2023数值分析试卷答案

1、昆明理工大学2023级硕士研究生试卷科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名：专业：学号：题号一二三四五六总分分数考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。填空题每空2分，共40分1设是真值的近似值，那么有位有效数字，的相对误差限为。2设，那么，。3. 过点和的二次拉格朗日插值函数为=， 并计算。4设在上的最正确二次逼近多项式为，最正确二次平方逼近多项式为。 5高斯求积公式的系数，节点，。6方程组，建立迭代公式，写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，。7，其条件数。8设，计算矩阵A的范数，= ， = 。 9求

2、方程根的牛顿迭代格式是。10对矩阵作LU分解，其L=_， U= _。二、计算题每题10分，共50分1. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足:并写出其余项表达式要求有推导过程。2. 假设用复合梯形公式计算积分，问区间0, 1应分成多少等分才能使截断误差不超过? 假设改用复合辛普森公式，要到达同样的精度区间0, 1应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。00.250.50.75111.281.642.11 2.713. 线性方程组，其中，1建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的分量形式。2问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗?4. 如下实验数据, 用最

3、小二乘法求形如的经验公式，并计算最小二乘法的误差。1234544.568 8.55.用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题，取步长 计算到保存到小数点后四位。三、证明题共10分1 如果 A 是对称正定矩阵，那么A可唯一地写成，其中L是具有正对角元的下三角阵。昆明理工大学2023级硕士研究生试卷答案一填空题每空2分，共40分1. 2 0.025或0.02162. 3 03. ，34. 5. 0.28 0.39 0.29 0.826. 7. 18. | A |1 = 3_，9. 10. ，二、计算题每空10分，共50分1求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足:P(0) =0，P(0

4、) =0，P(1) =1，P(1) =1，P(2) =1，并写出其余项表达式。解：由题意P(x) = x2(ax2 + b x + c )，由插值条件得方程组求解，得 a =1/4，b= 3/2 ，c =9/4。所以插值余项为2 假设用复合梯形公式计算积分，问区间0, 1应分成多少等分才能使截断误差不超过？假设改用复合辛普森公式，要到达同样的精度区间0, 1应该分成多少等分？由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。00.250.50.75111.281.642.11 2.71解：由于，那么在区间0,1上为单调增函数，b-a=1，设区间分成n等分，那么h=1/n., 故对复合梯形公式，要求，即，因

5、此n=213，即将区间0,1分成213等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过。假设用复合辛普森公式，那么要求，因此n=4，即将区间0,1分成8等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过。3. 线性方程组，其中，1建立Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。2问Jacobi迭代和Gausse-Seidel迭代法都熟收敛吗？解：Jacobi迭代法的分量形式，为任意初始值。Gauss-Seidel迭代法的分量形式，为任意初始值。(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵，故Jacobi迭代法不收敛。Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵，故G-S迭代法收敛。4. 实验数据，如下表，用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方误差。1234544.568 8.5解：令故由法方程得线性方程组解得于是所求拟合曲线为2-范数的误差5.用改进的欧拉公式预估-校正方法解初值问题，为步长，1取步长 计算到保存到小数点后四位。解：1由改进的欧拉公式因为，所以0，=0.00050.0015=0.0030三、证明题共10分1、证明：如果 A 是对称正定矩阵，那么A可唯一地写成，其中L是具有正对角元的下三角阵。法一：因为A对称正定，A的所有顺序主子