复变函数分式线性变换

1、复变函数分式线性变换1第1页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二一 分式线性变换及其分解1 分式线性变换概念(1) 函数称为分式线性变换,简记为(2) 在扩充z平面上补充定义2第2页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二(4) 由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的3第3页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二2 分式线性变换的分解4第4页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合(2) (I)(II)型变换的几何性质旋转位似(伸缩)平移5第5页，共52页，20

2、22年，5月20日，13点13分，星期二旋转与伸长(或缩短)变换平移映射6第6页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换.规定: 无穷远点的对称点是圆心O.7第7页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二.即:8第8页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二例1试将线性变换分解为简单变换的复合.解因此可分解为的复合.9第9页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二例2试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个相异的或一个二重的不动点证明线性变换(7.3)的不动

3、点适合即上面系数不全为零,10第10页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二这时(7.3)为有不动点11第11页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二不动点二 分式线性变换的共形12第12页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二定义7.3由定义7.3引入两个反演变换13第13页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二3 定理7.7分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.注在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.14第14页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二三 分式线性变换的保交比性1定义7.4注15第

4、15页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二2 定理7.8在分式线性变换下，四点的交比不变。证明因此16第16页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二注因此只需指定三对对应点:且除相差一个常数因子外是唯一的.17第17页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二3 定理7.9注三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是那么，由18第18页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二得同理，有因此，有19第19页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二 由此，我们可以解出

5、分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。那么，由同理有 由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。 其次，如果已给各点除 外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：20第20页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二例3求将分别变为的分式线性变换.解所求的分式线性变换为即整理得21第21页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二四 分式线性变换的保圆周(圆)性对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线).对(II)型:因圆周(或直线)可表为它表示圆周或直线.22第22页，共52页，2022年，5月20日，13

6、点13分，星期二1 定理7.10 分式线性变换将平面上圆周(或直线)变为圆周(或直线).注1在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周.事实上,(7.11)可写成注2同时圆被共形变换成圆-分式线性变换的保圆性.23第23页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二24第24页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二.25第25页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二注3 在扩充z平面上给定区域K及D,其边界是的圆周,则K可共形变换成D.注4例4试决定在分式线性变换下实轴与上半z平面及单位圆周的像.解(1) 因系数为实数,从而该线性变换把实轴变为实

7、轴,故将实轴为边界的两个区域,即上下两个半平面,26第26页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二(2) 扩充z平面上的圆周由三个点决定,27第27页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二五 分式线性变换的保对称性1定义7.5注证明“必要性”28第28页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二则所以“充分性”29第29页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二.2 定理7.1证明30第30页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二.31第31页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二3 分式线性

8、变换的保对称性定理7.12证明由分式线性变换的保角性,由定理7.11,32第32页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二解由定理7.12,例5求线性变换变为上半平面,使将圆盘33第33页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二由线性变换的保交比性,所求的线性变换为即整理后得34第34页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二六 线性变换的应用 由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周)性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型.例635第35页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期

9、二事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时即实轴变为实轴是同向的,或解36第36页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二例7解故37第37页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二即故解该方程组得故所的线性变换为38第38页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二例8解由线线变换的保对称性,39第39页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二因此这个变换应具有形式,故可令从而所求的变换为40第40页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二注1确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点.注241第41页

10、，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二例9解由线线变换的保对称性,因此所求变换具有形式42第42页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令从而所求的变换为43第43页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二注1确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点.注244第44页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二例1045第45页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二解作线线变换复合上述两个变换得整理得46第46页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二即由得从而所求的变换为47第47页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二例11解(1)先作伸缩变换(2)再作平移变换48第48页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二使得于是(4)排列对应点49第49页，共52页，2022年，5月20日，13点13分，星期二(5)将以上线性变换复合起来,即得