矩阵论 第一章 线性空间课件

1、邱启荣华北电力大学数理系QQIR矩阵论课程：矩阵论（Matrix Theory）学时： 48学时 （48 Lectures）教材：矩阵理论及其应用（第版）邱启荣 主编 中国电力出版社， 2010任课教师： 邱启荣考核方式：闭卷笔试考核方式：由研究生院统一安排三、教学指导意见背景要求：线性代数矩阵与计算工具：MATLAB、Excel教学参考书：不交作业，但应该重视练习环节。矩阵论学习指导邱启荣 编 中国电力出版社， 2010年8月第一章 线性空间 线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广 在线性代数中，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关

2、性，完满地阐明了线性方程组的解的理论现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用本章内容1.1 集合与映射1. 2 线性空间的定义与性质1.3 维数 基与坐标1.4 线性空间的子空间1.5 内积空间1.1集合与映射2、集合间的关系 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作 ，（读作B包含于A）当且仅当 空集：不含任何元素的集合，记为注意： 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作AB

3、 .AB当且仅当 且 约定：空集是任意集合的子集合.3、集合间的运算 交： ； 并： 显然有，设A，B是两个数集，集合称为A与B的和集。称为A与B的积。设A，B是两个集合，集合关于两个集合间的映射有以下几点需要注意：1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的集合；2）对于A中的每一个元素x，B中必有一个唯一确定的元素与之对应；3）一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象；4）A中不同元素的象可能相同。例7判断下列映射的性质1）Ma，b，c、M1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不单射，也不是满射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，MZ，：(n)|n|1,（是满射，但不是单

4、射） 3）M，MP，（P为数域） ：(A)|A|，（是满射，但不是单射） （双射）对于有限集来说，两集合之间存在11对应的充要条 件是它们所含元素的个数相同； 对于有限集A及其子集B，若BA（即B为A的真子集），则 A、B之间不可能存在11对应；但是对于无限集未必如此.注：第二节线性空间的定义与性质线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题一、线性空间的定义一.线性空间的定义 设V 是一个非空集合, P 是一个数域, 在集合V

5、中 的和，记为 ；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为 的数量乘积，记为 如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V 为数域P上的线性空间：定义了一种代数运算，叫做加法: 即对在V 中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）2 向量空间中的向量不一定是有序数组3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算（）一个集合，如果定义

6、的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 线性空间的判定方法通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律假设 有两个负元素 与 ，那么则有向量 的负元素记为证明3如果 ，则 或 . 证明假设那么又同理可证：若 则有线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线性空间是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.四、小结1.3 维数 基与坐标一、

7、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标 三、基变换与坐标变换如何把线性空间的全体元素表示出来？线性空间中是否有类似于几何空间的坐标系问题？线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？怎样才能便于运算？问题基的问题（basis）问题坐标（coordinate）问题一、线性空间中向量之间的线性关系 1、有关定义设V 是数域 P 上的一个线性空间（1）和式 的一个线性组合称为向量组（2） ，若存在 则称向量 可经向量组 线性表出；使若向量组 中每一向量皆可经向量组 线性表出，则称向量组可经向量组 线性表出； 若两向量组可以互相线性表出，

8、则称这两个向量组为等价的 （3），若存在不全为零的数 ，使得 则称向量组为线性相关的；（4）如果向量组 不是线性相关的，即只有在时才成立， 则称为线性无关的 （1）单个向量 线性相关 单个向量 线性无关 向量组线性相关 中有一个向量可经其余向量 2、有关结论线性表出（2）若向量组线性无关，且可被向量组 线性表出，则 若 与 为两线性无关的等价向量组，则 （3）若向量组线性无关，但向量组 线性相关，则 可被向量组 线性表出，且表示法是唯一的1、无限维线性空间 若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量,则称 V 是无限维线性空间例1 所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是无限维的. 1，

9、x，x2，xn1对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的向量因为，二、线性空间的维数、基与坐标定义1.3.1 在线性空间 中，如果存在 个元素满足：二、线性空间的维数、基与坐标常记作 dimV n .当一个线性空间 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 是无限维的例 所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是无限维的. 1，x，x2，xn对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的向量因为，注零空间的维数定义为0.注1 线性空间的基不唯一确定, 即对n维线性空间来说, 其中任意n个线性无关的向量组都可以作为该线性空间的一组基. 但维数唯一。注2 线性空间的基也就是线性空间的一个极大无关组.向量

10、在基下的坐标唯一的. 但是，在不同基下的坐标一般是不同的 常见线性空间的自然（标准）基为n维的， 就是 Pn 的一组基称为Pn的自然基. 线性空间Pxn是n +1维的，且 1，x，x2，xn1，xn为 Pxn 的一组自然基 证:首先，1，x，x2，xn1 ，xn是线性无关的 1，x，x2，xn1 ，xn为Pxn的一组基，从而，Pxn是n+1维的.其次， 可经 1，x，x2，xn线性表出 注：在基1，x，x2，xn下的坐标就是此时，1，xa，(xa)2，(xa)n1，(xa)n也为Pxn的一组基证明：1，xa，(xa)2，(xa)n1，(xa)n是线性无关的 又对 ，按泰勒展开公式有 即,f(x

11、)可经1，xa，(xa)2，(xa)n线性表出.1，xa，(xa)2，(xa)n为Pxn的一组基 在基1，xa，(xa)2，(xa)n下的坐标是 一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。更进一步，原本抽象的“加法”及 “数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。 例1-3-1 证明是 的基，并求 在该基下的坐标。下的坐标分别是 例1.3.11、求 中的多项式组 的秩和一个极大线性无关组。解：在 的自然基下的坐标分别是的秩是2，向

12、量组是它的一个极大线性无关组。（一）、向量的形式书写法 （二）、基变换（三）、坐标变换 三、基变换与坐标变换在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题问题：同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的？一、向量的形式书写法 1、V为数域P上的 n 维线性空间， 为V 中的一组向量， ，若 则形式地记作约定向量矩阵则形式地记作 2、V为数域 P 上 n 维线性空间， ；为V中

13、的两组向量，若在形式书写法下有下列运算规律1) 若 线性无关，则 注：2) ；为V中的两组向量，矩阵 ，则 ； ； ；若 线性无关，则1、定义设V为数域P上n维线性空间，； 为V中的两组基，若即， 二、基变换则称矩阵 为由基 到基 的过渡矩阵；称 或 为由基 到基的基变换公式 引理 设 是一组线性无关的向量，A是一个n阶矩阵，令则 线性无关的充要条件是A可逆。2、有关性质1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵设为P上任一可逆矩阵，任取V的一组基于是有，令由A可逆，有即， 也可由 线性表出.故 线性无关，且V中任一向量都可以用线性表示，从而也为V 的一组基.

14、证明：若 为V的两组基,且由基 的过渡矩阵为A，又由基 也有一个过渡矩阵,即设为B，即2）若由基 过渡矩阵为A,则由基 过渡矩阵为A-1.都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且比较 、两个等式，有3）若由基 过渡矩阵为A,由基 过渡矩阵为B，则由基 过渡矩阵为AB.事实上,若则有，若两个基满足关系式二、坐标变换公式则有坐标变换公式或证明例1.3.15、设 的两组基为： I） II） 试求：（1）由基（I）到基(II)的过渡矩阵（2）求在基（I）与基(II)下有相同坐标的矩阵。解：其中因此所以由基（I）到基(II)的过渡矩阵为 该齐次线性方程组的通解为 在基（I）与基(II)下有相同坐标的矩阵例1

15、.3.16、 是P3(t)中的多项式f(t)在基下的坐标 .是P3(t)中的多项式f(t)在基下的坐标 .试求：（1）由基 到基的过渡矩阵； （2）求基 3）求多项式 在基 下的坐标。 由基 到基的过渡矩阵（2）由可得(3) 设即比较两边同次幂的系数得到： 解得 在基 因此， 下的坐标为1.4 线性空间的子空间一、线性子空间线性子空间的判定 ，若W对于V中两种运算封闭，即 则W是V的一个子空间 证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证 W中的向量满足线性空间定义中的八条规则 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 ， . 且对 ， 由数乘运算封闭，有 ，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，

16、4）成立就是V中的零元， 3）成立由于 ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的下证3）、4）成立 由加法封闭，有 ,即W中的零元推论：V为数域P上的线性空间, 则W是V的子空间例 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： 若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间.事实上，W1 是n元齐次线性方程组的解空间. 所以，维W1 n1，的一个基础解系就是W1 的一组基.而在 W2中任取两个向量，设则故W2不是Pn的子空间.故，W3为V的一个子空间，且维W3 n1 ，则有 其次， 设下证W3是Pn的子空间.就是W3的一组基.解(1)不构成子空间

17、.因为对例有即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.对任意有于是满足且称为V的由 生成的子空间，定义：V为数域P上的线性空间， 则子空间 ，记作 称 为 的一组 生成元.或记作 证明：对nm作数学归纳法当nm0时，即nm，定理成立就是V的一组基.假设当nmk时结论成立.下面我们考虑 nmk1 的情形必定是线性无关的既然 还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量不能被 线性表出，把它添加进去，则因 n(m1)(nm)1(k1)1k，由定理1.4.6 是m1维的可以扩充为整个空间V的一组基由归纳原理得证. 由归纳假设， 的基它扩充为P4的一组基，其中例 求 的维数与一组基，并把解：

18、对以为列向量的矩阵A作初等行变换由B知，为 的一个极大故，维 3，就是 的一组基.无关组.则 线性无关，从而为P4的一组基.解得：因此下面证明线性无关。设使得令则且从而因此故存在使得即证明：注:若有 则 分解式 唯一的，意即 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，R3的子空间这里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.而在和中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，事实上，对故是直和.都只有唯一分解式：二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理) 和是直和的充要条件是零向量则必有证：必要性. 是直和, 的分解式唯一.而0有分解式充分性. 故是直和. 设，它有两个分解式有

19、其中 于是 由零向量分解成唯一，且即 的分解式唯一. 2、和是直和 则有 即 是直和. “”任取 证：“”若 于是零向量可表成 由于是直和，零向量分解式唯一， 故证：由维数公式3、和是直和 有，是直和.（由2、得之）总之，设 为线性空间V 的子空间，则下面四个条件等价:2）零向量分解式唯一1）是直和 3）4）4、(定理) 设U是线性空间V的一个子空间，称这样的W为U的一个补空间（余子空间）. 则必存在一个子空间W，使 证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意：如，在R3中，设则 但1、定义中每个向量的分解式三、推广多个子空间的直和都是线性空间

20、V 的子空间，若和是唯一的，则和就称为直和，记作四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定设都是线性空间V的子空间，则下面1）是直和 证结论容易证明.任取则可设设则对s 作归纳.s=2时,由维数公式得到 假设s -1时成立下证 s 时也成立.而都有由归纳假设,可以得到 都有 所以 例1.4.11 已知 的两个子空间证明： 一、欧氏空间的定义二、欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示五、欧氏子空间.内积空间（欧氏空间）六、正交向量组七、标准正交基八、正交矩阵九、正交子空间十、子空间的正交补问题的引入：性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及

21、.其具体模型为几何空间 、 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，但几何空间的度量长度：都可以通过内积反映出来：夹角：2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.满足性质：当且仅当 时一、内积（欧氏）空间的定义1.定义1.5.1设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作 ，若（对称性）（数乘）（可加性）（正定性） V为实数域 R上的线性空间; V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; 内积（欧氏）空间 V是特殊的线性空间则称 为 和 的内积，并称这种定义了内积的实数域 R上的线性空间V为内积（欧氏）空间.注

22、：例1在 中，对于向量 所以 为内积.当 时，1）即为几何空间 中内积在直角坐标系下的表达式 . 即这样 对于内积就成为一个欧氏空间.易证 满足定义中的性质.1）定义 （1） 2）定义 所以 也为内积.从而 对于内积也构成一个欧氏空间.由于对 未必有注意：所以1），2）是两种不同的内积.从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.易证 满足定义中的性质.例2 为闭区间 上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数 ，定义（2） 则 对于（2）作成一个欧氏空间.证： 且若则从而 故 因此， 为内积， 为欧氏空间.推广： 2. 内积的简单性质V为欧氏空间，2) 欧氏空间V中，使得 有意义.二、欧氏空间

23、中向量的长度1. 引入长度概念的可能性1）在 向量的长度（模） 2. 向量长度的定义称为向量 的长度.特别地，当 时，称 为单位向量. 3. 向量长度的简单性质3）非零向量 的单位化： （3） 1）在 中向量 与 的夹角 2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先三、欧氏空间中向量的夹角1. 引入夹角概念的可能性与困难应证明不等式： （4） 对欧氏空间V中任意两个向量 ，有 （5） 2. 柯西布涅柯夫斯基不等式当且仅当 线性相关时等号成立.证：当 时， 结论成立.当 时，作向量 由内积的正定性，对 ，皆有 （6） 取 代入（6）式，得即 两边开方，即得当 线性相关时，不妨设 于是， (5)式等

24、号成立. 反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知 或者 ，或者 也即 线性相关.3. 柯西布涅柯夫斯基不等式的应用柯西不等式（7）1）施瓦兹不等式由柯西布涅柯夫斯基不等式有从而得证.证：在 中， 与 的内积定义为 2）（7） 证： 两边开方，即得（7）成立.对欧氏空间中的任意两个向量 有3）三角不等式设V为欧氏空间， 为V中任意两非零向量， 的夹角定义为 4. 欧氏空间中两非零向量的夹角定义1： 零向量与任意向量正交.注： 即 .设 为欧氏空间中两个向量，若内积 则称 与 正交或互相垂直，记作 定义2：5. 勾股定理设V为欧氏空间，证： 若欧氏空间V中向量 两两正交，推广：则 证：若 则

25、即例3、已知 在通常的内积定义下，求解： 又 通常称为与的距离，记作设V为欧氏空间， 为V的一组基，对V中任意两个向量四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示令（8）定义：矩阵 称为基 的度量矩阵.（9）则 （10） 度量矩阵A是实对称矩阵. 由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵. 注：事实上，对 ，即 有为正定矩阵. 由（10）知，在基 下，向量的内积由度量矩阵A完全确定. 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.证：设 为欧氏空间V的两组基，它们的度量矩阵分别为A、B ，且设则于是 欧氏空间V的子空间在所V中定义的内积之下也是一个欧氏空间，称之为V的欧氏子空间.五、欧氏空间的子空间设为欧氏空间

26、，非零向量 若 则 是正交向量组. 正交向量组必是线性无关向量组.六、正交向量组定义：如果它们两两正交，则称之为正交向量组.注：证：设非零向量 两两正交.令则由 知故线性无关. 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组例如：中线性无关但不是正交向量组.1. 几何空间 中的情况在直角坐标系下是由单位向量构成的正交向量组，即 二、标准正交基是 的一组基.设 从得即在基 下， 中的与内积有关的度量性质有 简单的表达形式.维欧氏空间中，由 个向量构成的正交向量组称为正交基；2. 标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注： 由正交基的每个向量单位化，

27、可得到一组标准正交基. 维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基 维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基当且仅当其度量矩阵 (1) 维欧氏空间V中标准正交基的作用:设 为V的一组标准正交基，则(i)设由(1) ，(ii) (3)这里 (iii)有 (2)(定理 ) 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设 欧氏空间中的正交向量组，对作数学归纳法当 时, 3. 标准正交基的构造 施密特(Schmidt)正交化过程 就是一组正交基了. 1）使假设 时结论成立，即此时可找到向量 成为一组正交基.现在来看 的情形.所以必有向量 不能被 线性表出，因为作向量待定从正交向量组的性质知于是取即 为

28、正交向量组由归纳法假设知，对这 个向量构成的正交组可得可扩充得正交基.于是定理得证2）都可找到一组标准正交基 使证：基本方法逐个构成出满足要求的(定理 ) 对于 维欧氏空间中任一组基首先，可取 一般地，假定已求出 是单位正交的 ，且 (4) 当 时，因为有由(4)知 不能被 线性表出按定理1证明中的方法，作向量(5) 即再设 可知 是单位正交向量组从(4)和(5)知 与 是等价向量组，因此，有由归纳原理，定理2得证.则且 则过渡矩阵是上三角形（即 ）注：且 由 知，若 Schmidt正交化过程:化成正交向量组先把线性无关的向量组再单位化得标准正交向量组例1. 把 变成单位正交的向量组.解：令正

29、交化再单位化即为所求例2. 在 中定义内积为 求 的一组标准正交基(由基 出发作正交化)解: 取正交化单位化于是得 的标准正交基设 与 是 维欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是 即 4. 标准正交基间的基变换或由于是标准正交基，所以（6）由公式（3），有（7） 把A按列分块为由（7）有（8） 则称A为正交矩阵. 2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.三、正交矩阵1定义设若满足2简单性质1）A为正交矩阵3）设 是标准正交基，A为正交矩阵，若 则 也是标准正交基. 4） 为正交矩阵A的列向量组是欧氏空间 的标准正交基.6） 为正交矩阵A的行向量组是欧氏空间 的标准正交基.

30、5） 为正交矩阵九、欧氏空间中的正交子空间1定义：1) 与 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对则称子空间 与 为正交的，记作则称向量与子空间 正交，记作恒有2) 对给定向量 如果对 恒有注： 当且仅当 中每个向量都与 正交 当 且 时，必有 证明：设子空间 两两正交，2两两正交的子空间的和必是直和要证明中零向量分解式唯一只须证：设 由内积的正定性，可知 十、子空间的正交补1定义：如果欧氏空间V的子空间 满足并且则称 为 的正交补.2 维欧氏空间V的每个子空间 都有唯一正交补.证明：当 时，V就是 的唯一正交补 当 时， 也是有限维欧氏空间.取 的一组正交基由定理1，它可扩充成V的一组正交基记子

31、空间 显然,又对 即 为 的正交补. 再证唯一性.设 是 的正交补，则由此可得对 由上式知 即有 又从而有 即有 同理可证唯一性得证. 维欧氏空间V的子空间W满足: 子空间W的正交补记为即 i) ii) iii) 注：) W的正交补 必是W的余子空间.但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.称 为在子空间W上的内（投）射影.3内（投）射影设W是欧氏空间V的子空间，由对 有唯一的使一、同构 映射的定义二、同构的有关结论6.8 线性空间的同构一、同构映射的定义设 都是数域P上的线性空间，如果映射 具有以下性质： 则称的一个同构映射，并称线性空间 同构，记作 ii) iii) i) 为双射为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应例1、V为数域P