC. abcD bc0.2t 故有 a=O,2o30,可得 ba0.由于函数 y=og2x (0, +8)上是增函数,故 c=log20.4Iog2I=O,即 cac,故选A7设OVbal,则下列不等式中成立的是()A. a2ablA. a2ablD. 2b2a2IogLblosLa0 c abb212 2答案：D解析：解：采用特殊值法，取a丄，b34则 a2=, b2=-, ab=-,故知 A, C 错：9 IO IZ

10、对于B,由于函数尸/&；“是定义域上的减函数,.哦中故B错: 对于D,由于函数尸/是泄义域上的增函数，2b2asin +sin B. Sin ( + ) cos +cos C COS ( a + B ) VSin a +sin D COS ( o + ) cos Cl +cos 答案：D解析：解：对于AB中的a, B可以分別令为30 , 60则知道A, B均不成立对于C中的a , 可以令他们都等于15 ,则知道C不成立COS ( a + ) =COS a COS -Sin a Sin cos a 1+cos I=COS a +cos 故选D9.若0VmVn,则下列结论正确的是（）A. （严2n

11、C. Jo8Ln D 0g2m0g2nL厶厶厶答案：C解析：解：观察B, D两个选项，由于底数21,故相关的函数是增函数，由0VmVn,2m（1） o2l2, 2, , 2 2所以A不对，C对.故答案为C.10设ab-b答案：D髓：解：VabbO, AI-d- B IE确，a b=-b, C 匸确； 士為故D不正确故选D.评卷人得分二.填空题（共_小题）1 2已知-l, y0且满足x+2y=2t则一+二的最小值为+l y答案：3 解析：解:Vx-1, y0 且满足 +2y=2, +l0 且 x+l+2y=312 12 丄 12T7+?)(+l+2y)品斗二品斗二(5+2 3 +l y 3 vr

12、+l2v y+1)当且仅当二T= 即=0且y=l时取等号，x+l y故答案为：3.已知a, bR,且2a+b=l则2网_仏2_识的最大值是解析：解：V2a+b=l, 4a2b2=l-4ab, S=24 a2-h2 =4ab+2P-l 令 t0则 S=4(+7)244故当t丰时，S有最大值为：耳1J2-I故答案为：号一已知向 =(x-b 2), fr =(4, y),若;丄八，则好+4丫的最小值为答案：8解析：解：；丄几；= (X-1，2), ft = (4, y)VI 6x+4y = 24r+222+2j=2 护=当且仅当24x=22v即4x=2y=2取等号故答案为8若0, yO,且-+=It

13、则+y的最小值是答案：25 解析: 解：VxO, y0, E-=1+y= (+y)(一)K y当且仅当即x=5, y=20时取等号，K y*+y的最小值是25,故答案为：25.15、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个而积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长X为 (m )答案：20解析：JX 40y解：设矩形高为y,由三角形相似得：=-j,且x0, y0, V40, y40=x+y2y,仅当=y=20m时，矩形的而积S=Xy取最大值400m2.故答案为：20.1 216已知-l, y0且满足x+2y=2,则一+二的最小值为 答案：3解析：解:Vx-1, y0 且满足 +2y=2,x+1

14、0 且 x+l+2y=3,12 112 +-=T 0t b0,贝IJ丄+?的最小值为a b答案:2解析：解：T实数 a+b=2, a0, b0,当且仅当后哪时取等号.故答案为：J2.v+y018.若X, y满足约束条件X-Iy+40 ,则z=3x-y的最小值是04答案：-4解析：x+y0解：由约朿条件工-y半0作出可行域如图，0r s=a2-ab+b2=r2cos2（）r2Sin COS（）+r2sin2（）=r2 （I-Sin COS ） =r2 （1-sin2 ）,由三角函数的图象与性质.得； 当sin2 0取最大值1且r取最小值2时,S取得最小值2,当sin2 0取最小值J且r取最大值3

15、时，S取得最大值27综上，a2-abb2的范围是2,27故答案为：2,二1.x+19x0已知f （x） =0答案：-4x2解析：解：T已知答案：-4x2解析：解：T已知f（x）-+I、 x02-(-l)2, xO故由不等式f（X）可得 2+l ,或.vO解可得-4O, yO（1）若2x+y=l,求丄+丄的最小值.K y（2）若+8y-y=0求Xy的最小值答案:解:(I)U=(U)解:(I)U=(U)X y X y当且仅当22=y2等号成立,丄丄的最小值为3+2.X yY b2+c22bc c2+a22ca可得a2b2+c2ab+bc+ca,(当且仅当a=b=c取得等号) 由题设可得(a+b+c

16、) 2=1 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=l 即有 3 (ab+bc+ca) 1.则 ab+bc+ca; TOC o 1-5 h z a2b2CI(2) +b2a, +c2bt +a2c,hCa2 屏 e2故一H+ (a+b+c) N2 (ab+c),b c a9 ,11即有t上二2a+b+c.(当且仅当a=b=c取得等号)b c ci解析：证明：(1)由 a2+b22abt b2+c22bct c2+a22ca,可得a2+b2+c2ab+bc+ca,(当且仅当a=b=c取得等号)CrJ rDUq(W驱yq% 训Jf+JF+J7 解析：证明：Va, b, cRa+b2flt b

17、+c27, a+c 2a+2b+2c20+2 莎+2莎 a+b+c a b +fr7+w7Vabc=I, 、】1 1/. a+b+c -=+-p=+-p=:W JC(2) Va2+b22ab b2+c22bc. a2+c22ac 2a2+2 b2+2c2 2a b+2 bc+2ac a2+b2+c2 $ a b+bc+act1 1 111 IlllT ab+bc+ac=+7+=Jn +Jfr+JfCab bC c 111: a2+b2+c224设函数 f (x) =+3-4解不等式f(X)3；求函数f (X)的最小值.答案：解:不等式f (X) 3,即+3-x-43.而x+3-x-4表示数轴上

18、的X对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3,故不等式的解集为x2.(3分)f (x) =+3-X-4表示数轴上的X对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，可得函数f(X)的最小值为7(7分)解析：解：不等式f(X)3,即x+3卜x43.而x+3x4表示数轴上的X对应点到3对应 点和4对应点的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3,故不等式的解集为2.(3分)f (x) =x+3-x-4表示数轴上的X对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，25.可得函数f (X)的最小值为-7.(7分)25.(l+sin2x, Sin

19、X-COSX) , = (1, sinx+cos),函数 f (x) =a 9b(【)求f (X)的最大值及相应的X的值：(II)在AABC中，a, b, C分别是三个内角A, B, C所对边，若f (- ) =2, a=2,求AABC而积的最大值.答案：解：(I) Vrt = (l+sin2t SinX-COSX), = (1 SinX+cosx), J , Jf (x) =Cl =l+sin2+sin2x-cos2=l+si n2xcos2x,=1n (2x-7), 斗=1n (2x-7), 斗当 2Xn=2k+ BPX+kkZ 时,函数取得最大值l2.( )由(I)知 f(7)=2 时，

20、Sin (A-)半,. A-=2k H. A-=2k H斗专或A-=2k 43+Tk乙TA是三角形的一个内角,A=,即AABC是直角三角形.Va=2t . b2+c2=4,S. ABC=7bc!- = l (当且仅当b=c=匹时.取得最大值)，.,.ABC面积的最大值为1.解析：解：(I ) Vrt = (l+sin2x, SinX-COSX), = (1 SinX+cos),5Af (x) =Q 9b =l+sin2x+sin2-cos2xt =l+sin2x-cos2, =l+jsin(2x#),.当 2xf=2k Ji 弓即 X罟+k, kZ 时, 函数取得最大值l+24FIn(Il )

21、由(I)知 f (亍)=2 时，sin (A-)七L, I I 3 A-j-=2k 芍或 A-j-=2k -j-,R卩 A斗+2k JI 或 A=Jl +2k t kZ,乙A是三角形的一个内角,a=2.,即Aabc是直角三角形.Va=2, b2+c2=4,SABCtbCW片二=1 （当且仅当Zc=Q时，取得最大值），abc而积的最大值为1._一 9 2 526、设a , b f C均为正数，且a+b+c=12 ,则的最小值为 a b C9 解：曲柯西不等式：(1+3+5) 2 (a+b+c) (+)UbC因为：a+b+c=12I 9 25所以(1+3+5) 212* (-+-+)I 9 258

22、112* (-+-+)a h CQ ?5当且仅当时取等号GbC HYPERLINK l bookmark64 o Current Document Q ?5当且仅当时取等号GbC HYPERLINK l bookmark64 o Current Document I 9 2527即：一+二+最小值为丁 a h C马27.已知：, y, zR, x2+y2z2=l,则 -2y-3z 的最大值为答案：解：由已知 X, y zR, x2+y2+z2=l,和柯西不等式(a2+b2+c2) (e2+f2+g2)2则构造出代(-2) 2+ (-3) 2 (x2+y2+z2) 3 (x-2y-3z) 2.K

23、P ：(-2y-3z) 214KP ： -2y-3z的最大值为J 1.4. 故答案为任T.解析：解：由已知 X, y, zR, 2+y2+z2=l,和柯西不等式(a2+b2+c2) (e2+f2+g2)2贝Il构造出I2+ (-2) 2+ (-3) 2 (x2+y2+z2) (x-2y-3z) 2.KP ：(x-2y-3z) 214即：-2y-3z的最大值为J 14 .故答案为任T.(ae+bf+cg)(ae+bf+cg)28若“ b，CeRS且洛=,求中b+3c的最小值.答案:解：Va, b, cR, 7-+-= 1 ,a Zb 5 c. +2ft+3c = (o+2b+3c)(丄 28若“

24、 b，CeRS且洛=,求中b+3c的最小值.答案:解：Va, b, cR, 7-+-= 1 ,a Zb 5 c. +2ft+3c = (o+2b+3c)(丄 + ) =1+1+1 a Ib 3 C+(乂+丄)+(乂+丄)+(乂+卫)& 2h a 3c 2b 3c3+22fa +23f +23 c Iba 2b 、a 3 c 、Ib 3ca+2b+3c的最小值为9.= 3+2+2+2 = 9,当且仅当a=2b=3c=3时取等号.即 a+2b+3cM9,f:I 11-+= I , a 2h 3 c+2b+3e = (+2ft+3 c)(-+-) =1+1+1a 2h 3 c解：Va, b, cR+

25、,+( 乂+务)+( 乂+&)+(Hi) a 2h a 3 C 2b 3 C3 +22h.a +?3； +23 C Zba 2b 、a 3 c 、2b 3c即 a+2b+3cM9, a+2b+3c 的最小值为 9.= 3+2+2+2 = 9,当且仅当a=2b=3c=3时取等号.29某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：原材料费每件50元；职工工资支 出7500+20 x元；电力与机器保养等费用为2-30 x+600元：其中X是该厂生产这种产品的 总件数.（I）把每件产品的成本费P（X）（元）表示成产品件数X的函数，并求每件产品的最低成 本费：（II）如果该厂生产的这种产品的数屋X不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件 产品的销售价为Q（X）（元），且7Q（X） =1240.t2.试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最髙总利润（总利润二总销售额-总的成本）答案：解:(I) P (X) =50+7500+2OJr x2-3Ox+6OO 8 100解:(I) P (X) =50+x+40.即“90时，等