2020-2021学年人教A版高中数学必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示 基础练习-【新教材】【含答案】

1、6.3 平面向量基本定理及坐标表示 基础练习一、单选题1.在四边形 ABCD 中， AB=DC=(6,8) ，且 AB|AB|+AD|AD|=AC|AC| ，则 |BD|= （ ） A.5B.10C.102D.1032.已知向量 a=(2,3) ， b=(k,5) ，且 ab=3 ，则 |2a+b|= （ ） A.43B.32C.55D.623.已知 a,b 是平面向量，满足 |a|=2,|b|1 ，且 |3b2a|2 ，记 a 与 b 的夹角为 ，则 cos 的最小值是（ ） A.1116B.78C.158D.315164.已知 e1 ， e2 是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量

2、中，不能作为一组基底的是（ ） A.e1+e2,e1e2B.3e12e2,4e26e1 C.e1+2e2,e2+2e1D.e2,e1+e2 5.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A.e1 (2，2)， e2 (1，1) B.e1 (1，2)， e2 (4，8) C.e1 (1，0)， e2 (0，1) D.e1 (1，2)， e2 (12,1) 6.已知直线 l1 的一个方向向量为 a=(1,2,2) ，直线 l2 的一个方向向量为 b=(1,2,0) ，则两直线所成角的余弦值为（ ） A.53B.255C.55D.557.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C

3、1D1 中， AA1=a ， AB=b ， AD=c 点 P 在 A1C 上，且 A1P:PC=2:3 ，则 AP= （ ） A.25a+35b+35cB.35a+25b+25cC.25a+25b+35cD.35a25b25c8.已知向量 a，b 的夹角为 60 ， |a|=2 ， |b|=1 ，则 |a+2b|= （ ） A.3B.3C.23D.129.已知向量 a=(ax,ay,az) ， b=(bx,by,bz) ， i,j,k 是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算： ab=(aybzazby)i+(azbxaxbz)j+(axbyaybx)k=|ijkaxayazbxby

4、bz|=(|ayazbybz|,|axazbxbz|,|axaybxby|) 其中行列式计算表示为 |abcd|=adbc ，若向量 AB=(2,1,4),AC=(3,1,2), 则 ABAC= （ ） A.(4,8,1)B.(1,4,8)C.(2,8,1)D.(1,4,8)10.已知 |a|=2 ， |b|=4 ， ab=4 ，则向量 a 与 b 的夹角为（ ） A.30B.60C.150D.12011.已知 a=(x,x2),b=(1,3) ，若 ab ，则 x= （ ） A.3B.2C.1D.-112.如图，在梯形 ABCD 中， AB/CD ， AB=4 ， AD=3 ， CD=2 ，

5、 AM=2MD ， ACBM=3 ，则 ABAD= （ ） A.12B.12C.32D.3213.已知非零向量 a 、 b ，若 |a|=3|b| ， a(a2b) ，则 a 与 b 的夹角是（ ） A.6B.3C.23D.5614.已知圆 x2+y2=1 与 y 轴的负半轴交于点 A ，若 B 为圆上的一动点， O 为坐标原点则 OABA 的取值范围为（ ） A.0,2B.0,1C.2,2D.1,115.a=(1,m) ， b=(2,4) ， c=(n,1) ， a/ b ， (a+c)b ，则 m+n= （ ） A.12B.5C.3D.516.已知向量 a 与 b 的夹角为 6 ，且 |a

6、|=2|b|=2 ，则 ab= （ ） A.3B.1C.23D.217.已知 AM，BN 分别为圆 O1:(x+1)2+y2=1 与 O2:(x2)2+y2=4 的直径，则 ABMN 的取值范围为（ ） A.0,8B.0,9C.1,8D.1,918.设向量 a , b , c 满足| a |=| b |=1, ab=12 , ac,bc=600 ,则| c |的最大值等于（ ） A.1B.2C.3D.219.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度 v1 的大小 |v1|=10km/h ，水流的速度 v2 的大小 |v2|=4km/h ，设 v1 和 v2 所成角为 (0

7、) ，若游船要从 A 航行到正北方向上位于北岸的码头 B 处，则 cos 等于（ ） A.215B.25C.35D.4520.已知向量 a=(2,1) ， b=(3,2) ， c=(1,m) ，若 (a+b)c ，则 |c|= （ ）. A.1B.2C.3D.2二、解答题21.已知向量 a 与 b 的夹角 =34 ，且 |a|=3 ， |b|=22 （1）求 ab ， |a+b| ； （2）求 a 与 a+b 的夹角的余弦值 22.已知| a |=2，| b |=3，(2 a 3 b )(2 a+b )=7. （1）求| a+b |； （2）求向量 a 与 a+b 的夹角的余弦值. 23.已知

8、 a=(2,0) ， |b|=1 （1）若 a 与 b 同向，求 b ； （2）若 a 与 b 的夹角为 120 ，求 a+b 答案解析部分一、单选题1. D AB=DC=(6,8) ，则四边形 ABCD 为平行四边形， 设 m,n,p 都是单位向量， m+n=p ，则 (m+n)2=p2 ， m2+2mn+n2=p2 ， 1+2mn+1=2 ，则 mn=12=cos ，所以 =120 ，因此由 AB|AB|+AD|AD|=AC|AC| 知 BAD=120 ，且 AC 是 BAD 的平分线，因此 ABCD 是菱形，而 |AB|=10 ， |BD|=3|AB=103 ，故D.2. C a=(2,

9、3) ， b=(k,5) ， ab=2k+35=3 ，解得 k=6 . b=(k,5)=(6,5) ， 2a+b=2(2,3)+(6,5)=(2,11) ， |2a+b|=(2)2+112=55 ，故C.3. B 由 |3b2a|2 得， (|3b2a|)2=9b2+4a212ab4 ，所以 ab1+3|b|24 . 则 cos=ab|a|b|1+3|b|242|b|=12|b|+3|b|8令函数 f(x)=12x+3x8 ，因为 f(x) 在 0,1 上单调递减.又因为 |b|1 ，故当 |b|=1 时， cos 取得最小值，最小值为 78 .故B4. B 因为 4e26e1=2(3e12e

10、2) ，所以 4e26e1 与 3e12e2 共线， 所以 3e12e2,4e26e1 不能作为基底，故B.5. C A中， e1=2e2 ， e1 ， e2 共线，所以A不正确； B中， e2=4e1 ， e1 ， e2 共线，所以B不正确；C中， e1 ， e2 不共线，可以作为一组基底，所以C符合题意；D中， e1=2e2 ， e1 ， e2 共线，所以D不正确；故C6. D 由向量的夹角公式可得， 两条直线的夹角的余弦值为 cosa,b=|ab|a|,|b|=|14|1+4+41+4=55 。故D.7. B 因为 A1P:PC=2:3 ，可得 A1P=25A1C ， 根据空间向量的运算

11、法则，可得 AP=AA1+A1P=AA1+25A1C =AA1+25(ACAA1)=35AA1+25AC=35AA1+25(AB+BC)=35AA1+25(AB+AD)=35AA1+25AB+25BC ，又由 AA1=a ， AB=b ， AD=c ，所以 AP=35a+25b+25c 。故B.8. C 解： 向量 a 与 b 的夹角为 60 ， |a|=2 ， |b|=1 ， |a+2b|=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=22+42112+412=23 ， 故C。9. C 【考点】平面向量的正交分解及坐标表示 由题意得 ABAC=(1241)i+(4322)j+(2113)k=(2,8

12、,1) ，故C。 10. D 设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 cos=ab|a|b|=424=12 ， 0,180 ， =120 ，故D.11. A ab ， ab=x(1)+(x2)3=0 ，解得 x=3 .故A.12. C 在梯形 ABCD 中， AB/CD ， AB=4 ， AD=3 ， CD=2 ， AM=2MD ， ACBM=(AD+DC)(BA+AM)=(AD+12AB)(AB+23AD)=23AD212AB223ADAB=3 =2332124223ABAD=3则 ABAD=32 故C13. A 设 a 与 b 的夹角为 ， |a|=3|b| ， a(a2b) ， 则 a(a2

13、b)=a22ab=|a|22|a|b|cos=3|b|223|b|2cos=0 ，可得 cos=32 ，0 ， =6 .故A.14. A 圆 x2+y2=1 与 y 轴的负半轴交于点 A ，若 B 为圆上的一动点， O 为坐标原点， 可得 A(0,1) ，设 B(cos,sin) ，所以 OABA=(0 ， 1)(cos ， sin1)=sin+10 ， 2 故A15. B 由 a /b ，则 m(2)=14 ，得 m=2 所以 a=(1,2) ， a+c=(1+n,1)由 (a+c)b ，则 (a+c)b=0 ，得 (1+n)(2)+(1)4=0 ，解得 n=3所以 m+n=5故B16. A

14、 由 |a|=2|b|=2 ，则 |a|=2 ， |b|=1 ， 又向量 a 与 b 的夹角为 6 ，所以 ab=|a|b|cosa,b=2132=3 .故A17. A 如图， ABMN=(AO1+O1O2+O2B)(MO1+O1O2+O2N)=O1O2+(AO1+O2B)O1O2(AO1+O2B) =|O1O2|2|AO1+O2B|2=9|AO1+O2B|2 其中 |AO1+O2B|21,2+1=1,3 ，所以ABMN932,912=0,8 .故A18. D 由于 |a|=|b|=1,ab=|a|b|cos=cos=12 ，故 a,b 两个向量的夹角为 120 ，结合 ac,bc=60 ，画

15、出图象如下图所示. O1A=a,O1B=b,O1C=c ，四边形对角互补的话，该四边形是圆的内接四边形，故当 O1C 为直径时， |c| 取得最大值.由于直径所对的角为直角，故 |OC|=2|O1A|=2 ，即 |c| 取得最大值为2.故D.19. B 由题意知 (v1+v2)v2=0, 有 |v1|v2|cos+v22=0, 即 104cos+42=0, 所以 cos=25 ， 故B20. B a+b=(1,1) ， (a+b)c=1+m=0 ， 故 m=1 ，所以 |c|=2 .故B二、解答题21. （1）解：由已知，得 ab=|a|b|cos=322(22)=6 ， |a+b|=(a+b

16、)2=a2+2ab+b2=32+2(6)+(22)2=5 ；（2）解：设 a 与 a+b 的夹角为 ， 则 cos=a(a+b)|a|a+b|=a2+ab|a|a+b|=9635=55 ，因此， a 与 a+b 的夹角的余弦值为 55 .（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出 ab 的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出 |a+b|=(a+b)2 的值； （2）利用平面向量夹角的余弦公式可求得。 22. （1）解：已知| a |=2，| b |=3，(2 a3b )(2 a+b )=4 a24a b3b2= 164 a b 27=7， a b= 1.| a+b | =(a+b)2=a2+2ab+b2=42+9=11 .（2）解：设向量 a 与 a+b 的夹角为，则cos =a(a+b)|a|a+b|=a2+ab211=41211=31122 . (1)根据题意由向量的运算性质结合数量积公式计算出结果即可。 (2)由数量积的运算公式代入数值计算出 cos 的值即可。23. （1）解：设 b=(x,y) ，由题意可得，存在实数 0 ，使得 b=a ， 即 (x ， y)=(2 ， 0)=(2 ， 0) ，所以 x=2 ， y=0 ，由 |b|=1 可得 4