四川大学年《微积分》期末重点汇总

1、证明f(x)=3x+4在定义域连续解析：* 证明:由fx=3x+4得limxx0fx=limxx03x+4=3x0+4=f(x0)故f(x)=3x+4在定义域连续证明若 limxfx=a, limxgx=b, limxfxgx=ab解析：* 证明: limxfx=a, limxgx=b, 0 ,0 ,x，使得fx-a， fx-bfxgx-ab=fx-a.gx+agx-bfx-agx +agx-b， 由于当x时gx-b，故，gx有界，gxM（M为常数） fxgx-ab0 ,，x，有fxgx-ab fxgx收敛于ab，即limxfxgx=ab，证毕。设f(x)=x,试按定义域求f (3)解析：*

2、f3=limx0fx+3-f3x=limx0 x+3-3x=limx03+x-3xx+3+3=123设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，证明fx0=A的充分必要条件是f-x0=f+x0=A充分性：fx0=A即在Ux0;内有limx0fx0+x-fx0 x=A考虑y=fx在x0的右邻域x0,x0+有limx0+fx0+x-fx0 x=A即f+x0=A同理f-x0=A必要性：由f-x0=f+x0=A的定义在x0的右邻域x0,x0+有limx0+fx0+x-fx0 x=f+x0=A在x0的左邻域(x0-,x0有limx0-fx0-fx0-xx=f-x0=A取x0的邻域Ux0；min1,2;

3、有limx0 fx0+x-fx0 x=f x0=Ay=1x+1x+2的n阶导数（中间过程用数学归纳法n=1 、2 ，此处不再赘述）y(n)=1x+1x+2(n)=(1x+1)(n)-1x+2n=(-1)nx+1-n-1x+2-n-1n!求 x2+y2=a2的二阶导数解析：* 由x2+y2=a2得2x+2ydydx=0则dydx=-xy2+2dydx2+2yd2ydx2=0 , 可得d2ydx2=a2a2-x232解析：* y=baaxb-1+abxa-1-bx2+baxlnba=babx-b-abaxa+1+baxlnba设x=et,试变换方程x2d2ydx2+xdydx+y=0解析：* dy

4、dt=dydxdxdt d2ydt2=d2ydx2(d xdt )2+dydxd2xdt2代入x2d2ydx2+y+xdydx=0从而d2ydt2+y=0 limx1m1-xm-n1-xn解析：* 此题只给方法，具体步骤不再赘述m=n时，原式=0;mn时，通分，洛必达求导n次y=x2ln1+x的n阶导数解析：* y=x2ln1+xy=2xln1+x+x21+xy=2ln1+x-21+x-1(1+x)2+2y=21+x+2(1+x)2+2(1+x)3找规律得：y(n)=2-1n-31+xn-2n-2!+2-1n-21+xn-1n-1!+2-1n-11+xn(n!)xy2+y2lnx=4,求d2y

5、dx2解析：* 令u=xy2 lnu=y2lnx uu=2yylnx+y2x;u=2yylnx+y2xxy2v=y2lnx v=2yylnx+y2x原式左右求导得：2yylnx+y2xxy2+2yylnx+y2x=0则y=-y1+xy22xlnx；y=y(2xlnx)2xy2(1+2lnx)+xy2(4+2lnx)+3+2lnx求y=x2+1cosx的导数解析：* lny=cosxlnx2+1 1y.y=-sinxlnx2+1+cosx2xx2+1 y=-x2+1cosxsinxlnx2+1+cosx2xx2+1x2+1cosx证明圆r=2 QUOTE asin胃 asin胃(a0)上任意一点

6、的切线与向径的夹角等于向径的极角。解析：* 证明:如图1 , r=2asin , r2=2arsin=2ay x2+y2=2ay, x2+y-a2=a2又AB、AO为直径，；又BC为圆A的切线，=2= =2-=2-= 图1得证。若极限 QUOTE 存在，则下列条件中能够佐证 QUOTE 存在的是（ C ）。 QUOTE 存在 B. QUOTE 存在C. QUOTE 存在D. QUOTE 存在解析：* A.反例：an=1n , limnan=0 , bn=n B.反例：an=1n , limnan=0 , bn=n C.bn=an-an-bn, limnan , limnan-bn都存在，bn收

7、敛 D.反例：an=0，bn=1 ，-1 ， n为奇数n 为偶数设函数f(x)在a,+ QUOTE )上连续，在（a,+ QUOTE ）内可导，且fxk其中k0, 若fak, 所以fk, 从而1-fk0 fa-fak0 因为f(x)在a, +连续，f(a)0,所以a, a-fak，使得f=0 又因fxk0恒成立，所以fx在a, +单增，所以x,fxf0;x, fxf0, 所以唯一存在，使得f=0 y=cosx2+2sinx3是否为周期函数？若是，求出最小周期。是，由题意知cosx2的最小周期为4，sinx3的最小周期为6，则y的最小周期为125、 QUOTE 。 原式=limxenxlna11

8、x+a21x+an1xn 考虑到nxlna11x+a21x+an1xn=lna11x+a21x+an1xn1nx=na11x+a21x+an1xa11xlna1+a21xlna2+an1xlnan-1x2-1nx2=n2a11xlna1+a21xlna2+an1xlnana11x+a21x+an1x，且ai1(i=1,2,n)所以上式=n2lna1+lna2+lnan1+1+1=n2lna1a2ann=lna1a2ann从而原式=elna1a2ann=a1a2ann6、 证明：当x0时，x2-1lnxx-12。 取fx=x2-1lnx-x-12 fx=2xlnx-1x-x+2在0,1处大于等于

9、0 f(x)=2lnx+1+1x2在1，上大于0 f(x)0 x2-1lnxx-127、 求limx1xx-x1-x+lnx QUOTE limx鈫?xx-x1-x+lnx 解析：* 原式=limx1exlnx-x1-x+lnx00型=limx0lnx+1exlnx-11x-1=limx11xexlnx+lnx+12exlnx-1x2=limx11x+lnx+12xx-1x2=-2 8、 设函数f(a)在(a, b)内可导，且满足f(a)=0，证明若f (x)单调增加，则 QUOTE 也在（a, b）内单调增加。 解释：fa=limxafx-fax-axa,b由拉格朗日中值定理a,x有f=fx

10、-fax-a；ffxx-a由x=fx(x-a)-fx(x-a)2，得x0， QUOTE 也在（a, b）内单调增加9、 用洛必达定理求极限：(1) limx0(1sin2x-1x2) QUOTE limx鈫?(1sinx-1x2) (2) QUOTE 解释：原式=limx0sin2x-x2x2sin2x=limx0 x-sinxx+sinxx2sin2x=limx02x-sinxxsin2x=limx02-2cosxsinx+xsin2x =limx02sinx2sin2x+2xcos2x=limx02cosx4cos2x+2cos2x-4xsin2x=26=13原式=limxx3sin1x-

11、sin1xcos1x=limxx3sin1x1-cos1x=limxx31x-12x2=-1210、 证：x0时，1+xln(x+1+x2)1+x2 解释： 设f x=1+xln(x+1+x2)-1+x2, 则f0=0 f x=lnx+1+x2+xx+1 +x21+2x21 +x2-2x21 +x2=lnx+1+x2+x1 +x2-x1+x2-1x1+x2=lnx+1+x2，当x0时，fx0，所以fx单增， fxf0,故1+xln(x+1+x2)1+x2 11、 设f(x)在点a的某邻域内有二阶连续导数，求： QUOTE limh鈫?fa+h+fa-h-2f(a)h2 limh鈫?fa+h+fa-h-2f(a)h2解析：* 用洛必达法则解题 fx具有二阶导数 limh0fa+h+fa-h-2f(a)h200型=limh0fa+h-f(a-h)h200型=limh0fa+h+f(a-h)2=f