立体几何垂直证明题常见模型及方法

1、立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂直转化：线线垂直O线面垂直O面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）G等腰（等边）三角形中的中线/0菱形（正方形丿的对角线互相垂直勾股定理中的三角形Q1：1：2的直角梯形中利用相似或全等证明直角。例：在正方

2、体ABCD-ABCD中，o为底面ABCD的中心，E为CC，求证：AO丄OE111111（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1在正四面体ABCD中，求证AC丄BDDB知已变式1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,AB=3,AD=2,PA=2,PD=2巨ZPAB二60.证明：AD丄PB；变式2如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点,将厶AED,ADCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于A.求证:aD丄EF；变式3如图，在三棱锥P-ABC中，/PAB是等边三角形，zPAC=ZPBC=90证明：ABLPCA类型二：线面垂直证明方法。1

3、利用线面垂直的判断定理例2：在正方体ABCD-ABCD中，0为底面ABCD的中心，E为CC,求证:11111AO丄平面BDE1变式1：在正方体ABCD-ABCD中，求证：AC丄平面BDC111111变式2：如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，ZACB=90O.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=4求证：CD丄平面AABB；AC(1)求证：BD丄平面PAC2利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC,面PAC丄面PBC,求证：BC丄面PAC。方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1,在四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是

4、等腰三角形，且面PAB丄底面ABCD，求证：BC丄面PAB变式2：类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)例1如图，已知AB丄平面ACD,AD=DE=2AB，F为CD的中点.求证：AF/平面BCE；求证：平面BCE丄平面CDE；DE丄平面ACD,ACD为等边三角形b/iA变式1已知直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形，ZABC=60，E、F分别是例2如图，在四棱锥P-ABC中，PA丄底面ABCPAB丄AD,AC丄CD,ZABC=60，PA二AB二BC，E是PC的中点(1)证明CD丄AE；(2)证明PD丄平面ABE举一反三设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:a/bnb丄Ma丄

5、Ma丄Mna/bb丄Ma丄Mnb/Ma丄b扩Mnb丄M.a丄b)C.()若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把ADEACDF和ABEF折起，使A、B、体PDEF中，必有()DA.DP丄平面PEFB.D设a、b是异面直线，过不在a、b上的一点过不在a、b上的一点过a一定可以作一个平面与b垂直过a-定可以作一个平面与b平行如果直线l,m与平面a，B，Y满足

6、：l邙A.a丄Y且l丄mB.a丄Y且mBAB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1AC=2,PC=1,则P到AB的距离为()C.朋5U半面PEF定P作一个平面和a、-PA.1B.2C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面)b都垂直.平.面DEF.D：PF丄平面DEF是(作一条直线和第3题图nY,la,mua和m丄Y，那么必有()C.mB且l丄mD.aB且a丄Y其中正确的命题是(D.A.B.下列命题中正确的是若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面a的一条斜线l有且仅有一个平面与a垂直；异面直线a、b

7、不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3d是异面直线a、b的公垂线，平面a、B满足a丄a，b丄B，则下面正确的结论是()a与B必相交且交线md或m与d重合a与B必相交且交线md但m与d不重合a与B必相交且交线m与d一定不平行a与B不一定相交设1、m为直线，a为平面，且l丄a，给出下列命题若m丄a，则ml；若m丄l,则ma；若ma，则m丄l；若ml,则m丄a，其中真命题的序号是()TOC o 1-5 h zA.B.C.D.已知直线l丄平面a，直线平面B，给出下列四个命题：若aB，则l丄m；若a丄B，则lm；若lm,贝ya丄B；若l丄m,贝yaB.其

8、中正确的命题是()A.与B.与C.与D.与二、思维激活如图所示,MBC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面a的同侧，它们在a内的射影分别为A，B，C，如果AABC是正三角形，且AA=3cm,BB=AMB如图所示，在直四棱柱ABCDABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有AQ丄B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)如图所示，在三棱锥VABC中,当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件时,有VC丄AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高如图所示,三棱锥V-ABC中AH丄侧面VBC,且H是AVSC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC丄AB;若二面

9、角EAB所成角的大小.15.如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN平面PAD.求证：MN丄CD.若ZPDA=45，求证：MN丄平面PCD.第15题图16.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ZBAD=60,AB=4,AD=2，侧棱PB=：15,PD=x3.求证：BD丄平面PAD.若PD与底面ABCD成60的角，试求二面角PBCA的大小.第16题图第18题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZACB=90,ZBAC=30,BC=1,AA=6，M是CC1的中点，求证：AB丄AM.18.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为a，

10、M是AD的中点，N是BD上一点，且DN:NB=1:2，MC与BD交于P.求证：NP丄平面ABCD.求平面PNC与平面CCDD所成的角.求点C到平面DMB的距离.第4课线面垂直习题解答1.A两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C由线面垂直的性质定理可知.A折后DP丄PE,DP丄PF,PE丄PF.D过a上任一点作直线夕b,则a,夕确定的平面与直线b平行.A依题意,m丄丫且mua，则必有a丄丫，又因为1=0。丫则有luY，而m丄丫贝Ul丄m,故选A.6.D过P作PD丄AB于D,连CD,贝CD丄AB,AB=JAC2+BC2=養,CD=ACBCAB2.PD=

11、iPC2+CD23宓5D由定理及性质知三个命题均正确.A显然a与0不平行.D垂直于同一平面的两直线平行,两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直.10.BTa0,1丄a,：1丄m11弓cm2设正三角ABC的边长为AC2=a2+l,BC2=a2+lAB2=a2+4,又AC2+BC2=AB2,a2=2.SA，B，C212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC丄BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时，有AC丄BD(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题

12、的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.VC丄VA,VC丄AB.由VC丄VA,VC丄AB知VC丄平面VAB.(1)证明:TH为3BC的垂心，VC丄BE,又AH丄平面VBC,BE为斜线AB在平面VBC上的射影,AB丄VC.(2)解:由(1)知VC丄AB,VC丄BE,VC丄平面ABE,在平面ABE上，作ED丄AB,又AB丄VC,AB丄面DEC.AB丄CD,.ZEDC为二面角EABC的平面角，ZEDC=30,TAB丄平面VCD,VC在底面ABC上的射影为CD.AZVCD为VC与底面ABC所成角，又VC丄AB,VC丄BE,VC丄面ABE,AVC丄DE,AZCED=90，故ZEC

13、D=60,AVC与面ABC所成角为60.15.证明：（1）如图所示，取PD的中点E,连结AE,EN,则有ENCDABAM,EN=丄CD=1AB=AM,故AMNE为平行四边形.22.MNAE.TAE平面PAD,MN平面PAD,AMN平面PAD.VPA丄平面ABCD,APA丄AB.又AD丄AB,AAB丄平面PAD.AAB丄AE,即卩AB丄MN.又CDAB,MN丄CD.TPA丄平面ABCD,APA丄AD.又ZPDA=45,E为PD的中点.AAE丄PD,卩卩MN丄PD.又MN丄CD,AMN丄平面PCD.16.如图(1)证：由已知AB=4,AD=2,ZBAD=60,故BD2=AD2+AB2-2ADABc

14、os60=4+16-2X2X4X丄=12.2又AB2=AD2+BD2,.ABD是直角三角形，ZADB=90,即AD丄BD.在APDB中，PD=*3,PB=J15,BD=12,.PB2=PD2+BD2,故得PD丄BD.又PDHAD=D,ABD丄平面PAD.(2)由BD丄平面PAD,BD平面ABCD.A平面PAD丄平面ABCD.作PE丄AD于E,又PE平面PAD，APE丄平面ABCD,AZPDE是PD与底面ABCD所成的角.33AZPDE=60,APE=PDsin60=3x.22AMB第15题图解第16题图解作EF丄BC于F,连PF,则PF丄BF,AZPFE是二面角PBCA的平面角.3_tanZP

15、FE=M-2EF2、34故二面角PBCA的大小为arctan.4又EF=BD=.12，在RtPEF中,17连结ACi,7MC1迓=虫CA11RtAACCsRtAMCA,.ZAC1C=ZMA1C1，.ZA1MC1+ZAC1C=ZA1MC1+ZMA1C1=90.A1MAC1，又ABC-A1B1C1为直三棱柱，.CC丄BC,又B1C1丄A&/.B2丄平面AC胚由三垂线定理知AB丄AM.点评：要证ABA”，因BC丄平面AC，由三垂线定理可转化成证AC丄AM,而AC】丄AM定会成立.18.(1)证明：在正方形ABCD中，.MPDsCPB,且MD=丄BC,2.DP:PB=MD:BC=1:2.又已知DN:N

16、B=1:2,由平行截割定理的逆定理得NP/DD,又DD丄平面ABCD,.NP丄平面ABCD.TNPDDCC,NP、CC在同一平面内，CC为平面NPC与平面CCDD所成二面角的棱.又由CC丄平面ABCD,得CC丄CD,CC丄CM,Z.ZMCD为该二面角的平面角.在RtMCD中可知ZMCD=arctan1，即为所求二面角的大小.2由已知棱长为a可得，等腰MBC面积S严a，等腰MBD面积S26a2，设所1224求距离为h即为三棱锥CDMB的高.三棱锥DBCM体积为1SDD=1Sh,3132.7Sa6h1a.S32空间中的计算基础技能篇类型一：点到面的距离方法1:直接法一把点在面上的射影查出来，然后在

17、直角三角形中计算例1：在正四面体ABCD中，边长为a,求点A到面BCD的距离。变式1在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。方法2：等体积法求距离-在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。例2已知在三棱锥VABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求点V到面ABC的距离。兀变式1：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AECF所截而得到的，其1中AB二4,BC二2,CC二3,BE二1.(2)求点C

18、到平面AECF的距离.1)求BF的长；变式2如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，令BC=OA丄面ABCD,OA二2,.求点B到平面OCD的距离.变式3在正四面体ABCD中，边长为a,求它的内切求的半径。类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点）兀例3如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，ZABC二OA丄面ABCD,OA二2,m为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离._O举一反三1.正三棱锥P-ABC高为2,则棱与底面所成角为4，丿点A到侧面PBC的距离是A.4J5B.6i5C.6D.462如图，已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长为1,高为8,质点自A点111出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点的最短路线的长为1A.10B.20C.30D.40二、填空题：太阳光照射高为疔m的竹竿时，它在水平地面上的射影为lm,同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子的长度AB等于3汙cm,则该球的体积为.若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为主视图左视图三、解答题：已知正三棱柱ABC-