高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修2

1、3定积分的简单应用人口聚算对应学生用书P42人口聚算他歌问题情袅但,新知无师自通如图.问题1:图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线 x= a, x = b和曲线y= f (x)和y= g( x)围成.问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x=a, x= b和y= f(x)围成的曲边梯形面积 S= /bf(x)dx,再求由x=a, x = b和y= g(x)围成的曲边梯形面积 S=/；g(x)dx,则所求阴影部 分面积为S-S2.平面图形的面积平面图形的面积为S则般地，设由曲线 y=f(x), y=g(x)平面图形的面积为S则S= /bf(x)dx- /bg(x)dx, f (

2、x) g( x).1归纳升华领悟解题关键是根据定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积,解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限.对应学生用书P42高频考点睚蛆化，名呻一点就通不分割型图形面积的求解例1求由抛物线y=x24与直线y=x + 2所围成图形的面积.思路点拨画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题.2所以直线y= x+2与抛物线y=x2所以直线y= x+2与抛物线y=x24的交点为(一3, 5)和(2,0), 设所求图形面积为 S,根据图形可得22精解t析x= - 3,得y= 5, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l book

3、mark4 o Current Document 2- _S=3( x + 2)dx 3 ( x 4)dx=2x-1x2 | - 1x3-4x | 23 2 32525125= =.236一点通求由曲线围成图形面积的一般步骤:根据题意画出图形； 求交点，确定积分上、下限;确定被积函数；将面积用定积分表示； 用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，求出结果. 一一兀兀 1.由直线x= - , x = -3-, y=0与曲线y= cos x所围成的封闭图形的面积为（1A.2B. 1D. 3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分cos xcos xdx= sin x |答案：D2.（山东高考）直线y=4x

4、与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为A. 2 2B. 4啦A. 2 24x-x3 dx= 2x4解析：由4x = x3,解得x=0或4x-x3 dx= 2x4直线y= 4x与曲线y = x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为12 = 4.答案：D3.计算由曲线解：作出曲线y2 = x, y = x3.计算由曲线解：作出曲线y2 = x, y = x3所围成的图形的面积 S.y2 = x, y=x3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积.解方程组y2=x,/口、一3得交点的横坐标 x=0,x=1,因此所求图形y= x面积为S= /0/xdx- /0 x面积为S= /0/xdx- /

5、0 x3dx=3x日 |11 412150 4x | 0-3 4-12.分割型图形面积的求解例2求由曲线xy=1及直线x=y, y= 3所围成平面图形的面积.思路点拨作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限.作出曲线xy = 1,分割型图形面积的求解例2求由曲线xy=1及直线x=y, y= 3所围成平面图形的面积.思路点拨作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限.作出曲线xy = 1,直线x = y, y=3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积.求交点

6、坐标:xy= 1, y=3,1x 3,.1故A%3y=3,xy= 1,y=x,x = - 1,或(舍去)，故B(1,1)；y = - 1,y=x,y=3,x= 3,得y=3,故 Q3,3),dx+/ 3dx+/ 3(3 x) dx= (3xln x) |3x 2x2 | 3故所求面积 S= Si + S2= 1 3 -x =4 ln 3.一点通由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化， 通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数.,

7、汽 一 ，、一 一_ , 一 ，一 一4.由曲线y=sin x, y= cos x与直线x= 0, x =所围成的平面图形（如下图中的阴影部分）的面积是（）A. 1D.2 A. 1D.2 淄2解析：S=解析：S=兀_24 (cos x-sin x)dx+ rH-1 (sin汽x cos x) dx= (sin x+cos x) 402-（cos x+sin x）兀T=（啦-1） - （1 -R = 2*-2.答案：D.求由曲线y=x2和直线y= x及y=2x所围成的平面图形的面积.2一,y=x，解：由得A(1,1),y=x,2,y=x,由 .y=2x,得B(2,4),如图所示所求面积为1S=2

8、xdx-oxdx+2xdx 0122,y=x,由 .y=2x,得B(2,4),如图所示所求面积为1S=2xdx-oxdx+2xdx 012x2 3dx12 .o(2x-x)dx+ (2xx )dx0 xdx +1(2x-x2)dx12, 1213 27=2x10+ x 3x | 1 = 6.简单几何体的体积的求解例3求抛物线y= 2x2与直线x=a(a0)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积.精解t析由a0,各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示,a22a 4 IV= J 0 兀(2 x ) dx = 4 兀 J ox dx=4 兀.1x5 | 0 = 4 兀 a5.55一点通

9、 求旋转体的体积的步骤：建立平面直角坐标系.确定旋转曲线函数f(x).确定积分上、下限a,b.计算体积V= / ；兀f2(x)dx.22 兀D.T角军析：V=兀f o sin22 兀D.T角军析：V=兀f o sin2.xdx=兀1 cos 2 x-dx兀 sin 2 x =7 x 2|2兀 兀0 =万.答案：D.给定一个边长为 a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC的方程：y = a.则该旋转体即圆柱的体积为：/ ；兀x a2dx =兀a2x | 0 =a a3.答案：a a3

10、方法，规律,小结.求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x运算较为复杂，可以选 y为积分变量，同时更改积分的上、下限.由曲线y= f（x）,直线x=a, x=b（ab）以及x轴围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周得 b应用到的旋转体的体积为 V=兀f 2（x）d x.应用对应课时跟踪训练深FMI炼经典化,贵在触炎旁通曲线y= cos x（0 w xW2tt ）与直线y= 1围成的封闭图形的面积是（）A.C. 3兀解析：如图，求曲线 y = cos x（0wxw2兀）与直线y= 1围成图任形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y= 0,y= 1, x=0, x=2兀围成的矩形的面积.故选

11、D.77或遨畛零左答案：D2.如果用1 N的力能将弹簧拉长1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,所耗费的功为（）A. 0.18 JB. 0.26 JC. 0.12 JD. 0.28 J解析：设 F(x) = kx,当 F= 1 N 时，x= 0.01 m ,贝U k=100. W0.06o 100 xdx=50 x2| 06=0.18 (J)答案：A23.曲线y= x+ 2x与直线x= - 1, x= 1及x轴所围成图形的面积为（）A. 28B.34C.32D.3解析:S= / 01( x2+2x)d x+ /0(x2+2x)dx1x3+ x2 01 +31x3+ x232 4=一+ -= 2.

12、3 3答案：A4.如图所示，在边长为的正方形OAB曲任取一点P,则点取自阴影部分的概率为（1a.4答案：A4.如图所示，在边长为的正方形OAB曲任取一点P,则点取自阴影部分的概率为（1a.41B.5P恰好C.61 D.-7解析：阴影部分的面积为j 0(Jx x)d x=2 212-x2 - x3216故所求的概率P=阴影部分的面积1的近八正方形OABC面积=6 故选C.答案：C5.如图是一个质点做直线运动的v -t图像，则质点在前 6 s位移为3解析：直线5.如图是一个质点做直线运动的v -t图像，则质点在前 6 s位移为3解析：直线OA勺万程为y= x, 3.直线AB的万程为y=-x+9,故

13、3质点在刖6 s内的位移为/04x dx+/4-7x+9 dx=-x28+ -|x2+9x4内的= 6 + 3 =9(m).答案：9 m.（福建高考）如图，在边长为 e（e为自然对数的底数）的正方形中 随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 .解析：因为函数 y = ex与函数y=ln x互为反函数，其图像关于直 线y= x对称，又因为函数 y=ex与直线y=e的交点坐标为（1 , e）,所以阴影部分的面积为12(e x 1 oexdx) =2e2ex| 0=2e(2e 2) =2,由几何概型的概率计算公式,0月修 2得所求的概率P=三一答案:2e答案:2e2和一2,则两直线方程分别为2和一2,则两直线方程分别为8.已知抛物线 y=x22x与直线x=0,x= a,y=0围成的平面图形的面积为 :，求a3.求抛物线y=x2+4x3及其在点A（1,0）和点R3,0）处的切线所围成图形的面积.解：由y = 2x+ 4得在点A, B处切线的斜率分别为 y=2x2 和 y= 2x+6,y= 2x 2,由