线性代数la11.5初等变换和初等矩阵

1、一、初等变换的引入 方程组的一、初等变换的引入 方程组的同解变换二、矩阵的初等变三、初等矩阵的概四、初等矩阵的应五、小结、思考本节首先从用消元法线性方程组入手本节首先从用消元法线性方程组入手，引出方程组的三类可的同解变换；再将这三矩阵I 上，得到三类初等矩类变换限制到阵,并介绍初等变换与初矩阵之间的关系；最后介绍了如何用初等变换来求逆矩阵。一、初等变换的引入来分析用消元法解下列方程组的引求解线性方程 1(I一、初等变换的引入来分析用消元法解下列方程组的引求解线性方程 1(I323 x1解2 23333523x3 x3 12133523x3 x3 121x23x3 ( 1 x3 32x12132

2、 33 12 33 13(IIx233显然，1上述解方程组的方法称为Gauss消元法21上述解方程组的方法称为Gauss消元法2经观察，发现解题过中用到的变换不外三类：（1）交换两个方程的次序（ij相互替换（2）以不等于的常乘上某个方程替（i i（3）一个方程加上另一个方程的常数k倍k（替j）ji3上述三种变换都是可逆的jiji(3上述三种变换都是可逆的jiji(B),(B)1 (ii(B),(B)kj (k) (B)(ji(B),方程组与变换后的方程组是同解的变换是同解变换若0 210 b) A (1 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 程组（I）的增广矩阵）的变换线性方程组求解问题转化为

3、矩阵问题(二、矩阵的初等变定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换j二、矩阵的初等变定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换j2 0 乘以某一行的所有元（第i 行乘 记作3把某一行所有元素的k 倍加到另一倍加到j 行上对应的元素上（行的记作同理可定义矩阵的初等列变换(把同理可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成定义矩阵的初等列变换与初等行变换统称初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类相同.逆变ri(逆变r(1)逆变(k)数学上将具有下数学上将具有下述三条性质的关系称价关系）A 对称性 若 AB ,则 B传递性 若 AB,BC,则 A 例如，两个线性方程组同解矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算用

4、广泛矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算用广泛矩阵 I 经过一次初等变换得到的定由阵称为初三种初等变换对应着三种初等方阵1. 对调两行或两列；2.以数 0乘某行或某列；3.以数 k 乘某行（列）加到另行（列）上去对调两行或两对调 I 中第i, j 两行（列），即 rij(cij )，得初等Rij(Cij对调两行或两对调 I 中第i, j 两行（列），即 rij(cij )，得初等Rij(Cij行（列）矩阵101111011i第 j左乘 A (aij )mn，用m 阶初等行矩阵 aj左乘 A (aij )mn，用m 阶初等行矩阵 ajaaj1RijA 行maamn 相当于对矩阵 A施行第一种

5、初等行变把 A的第i 行与第 j 行对调(rij类似地以 n阶初等列矩阵 Cij 右乘矩阵 类似地以 n阶初等列矩阵 Cij 右乘矩阵 a2 a2ia2n amn 相当于对矩阵 A施行第一种初等列变把 A的第i 列与第 j列对调(cij 、以数 0乘某行或某以数 0、以数 0乘某行或某以数 0（ci()），得初等行（列）Ri(Ci(11i Ri()Ci()11第 iRi(左乘矩阵A，得 Ri(左乘矩阵A，得 Ri()Am aa乘 Ai行(ri(类似地以Ci(矩阵 A 乘以 Ai列(ci(、以数k乘某行(列)加到另一(列)上、以数k乘某行(列)加到另一(列)上kI的第i行加到第 j行上(rij(

6、k) 或以kI的第 j列加到第i列上(cji(k第i1kRij(k)Cji(k)第j11以 Rij (k) 左乘矩阵A，得aka以 Rij (k) 左乘矩阵A，得akaRij(k)Akakaain jim2aaa等价于把 Ai k 加到第 j 行上(rij类似地，以Cji(k右乘矩阵 A把 A的第 jk i列上类似地，以Cji(k右乘矩阵 A把 A的第 jk i列上(cji(kACji(kka2 a2ia2 a2n amn Ri()Ci()Rij(k)Cji(k)综合定理1设A综合定理1设AmnA施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A

7、的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.初等变换对应初等矩阵，由初等变换可逆，rij 的逆变换是其本身，则 ；rrij 的逆变换是其本身，则 ；r(的逆变换为r1)，则ii1() R iirij(k的逆变换为rij(k)，则R1(k) (k)对于任何矩阵Amn , 总可经过有限变换把它变为形如下式的 标准形OIN rO对于任何矩阵Amn , 总可经过有限变换把它变为形如下式的 标准形OIN rO亦即，对任m n矩阵A，必可找到初等矩R1,Rl ,C1,Cs使IrOOORR AC l11s此标准mn有关特点的左此标准mn有关特点的左上.10000例如0012001c14010001000001c140

8、10001000c24c15(4) c25(3) c35(3)矩阵 N 即 00000标准形N有Ir I,OO(2)rIrI0 A (标准形N有Ir I,OO(2)rIrI0 A (1)1 01 010001010001c43r ,O013c34(3)矩阵的标准形分由于初等矩阵均可逆，可逆矩阵的标准形分由于初等矩阵均可逆，可逆阵的乘积仍阵，所以定理2可改写成定理对任一mn矩阵A，必可找到m阶可逆阵P、n阶可逆阵Q，使得OIrA POmnQ式中：P R11Rl1,QCs1一般称(1.5.2)为矩阵A的标准形分2A 2建立标准形分解例试对矩阵3 解12r (1)2A 2建立标准形分解例试对矩阵3

9、解12r (1)2A 2 (2)r 3 r1323c2 O10标准于是，根据初等变换初等矩阵的对应关系(2) I2(5)R (1)R(4)R (2)RO231于是，根据初等变换初等矩阵的对应关系(2) I2(5)R (1)R(4)R (2)RO231I12A(5)R ()R(4)R (2)RC212 31()R 1(5)(2)RR(4)R23I2CO(2)R (4)R (3)R(5)I2 R2I2(2)R (4)R (3)R(5)RR3 2010I(2)R (4)I2(2)R (4)R (3)R(5)RR3 2010I(2)R (4)R(3)002 R200I(4)02 RO0 0IR (2)

10、 2 00I(2) 2 0 0 00I(2) 2 0 0I2 2O120020I 2I 20II 22 解毕Q14定理3 A为可逆方阵的充分必要条件是定理3 A为可逆方阵的充分必要条件是 限个初等证充分性A=P1P2Pl 其中Pi(1=i=l)为初等方阵。A可逆由定理2，必可找到初等矩阵R1 R由定理2，必可找到初等矩阵R1 Rt C1 Cs Ir0R AC0t11s由A可逆，初等矩阵均可逆，其乘积亦可逆中r n,则右式不可逆。所以如果定r n，从A R11Rt1Cs1C11即A可以表示为有限个初等矩阵的乘积mn矩阵 A B的充分必要条件是存mn矩阵 A B的充分必要条件是存m阶可逆方阵 P

11、n阶可逆方阵Q,使 PAQ 推论n阶矩阵A可逆的充分必要条件A可经有限次初等行变换后矩阵，即矩A可逆Ar .的充分必要条件即得 I111PPA利用推论2，可以得到利用初等变换求逆矩阵的方法。（应用一）利用初等变换求逆阵的方PA I1111PI 1（应用一）利用初等变换求逆阵的方PA I1111PI 111P及lll1l1I111PAll1 111111PPlll1l1A1即对 n2n矩阵I) 施行初等行变换，当把 A变成 I 时，原来的I 就变成 A1.特别注意：为什么不能既用行变换又用列变换2243A1 ,例231000222243A1 ,例231000224313010I0A解102310

12、10r 01023101000110r0000r 023101000110r0000r 1136 2000013r5 1 01 15(335 32.21 2220 3利用初等行变换求逆阵的利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于矩阵A1B 回顾一下分块矩阵运算A1(B)(I即(A B)I求矩阵 X,使 AX B，其中例335221,1.AB 求矩阵 X,使 AX B，其中例335221,1.AB 334若 A可逆X 解224313323451B)(32259 1222022202r00r 000r (1)00000r (1)00122X 如果要求YA C,则可对矩 A作初等列变换，C如果要求YA

13、C,则可对矩 A作初等列变换，CAIY A1即C也可两边取转置得ATYT CT改为对AT,CT作初等行变换，（AT,CT(I(A1)TCT(CA1)TYT即于是可求得Y (AT)1CT例求下列0解观均为初例求下列0解观均为初B，CAXB实际上，即R31(2)XC12 解之X R 1(2X R X R R31(2)C 010418028r c r()c();r c r()c();( 1.初等行(列)变iir (k)c 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型同初等变AB A 3.2对称性3传递性矩利用初等变换求逆阵的步骤是A矩利用初等变换求逆阵的步骤是A1构造矩阵AI I 2 对AI 施行初等行变,将A化为矩阵A施行初等列后,右边 I 对应部分即为A1或对 I I 后I 对应部分即为A1.)变换,将A划为设A、B为n阶方阵若 AB I（或 BA 则 A、B均为可逆阵，且它们互为可设A、B为n阶方阵若 AB I（或 BA 则 A、B均为可逆阵，