椭圆及其标准方程课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1、第三章 圆锥曲线的方程 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆. 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢? 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线. 本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程 椭圆是圆锥曲线

2、的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征? 我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础? 探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线? 在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?动画演示通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是： 移动的笔

3、尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值, 并且这个定值大于两定点间的距离，即由此可得椭圆的定义. 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距.1. 椭圆的定义:思考 动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？ 在平面内-(这是前提条件)； 动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数； 动点M的轨迹是线段F1F2 ；动点M没有轨迹 .F1F2M下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程. 下面我们根据椭圆的几

4、何特征，选择适当的坐标系，推导椭圆方程，并通过方程研究椭圆的性质.F1F2MxyO 如图示, 建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c0), M与F1, F2的距离的和等于常数2a(a0), 则(x,y)由定义知：化简整理得由椭圆定义知：为了使方程形式更简单： 我们把方程叫做椭圆的标准方程.思考1 观察图, 你能从中找出表示a,b,c的线段吗？由图可知，2. 椭圆的标准方程:F1F2MxyO(x,y) 如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 则椭圆的标准方程为其中焦点坐标为F1(c,0), F2(c,0), c2a2b2.F1F2PxyOcab思考2 如图示, 如果焦

5、点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么?F1F2MxyOF1F2MxyO(x,y)(焦点在x轴上)(焦点在y轴上)定义焦点位置图形方程特点共同点不同点椭圆的标准方程:F1F2MxyOF1F2MxyO焦点在x轴上焦点在y轴上例1解1: (定义法)解2: (待定系数法)例1【方法说明】(3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”，1. 求椭圆标准方程的主要方法有：a, b, c 满足的关系有：根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值. 用定义寻找a, b, c的方程；(1) 定义法：(2) 待定系数法：待定系数法更为

6、常用，是解此类问题的通法.即求 a, b 的大小 . 即确定焦点的位置；其次是定“量”，14yOF1F2xAB(1)由题意 故AF1B的周长为： (2) 如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长不会有变化.仍然成立. 解：AF1B的周长为： 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0). 由点M是线段PD的中点，得 例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？ xyPMOD 寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点

7、M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法. 利用信息技术, 可以更方便地探究点M的轨迹的形状.解1：(相关点代入法)xyPMOD解2：(参数法) P 在圆 x2 + y2 = 4 上， 可设P(2cos, 2sin),消去参数，得点M的轨迹是一个椭圆 .设 点M的坐标为(x, y), 由题意有 例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？ yxMPM0NO解1：设 P(x, y),则点M在圆C2上, 故点P的轨迹C的方程为【变式1】已知圆 圆 点O为坐标原点, 点M是圆C2上的一动点,

8、线段OM交圆C1于N, 过点M作x轴的垂线交x轴于M0, 过点N作M0M的垂线交M0M于P. 当动点M在圆C2上运动时, 求点P的轨迹C的方程.设 P(x, y),可设则由点M, N分别在圆C2 , C1上，消去参数, 得 点P的轨迹C的方程为椭圆的参数方程yxMPM0NO解2：【变式1】已知圆 圆 点O为坐标原点, 点M是圆C2上的一动点, 线段OM交圆C1于N, 过点M作x轴的垂线交x轴于M0, 过点N作M0M的垂线交M0M于P. 当动点M在圆C2上运动时, 求点P的轨迹C的方程.【变式2】求与圆(x3)2y2=4外切, 且与圆(x3)2y2=100内切的动圆圆心的轨迹方程解：故动圆圆心的

9、轨迹方程为设动圆的圆心为M(x, y), 半径为r, 它与已知圆O1, O2切于Q, P 两点, 则yxO1O2PMQO椭圆的标准方程说明：椭圆的参数方程是椭圆方程的另外一种表现形式，它的优越性在于将曲线上点的横, 纵坐标 (两个变量) 用同一个参数表示，这样就能将椭圆上点的很多问题转化为函数问题解决，很好地将几何问题代数化.椭圆的参数方程：椭圆的参数方程(1) 椭圆 的参数方程是 参数方程：(2) 圆x2y2r2的参数方程是 (3) 圆(xa)2(yb)2r2的参数方程是 思考 由例2我们发现，可以由圆通过 “压缩” 得到椭圆. 你能由圆通过 “拉伸” 得到椭圆吗? 如何 “拉伸” ? 由此

10、你能发现椭圆与圆之间的关系吗?xyPMODxyPMOD拉伸动画例3xyBMOA 解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得4. 已知A, B两点的坐标分别是(1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么? 为什么?解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得直线AM的斜率为直线BM的斜率为总结：解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0.2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可3