复变函数论讲稿

1、复变函数论第一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月定义6.1 设f(z)以有限点a为孤立奇点，即 f(z)在点a的某去心邻域0|z-a|R内解析，则称积分为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为：1. 留数的定义及留数定理将f(z)在点a去心邻域内展成洛朗级数，有：即2第二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 定理6.1 (柯西留数定理) f(z)在围线或复围线C所围区域D内,除a1,a2,an外解析,在闭域=D+C上除a1,a2,an外连续,则证 作圆周 使其全含于内且两两不相交，取逆时针方向，则由复合闭路定理有注 留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转化为

2、计算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇点的留数相对较容易，因此留数定理是计算复变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。3第三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月2. 留数的求法(1) 常规方法:不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂，但如果知道奇点的类型，对求留数更有指导作用。(1) 常规方法:将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，利用洛朗系数公式和留数定义可得计算留数的公式 ，即负幂项 的系数。 (3) a为本性奇点时，将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数来求(2) a为有限可去奇点时:运用留数定理计算复变函数闭合曲线

3、积分，首先必须求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。 (4) a为极点时，有如下结论.4第四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月其中(z)在点a解析, (a)0，则:定理6.2 设a为f(z)的n级极点,即推论6.3 设a为f(z)的一级极点,则推论6.4 设a为f(z)的二级极点, 则定理6.5 设a为的一级极点5第五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例1 求在的留数.解6第六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例2 求在的留数.分析是的三级零点由定理6.2得计算较麻烦.7第七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月如果利用洛朗展开式求较方便:解8第八张，PPT共

4、五十九页，创作于2022年6月说明: 如 为 n 级极点，当 n 较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求来计算留数 .2. 在应用定理6.2时, 取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将n但有时把n取得比实际的如上例取9第九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例3 计算积分C为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,10第十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月11第十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 设 , 求留数 计算积分 逆时针方向。 计算积分 逆时针方向。 练习 求 在 的留数, 其中a,b是实

5、常数. 12第十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月3. 函数在无穷远点的留数定义6.2 设为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N-：0r|z|+内解析，则称为f(z)在点的留数,记为,其中-是顺时针方向.设f(z)在0r|z|0.(*)定理6.8 设 ，其中P(z)及Q(z)是互质多项式且满足条件(1) Q(z) 的次数比P(z)的次数高；定理的证明类似于定理6.7.32第三十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例6 计算积分解 在上半平面只有二级极点又33第三十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月注意 以上两型积分中被积函数中的Q(x)在实轴上无孤立奇点.

6、34第三十四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月4. 计算上连续,且型积分Sr引理6.3 设f(z)在圆弧于Sr上一致成立,则有证 因 ,于是有分析类似于引理6.1.（小圆弧引理）35第三十五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例6 计算积分分析 因在实轴上有一级极点应使封闭路线不经过奇点, 所以可取图示路线:36第三十六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月解 封闭曲线C:由柯西-古萨定理得:由37第三十七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月38第三十八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月当 充分小时, 总有 39第三十九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月

7、即40第四十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例7证 如图路径，41第四十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月42第四十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月令两端实部与虚部分别相等，得菲涅耳(fresnel)积分43第四十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月5. 多值函数的积分其中s为实数,Q(x)为单值函数.取被积函数为辅助路径 上的积分用大圆弧引理， 上的积分当然需要满足如下条件： 在中，有CRR围道如图所示.用小圆弧引理，44第四十四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月第三节 辐角原理及其应用6.3.1 对数留数6.3.2 辐角原理6.3.3 儒歇定

8、理45第四十五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月定义：形如的积分称为f(z)的对数留数。注:函数f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点.6.3.1 对数留数引理6.4 (1)设a为f(z)的n级零点(极点）, (2)设b为f(z)的m级极点，则b则a必为函数的一级极点,且必为函数 的一级极点,且46第四十六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 定理6.9 设C是一条围线，f(z)满足条件:(1)f(z)在C的内部是亚纯的;(2)f(z)在C上解析且不为零；则有式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数.例1 计算积分47第四十七张，PPT共五十九页，创

9、作于2022年6月.不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原点若干圈.1. 对数留数的几何意义6.3.2 辐角原理48第四十八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月单值函数等于零49第四十九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月结论:(k总为整数)对数留数的几何意义是 绕原点的回转次数k50第五十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月由定理一及对数留数的几何意义得可计算f(z)在C内零点的个数此结果称为辐角原理51第五十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月如f(z)在围线C上及C内部均解析,且f(z)在C上不为零,则辐角原理(2) f(z)在C内是亚纯的(3) f(z)在C上连续且不为零,则设(1) C是一条围线52第五十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月定理6.10 (儒歇(Rouche)定理) 6.3.3 儒歇(Rouche)定理设C是一条围线,函数f(z)及g(z)满足条件: (1)它们在C的内部均解析,且连续到C;(2)在C上, |f(z)|g(z)|则f(z)与 f(z)+g(z) 在C内部有同样多的零点,即53第五十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月证在C内部解析54第五十四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月55第五十五张，PPT共五十九页，创作于2