肇庆市届高中毕业班第一次统一检测(理数)

1、1 i11 i* 市本试卷分第卷试用时 120 分钟 .试卷类型： A2016 届高中毕业班第一次统一检测题数学（理科）（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 24 小题，满分 150 分 . 考注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区） 、 * 、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用 2B 铅笔将 * 号涂黑 .2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上 .3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卷各题目指定区域内相

2、应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 . 不按以上要求作答的答案无效 .一选择题：本大题共 12 小题，每小题符合题目要求的。（1）已知集合 M x |x2 5x 6 0第卷5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是， N x | x2 16 0 ，则 M N （A ）（ 4,1（2）已知复数 z（B ） 1,4 （C ） 6, 4） （D ） 6,4）i ，则复数 z 的模 z （A）2（B）2（C）10（ D）1022（3） “x 2 ”是 “x2 4 0”的（A ）必要而不充分条件 （B ）充分而不必要条件（C）充要条件 （D）既不充分也不

3、必要条件（4）复数 z 1 i 2015（A ） 1 （B） 1 （C） i （D） i2) 的展开式中2 1 1 16 x33（5）已知 x, y 的取值如下表所示：x013y2.24.34.8从散点图分析， y 与 x 线性相关，且46.7y 0.95 xa ，则当 x 5 时，y的值是（A） 7.35 （B） 7.33 （C） 7.03 （D） 2.6（6）已知 M x N | 6 N ，则集合 M 的子集的个数是（A） 8 （B） 16 （C） 32 （D） 64（7）若如图 1 所示的程序框图输出的 S 是 30，则在判断框中M 表示的 “条件 ”应该是（A） n 3 （B） n 4

4、（C） n 5 （D） n 6x y 0（8）已知 x, y满足不等式 x y 3 0，则函数 z x 3y 取得最大值是x 3（A） 12 （B） 9 （C） 6 （D） 3（9）在 OAB 中， O 为直角坐标系的原点， A， B 的坐标分别为 A （3,4）， B （ 2， y ），向量 AB 与 x 轴平行，则向量 OA 与 AB 所成的余弦值是（A ）5（B）353 （C ）5（ D）5（10） 已知在 ABC 中， ABC 60， AB 2， BC 6， 在 BC 上任取一点 D， 则使 ABD为钝角三角形的概率为（A） （B） （C） （D）3 2 3 6（11 ）设 k 1，

5、2， 3， 4， 5，则 (x 5xk 的系数不可能是（A） 10 （B） 40 （C） 50 （D） 80（12）已知 A， B， C， D， E 是球面上的五个点，其中 A， B， C， D 在同一圆周上，若 E2124不在 A， B， C， D 所在圆周上，则从这五个点的任意两点连线中取出 2 条，这两条直线是异面直线的概率是（A）53 （B）5（C）15（ D）15第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13题第 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22题第 24题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。（13）执行图 2 的程序框图，若 p 0.8

6、，则输出的 n （14） 已知一个几何体的三视图如图梯形，则它的体积等于x1（15）已知 x y 1 0 ，则 ( x 2x y 2 03 所示， 正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角2) 2 ( y 1)2 的最小值为（16）有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为 3 ，已知球的半径 R2，则此圆锥的体积为三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。317、（本小题满分 12 分）从我市某企业生产的某种产品中抽取 20 件，测量这些产品的一项质量指标值，测量的原始数据已丢失，只余下频数分布表如下：质量指标值分组频数10,20）220,30）330,40）440,50）

7、550,60）460,70）2（ ）请你填写下面的频率分布表：若规定 量指标值不低于 30 的产品为合格产品 ”，则该企业生的这种产品的合格率是多少？质量指标值分组 10,20） 20,30） 30,40） 40,50） 50,60） 60,70）频率 0.15 0.2（II ）请你估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）。18、（本小题满分 12 分）如图 4，正三棱柱 ABC A 1B1 C1 的所有棱长都为 4， D 为 CC1 中点。（ I）求证： AB 1 平面 A 1BD；（ II ）求直线 AB 1 与平面 BCC 1B1 所成角

8、的正弦值。19、（本小题满分 12 分）某社团组织 50 名志愿者参加社会公益活动，帮助那些需要帮助的人，各位志愿者根据各自的实际情况，选择了两个不同的活动项目，相关的数据如下表所示：男性志愿者女性志愿者宣传慰问1115义工168总计27234( aP( K 2k0.102.706b)(c d )(a c)(b d )总计 26 24 50（1）先用分层抽样的方法在做义工的志愿者中随机抽取 6 名志愿者，再从这 6 名志愿者中又随机抽取 2 名志愿者，设抽取的 2 名志愿者中女性人数为 ，求 的数学期望。（2）如果 “宣传慰问 ”与 “做义工 ”是两个分类变量，那么你有多大把握认为选择做宣传慰

9、问与做义工是与性别有关系的？附： 22 列联表随机变量 K 2k) 0.152.072n(ad bc)2 .P(K 2 k) 与 k 对应值表：0.05 0.025 0.010 0.0053.841 5.024 6.635 7.87920、（本小题满分 12 分）如图 5，已知边长为 2 的等边 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面， BC2 2， M 为 BC 的中点。（ I）证明： AM PM（ II ）求二面角 PCM A 的余弦值。21、（本小题满分 12 分）某超市要将甲、 乙两种大小不同的袋装大米分装成 A， B 两种规格的小袋，每袋大米可同时分得 A， B 两种规格

10、的小袋大米的袋数如下表所示：已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为 5 袋和 10 袋，市场急需 A， B 两种规格的成品数分别为 15 袋和 27 袋。（ I）问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需 A， B 两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？（要求画出可行域）5；41Ax1（ II ）若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率。请考生在第 22 、 23、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22 （本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲。如图 6， ABC 内

11、接于 O， AE 与 O 相切于点 A， BD 平分 ABC ，交 O 于点 D，交 AE 的延长线于点 E， DFAE 于点 F。（ I ）求证：（ II ）求证：AB AEAD DEAC 2AF 。23 （本小题满分 10 分）选修 4 4:坐标系与参数方程。在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的方程为 x2 y2 1，直线 l 的极坐标方程为 2 cos（ I）写出 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程；（ II） 设 l 与 C 的交点为 P1， P2， 求过线段 P1P2 的中点且与24、 （本小题满分 10 分）选修 4

12、-5：不等式选讲。sin 2 0。l 垂直的直线的极坐标方程。设函数 f ( x) | x a |；（ I）当 a 1 时，解不等式 f (x) f ( x) 4；（ II ）证明： f ( x) f 2数学（理科）参考答案一、选择题题号答案2D3B4C5A6B7B8A9C10B11C12D二、填空题4013 414 15 10 16 314 解析：几何体的直观图如下图所示，体积或 3 （答对一个给1V S CDBCC1E33 分，答对两个给 5 分）1 1 44 4403 236R216 解析：由 r 2 3 得圆锥底面半径为 r则 x 2 r 2 22 3 1 ，圆锥的高所以，圆锥的体积为

13、 V1 Sh13333三、解答题（ 17） （本小题满分 12 分）解： （）频率分布表如下：3 ，如图设 OO1 x，h R x 3 或 h R1 13 或 V Sh 3 3 3x11质量指标值分组 频率10， 20) 0.120， 30) 0.1530， 40) 0.240， 50) 0.2550， 60) 60， 70）0.2 0.1该企业生产的这种产品的合格率为：（）因为众数是频数最大的区间的因为平均数是各组的频率乘以该组区间的（2 分）p 0.2 0.25 0.2 0.1 0.75 （4 分）“中间值 ”，故众数40 50245 （6 分）“中间值 ”之和，所以平均数为：x 15 0

14、. 1 25 0 . 15 35 0.2 45 0 .25 55 0 .2 65 0 .1 41 （9 分）中位数：因为中位数左边和右边的频率相等，从表中可知，中位数落在区间 40， 50)内，设中位数为 x ，则 0 . 1 0 . 15 0.2 0.25 x 4010值的中位数的估计值为 42 .0.5 ，解得 x 42 .即这种产品质量指标（ 12 分）（ 18） （本小题满分 12 分）解法一： （）证明：如图，取 BC 中点 O ，连结 AO， B1O .ABC 为正三角形， AO BC （1 分）正三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC 平面 BCC 1B1，且面 ABC

15、面 BCC 1B1 = BC，AO面 BCC 1B1（2 分） BD 面 BCC 1B1 ， BD AO . （3 分）在正方形 BB1C1C 中， O， D 分别为 BC， CC1 的中点， BD B1O . （4 分） AO B1O O， AO, B1O 面 AB1O ， BD 面 AB1O . （5 分）又 AB1 面 AB1O , AB1 BD （6 分）在正方形 ABB1 A1 中， AB1 A1B， （7 分）又 BD A1B B AB1 平面 A1 BD （8 分）（）解：由（）知，影，AO 平面 BCC1 B1 ，所以 OB1 是直线 AB1在平面 BCC1B1 内的射716故

16、 AB1O 是直线 AO AB2AB1 与平面2BC2BCC 1B1所成的角 .2 24 22 3，（10 分）AB1 sin2ABAB1O2BB1 4 2， （11 分）AO 2 3 6，即直线 AB1 与平面AB1 4 2 4（ 9 分）BCC1B1 所成角的正弦值为（ 12 分）6.4解法二： （）如图，取 BC 中点 O ，连结 ABC 为正三角形， AO BC，2且 AO AB2 BC 42 22 22AO（1 分）3 （ 2 分） ABC A1 B1C1 是正三棱柱，平面 ABC 平面 BCC 1B1，且面 ABC 面 BCC 1B1 = BC， AO 平面 BCC1B1 （3 分

17、）以 O 为 原 点， 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系， 则 B(2,0,0) ，D( 2,2,0) （ 4 分） AB1 (2,4, AB1 BD AB1 BD， A1 (0,4,2 3) ， A(0,0, 2 3) ， B1(2, 4,0) .2 3)， BD ( 4, 2,0)， BA1 ( 2,4,2 3)（5 分）8 8 0 0， AB1 BA1 4 16 12 0， （6 分）AB1 BA1 ，即 AB1 BD , AB1 BA1 . （7 分）又 BD BA1 B , BD , BA1 面 A1BD ， AB1 平面 A1BD （8 分）（） 由（） 知， AB1 (

18、2,4, 2 3)， AO (0,0,所以 cos OAB1AB1 AO 12| AB1 | | AO | 4 16 12 2因为直线 AB1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值等于向量2 3) 是平面6.3 4BCC 1B1 的一个法向量， （ 9 分）（ 11 分）AB1 、 AO 所成角的余弦值， 所以直线 AB1 与平面 BCC 1B1 所成角的正弦值为 . （ 12 分）4（ 19） （本小题满分 12 分）解： （）若在做义工的志愿者中随机抽取 6 名， 则抽取比例为6 1， 女性志愿者的应24 4该抽取 84 在上述抽取的值为 0， 1， 2.因为 p( 0)2 人 .6 名志

19、愿者中有 2 人是女性志愿者， 其余 4 人是男性志愿者，（ 3 分）（ 2 分） 可能的取C6 5C2 C40 22 2， p( 1)C2C4 8C6 151 12 ， p( HYPERLINK l _bookmark1 2)C2 122 ， （ 6 分）C6 15827 23 26 24222 2 2所以 的数学期望为 E 05（） k 2 50(11 8 16 15)81 2152.981，1 2.15 3（ 10 分）（ 8 分）且 P( k 2 2.706) 0.1 10%，有 90% 的把握认为选择做宣传慰问与做义工是与性别有关系的 . （12 分）（20） （本小题满分 12 分

20、）( ) 证明：解法一： 取 CD 的中点 O，连结 OP，则 OP CD . （1 分）面 PCD面 ABCD ,且面 PCD 面 ABCD =CD， OP 面 PCD， OP 面 ABCD . （2 分）从而 APO , MPO 为直角三角形 . PCD 是边长为 2 的正三角形，又 ABCD 是矩形，且 ADBC22232222 OAPAAM又 OM2 2AD DO2322222 2AO PO1 12 2AB BMBD 22PO 3 .2 2, AB CD 2，1 3，22 3，（3 分）6， （4 分）3，2 PM PO 2 PA2 PM 22OM 2 AM 2 ，即6， （5 分）A

21、M PM . （6 分）解法二： 取 CD 的中点 O，连结 OP，则 OPCD . （1 分）面 PCD面 ABCD ,且面 PCD 面 ABCD =CD， OP 面 PCD， OP 面 ABCD . AM 面 ABCD , 又 ABCD 是 矩 形AD BC 2 2, AB OA AD2 DO 2（ 2 分）AM OP . （3 分）， M , O 分 别 是 BC , CD 的 中 点， 且CD 222 2 1 3，22AM AB BM 2 2 6，1 1 2 2OM BD 2 2 2 3，2 2 OA2 OM 2 AM 2 ， AM OM . PO OM O , AM 面 POM， （

22、5 分）又 PM 面 POM ， AM PM . （6 分） （）解： 由（）知， PM 6 ，又 PC 2, CM（ 4 分）1BC 2 ，2 PM 2 PC2 CM 2，（7 分）故 PC BC .又 ABCD 是矩形， CD BC . DCP 是平面 PCM 与平面 ABCD 所成二面角的平面角 .（ 8 分）（ 9 分）（ 10 分）9| n1 | | n2 | 0 3 1 3 21n1 n2 3 1, 即 （ 8 分）则 （ 3 分） DCP 60 ，二面角 P CM A 的余弦值为 cos60解法三：证明： （） 取 CD 的中点 O，连结 OP，则1. （12 分）2OP CD

23、. （1 分）面 PCD面 ABCD ,且面 PCD 面 ABCD =CD， OP 面 PCD， OP 面 ABCD . （2 分） PCD 是边长为 2 的正三角形， PO 3 .以 O为空间直角坐标系的原点，建立空间直角坐标系（如图） ，则 A, M , P的坐标分别为 A(2 2, 1,0), M ( 2,1,0). P(0,0, 3) . （3 分） AM ( 2, 2,0), PM ( 2,1, 3) . （4 分） AM PM 2 2 2 1 0 3 0， （5 分） AM PM ，即 AM PM . （6 分）解： （） 由（）知， C , M , P 的坐标分别为 C(0,1,

24、0), M ( 2,1,0). P(0,0, 3)，则 PC (0,1, 3)， PM ( 2 ,1, 3) . （7 分）设 n1 ( x, y , z) 是平面 PCM 的一个法向量，则n1 PC 0 y 3z 0 ,n1 PM 0. 2x y 3z 0.令 z 1，则 x 0,y 3 ，所以 n1 (0, 3,1)是平面 PCM 的一个法向量， （9 分）又 n2 (0,0, 3) 是平面 ABCD 的一个法向量， （10 分）设平面 PCM 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角为 ，则 cos ，所以二面角 P CM A 的余弦值为 . （12 分）2（21） （本小题满分 12 分

25、）解： （）设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为 x 、 y ，所用的袋装大米的总袋数为 z，2x y 15x 3y 270 x 50 y 10z x y,( x , y 为整数 ) （4 分）作出可行域 D 如图 （6 分）从图中可知，可行域 D 的所有整数点为： （3， 9），（3， 10），（4， 8）， （4， 9）， （4， 10），（5， 8），（5， 9）， （5， 10），共 8 点 . （ 8 分）因为目标函数为 z x y,( x , y 为整数 )，所以在一组平行直线 xyt (t 为参数 )中，经过可行域内的整点且与原点距102x y 2 0,0. y 2.4 解得8 4 （ 12 分）2 2， 1），（7 分） 21DA DE AB AEAB AE AD DE21 1离最近的直线是 xy 12，其经过的整点是（ 3， 9）和（ 4， 8），它们都是最优解 （9 分）所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为 3 袋、 9 袋或 4 袋、 8袋可使所用的袋装大米的袋数最少 .（ 10 分）（） 由（） 可知可行域内的整点个数为 8，而最优解有两个， 所以所求的概率为 p 2 1 .（22） （本小题满分 10 分）证明： （） AE 切 O 于点 A， EAD = EBA. （1 分）又 E = E， DAE ABE . （3