关系的运算教学课件

1、关系的运算教学课件关系的运算教学课件22022/9/9一、关系的定义域、值域、域 定义：设R是二元关系，由 R的所有x组成的集合称为R的定义域(前域），记作domR；使 R的所有y组成的集合称为R的值域，记作ranR。domR = x | y (R) ；ranR = y | x (R) 定义： R的域，即fldR = domR ranR 42022/9/6一、关系的定义域、值域、域 定义：设R32022/9/9二、关系的逆运算及其性质定义：二元关系R的逆关系记为R1 R1 = | R例1：R=, , , ，求R1 R1=, , , 52022/9/6二、关系的逆运算及其性质定义：二元关系R的4

2、2022/9/9二、关系的逆运算及其性质 关系逆运算的相关性质： 定理1：设R是任意的关系, 则(1) (R1)1=R(2) domR1=ranR, ranR1=domR问题：关系R和R1的关系矩阵之间有怎样的联系？互为转置矩阵。62022/9/6二、关系的逆运算及其性质 关系逆运算52022/9/9二、关系的逆运算及其性质 设R、S是任意的二元关系，(RS)-1= R-1S-1(RS)-1= R-1S-1(R)-1= (R-1)(R-S)-1= R-1-S-1 RSR-1S-172022/9/6二、关系的逆运算及其性质 设R、S是任意62022/9/9兄弟父子叔侄RSRS引例：82022/9

3、/6兄弟父子叔侄RSRS引例：72022/9/9三、关系的复合运算及其性质定义：二元关系R、S的复合运算记作RS RS = | y (RS) 例2：R=, , , S=, , , , RS =, , SR =, , , 92022/9/6三、关系的复合运算及其性质定义：二元关系R82022/9/9三、关系的复合运算及其性质问题： 如果将RS的关系矩阵记为MRS ， R的关系矩阵记为MR， S的关系矩阵记为MS ， 则MRS和MR ,MS之间有怎样的关系？102022/9/6三、关系的复合运算及其性质问题： 如果将92022/9/9三、关系的复合运算及其性质e.g. A=a,b, R=, S=,

4、RS =112022/9/6三、关系的复合运算及其性质e.g. A=102022/9/9三、关系的复合运算及其性质例3：给定集合X=0,1,2中的两个关系如下：试求复合关系： R1 R2 R1 ， R1 (R2 R1 )122022/9/6三、关系的复合运算及其性质例3：给定集合112022/9/9三、关系的复合运算及其性质解：R1 = ,R2 = R1 R2 R1 = , =,R1 (R2 R1 ) = , , =,132022/9/6三、关系的复合运算及其性质解：R1 = 122022/9/9三、关系的复合运算及其性质复合运算的相关性质： 定理2: 设F, G, H是任意的关系, 则 (1

5、) (FG)H=F(GH) (2) (FG)1= G1F1定理3：设RAA，则RIA=IAR=R142022/9/6三、关系的复合运算及其性质复合运算的相关132022/9/9三、关系的复合运算及其性质定理4：若F,G,H是任意的二元关系，则 F(GH)= FG FH (GH)F =GF HF F(GH) FG FH (GH)F GF HF152022/9/6三、关系的复合运算及其性质定理4：若F,142022/9/9四、关系的“限制”运算及其性质例4：R=, , , RAR R1=, R=R1,2=, , , 定义：二元关系R在集合A上的限制 即RA = |RxA定理5：设F为关系，A,B为

6、集合，则：F(AB)=FAFBF(AB)=FAFB162022/9/6四、关系的“限制”运算及其性质例4：R=152022/9/9五、集合在关系下的“像”及性质 定义：A 在R下的像记作RA，RA = ran(RA)例5：R=, , , RA ranR R1=ran(R1)=ran,=2,4R1,2= ran(R1,2)=2,3,4定理5：设F为关系，A,B为集合，则： FAB=FA FB FAB FA FB172022/9/6五、集合在关系下的“像”及性质 定义162022/9/9六、关系的幂运算及其性质 定义：设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为： (1) R0= |

7、 xA =IA (2) Rn+1 = RnR 对于A上的任何关系R1和R2都有： R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有： R1 = R 182022/9/6六、关系的幂运算及其性质 定义：设172022/9/9六、关系的幂运算及其性质 关系幂运算的求解方法：用集合表示给出R时，通过n-1次的右复合得到Rn ；用关系矩阵M给出R时， Rn的关系矩阵由n个M相乘得到；用关系图G给出R时，具体步骤见例题。 192022/9/6六、关系的幂运算及其性质 关系幂运算182022/9/9例6: 设A=a,b,c,d, R=, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示.解: R0IA它的

8、关系矩阵记作M0六、关系的幂运算及其性质202022/9/6例6: 设A=a,b,c,d, R192022/9/9六、关系的幂运算及其性质R2对应的关系矩阵为M2R对应的关系矩阵为M212022/9/6六、关系的幂运算及其性质R2对应的关系矩202022/9/9同理，R3和R4的矩阵分别是：因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到R2=R4=R6=, R3=R5=R7=六、关系的幂运算及其性质222022/9/6同理，R3和R4的矩阵分别是：因此M4=212022/9/9R0, R1, R2, R3,的关系图如下图所示：六、关系的幂运算及其性质R0R1R2=R4=R6=,R3=R5=R7=232022/9/6R0, R1, R2, R3,的关系图222022/9/9六、关系的幂运算及其性质 定理7： 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 Rs = Rt.幂运算的性质:定理6： 设 R 是 A 上的关系, m, nN, 则 (1) RmRn=Rm+n (2) (Rm)n=Rmn 242022/9/6六、关系的幂运算及其性质 定理7： 232022/9/9六、