浅谈数形结合思想培养

1、浅谈数形结合思想的培养浅谈数形结合思想的培养PAGEPAGE7浅谈数形结合思想的培养PAGE浅谈数形结合思想的培养内容纲领:数学是研究现实世界空间模式和数量关系的科学。本文阐述数学中的很多概念都有必然的几何意义,要培养学生数形结合的思想,就要善于挖掘数学见解的几何意义;函数图像则是数的直观形象的反响,在数学教育中要留神培养学生看见函数式马上想到它的图象，结合本色图像记性质、用性质的好习惯;数形要结合，重点在于能依据函数式(或方程)画出图形和依据代数式分析其表示的几何意义。借助数形结合的“慧眼”，研究分析问题息争决问题的方式，变学生学会为会学，提高学生的数学涵养。在数学教育中真切达成素质教育。重

2、点词:几何意义数形结合见解基本图像运用代数三角数学是研究现实世界空间模式和数量关系的科学。数和形是数学中最基本的两大体念，是所有数学发展进度中的两大支撑。数和形在客观世界中又是不可以分开地联系在一起的。出名数学家华罗庚先生说得好：“数形结合各式好，隔裂分家万事休”，华老平易而风趣地告诫我们不要“欢欣失态”。大脑的思想的逻辑性,本源于逻辑的客观性。数形结合的思想方式是客观现实和数学本身所选择的,大量的几何问题的办理,离不开代数方式,而代数、三角学科中的很多数量关系也是可以利用图形去办理的,数与形所包含内容是格外丰富的。数学教育要提高学生分析分析问题息争决问题的本领，就要看重数形结合思想的培养，要

3、有意识地对学生进行数形结合的训练。而我在多年的数学教育中对数形结合思想教育做了一些试一试，将此领悟介绍以下。一.从低年级起就要看重数学见解的几何意义的教育数学中的很多见解都有必然的几何意义,要培养学生数形结合的思想,就要善于挖掘数学见解的几何意义。刚进入初中的学生在学习绝对值的见解时,教材对绝对值的几何意义作了以下描绘:“一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的间隔”。若是教师此时能有意识地看重讲清:“x在数轴上表示数x所对应的点到原点的间隔,而xa表示数x与a对应的两点间间隔”。那么关于绝对值不等式：13x46，便可以用图解以下：Q不等式13x4142为同解不等式，6与不等式x33x

4、4142中的x在数轴上对应的点到点43的几何意义便知式子x的333间隔应大于1而不大于2。(如图中画有阴影线的部分)3x10-3-25402133-133图经过认真表达数学见解的几何意义,沟通数与形的本色联系,不单可以深刻对数学见解的理解,而且还为提高学生办理问题的本领开辟了新路子。因此从低年级起就要看重数学见解的几何意义的教育，知难而进，培养兴趣，不屈不挠，将会有极大的收益。.看重数学的的基本图像在代数、三角上的运用若是说坐标系是数与形结合的纽带，那么我以为函数图像则是数的直观形象的反响。在数学教育中要留神培养学生看见函数式马上想到它的图像，结合本色图像记性质、用性质的好习惯。初中小学三年级

5、的时候，学生学习了一元二次函数yax2bxca0的图像和性质，到了中专注年级上学期，在教育不等式ax2bxc0或0的解法时，便可以集“求根公式法”、“图像法”之长而引出较为简单直观的“数形结合法”解一元二次不等式。下面举例运用例1解不等式54xx2x分析：令y154xx2，y2xyy1y1,y2为两个不同样样的函数-5C(-2,0)ox1画出函数y1,y2的图像y2图y1的曲线是以(-2,0)为圆心,以3为半径的上半圆,y2的曲线是,两个象限角的均分线.当y1y2时,有一个交点即54xx2x2142则由图察看y1y2可知其解集为x5x1422例2.方程sinxlgx的实数根的个数是().A.1

6、B.2C.3D.大于3分析:如图在同不断角坐标系内辩白画出函数y1sinx和y2lgx的图像,由于y2lgxlg101,那么y2lgx中的x3.显然知两个y函数曲线订交有三个交点.应选(C)例3.在(0,2)内,使sinxcosx建立的x取值123xo图限制是().A.,U,5B.4,424C.,5D.4,U5,34442分析:画出单位圆,察看图像知利用正弦函数线与余弦函4y数线比较大小找出正确的选项.ox即选C5图4例4.圆x12y21的圆心到直线y3x3的间隔是()13C.1D.3yA.B.22分析:建立直角坐标系,画出圆和直线,y3x3利用圆的半径和直线的斜率及利用平ox面几何中的直角勾

7、股弦定理,C(1,0)使这个问题很简单得出正确的选项即选择(A)图例5.设函数fx是,上的奇函数,fx2fx,当0 x1,fxx.则f7.5()时A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5分析:Qfx2fxfx12fx1即fx1f1x故x1是曲线yfx的对称轴方程y-2024678x图又Qfx的图像关于原点对称，由此可知曲线yfx的图像如上图所示易知：取f7.50.5选(B)经过上述五个例子,显然领悟得出,解题的篇幅少,解题的效率极高。在数学中，据统计数学教育的习题教育约占总教育时数的70%，因此习题教育的成败在很大程度上选择了数学教育奏效的上下，教育怎样表现出智能、情味是很重点。爱因斯坦说

8、“兴趣是最好的老师”。为什么学生学数学没兴趣，这个问题受诸多因素的影响。我以为，由于数学知识越学越多，若没优秀的学习方式，学得时候是囫囵吞枣，前一个知识还没弄懂、消化，后一个知识又开始学了,长此平时,周而复始，不知的知识越积越多,学生显然感觉越学越差,越学越没劲，就会缺失学习数学的信仰，这样兴趣从何而来？更多的学生是不会总结积累数学的思想、方式，学了后边忘了前面，学到最后，脑筋里是一盆浆糊，一团乱麻。因此看作老师就要教他们梳理所学数学的知识和数学的思想、方式。特别要将教材中隐蔽的思想方式挖掘出来，而且要把分析问题息争决问题的模式、方式教给学生，同时要让他们获得必然的训练，抵达久久难以忘掉的程度

9、，进而使学生感觉到其中的乐趣。那么我现在所商议的数形结合的思想方式就是教材中隐蔽的数学的思想方式之一，它的特质：是直观形象、简捷明快、不简单错。它也是高考重点检验的思想方式之一。很多数学问题用此方式来解，可以抵达化难为易、转败为胜的目标。同时，也是实实在在对学生进行素质教育的一种模式。三要善于挖掘代数式的几何意义数形要结合，重点在于能依据函数式(或方程)画出图形和依据代数式分析其表示的几何意义。数学上的有很多公式、定理都拥有必然的几何意义,教育中指点学生深刻分析这些公式、定理与几何图形的内在的本色地联系，进而追求办理问题的合用方式。比喻代数式y1，若是不指点学生去与直线的斜率公式ky2y1相联

10、系进行比较,x2x2x1那么就极稀有学生会将代数式y1看作是点x,y与点(-2,-1)连线的斜率,也就挖掘不出代x2数式y1的几何意义。当学生对代数式y1的几何意义有了理解,那么下面的问题也就不x2x2难找到解的方式了。例6.已知x2y21,求代数式y1的最大值和最小值。4x2分析:由已知得x2y21的曲线是椭圆y1,将代数式变形为,4x2即可将其看作两点(x,y)与(-2,-1)的连线斜率,y1不仿设斜率kx2过点(-2,-1)斜率为k的直线方程为yy1kx2.由右图形看出:惟有直线y1kx2与oX椭圆x2y21相切时,4图k值才会抵达最大或最小.要使直线与椭圆相切,只须方程组y1kx2x2

11、y21有唯一组解.4利用根的判断式不难求解为k2133.即代数式y1的最大值为213,最小值为213.yx233例7.若是实数a,b,c,d知足a2b22a4b40pc2d24c4d4,g0q求.ac2d2oPxb的最大值或最小值.分析:本题用代数方程解将格外困难,联系右图来解,图G则是峰回路转又一村。Qa12b221由条件变为：，c22d224因此，(a,b)可视为圆x2y21上的动点;12(c,d)可视为圆224上动点.x2y2而a2b2是(a,b),(c,d)两点间间隔的平方.cd如图过两圆的圆心g,G作直线交两圆辩白为p,P,q,Q.maxgG122512264gG22(512)24m

12、in2例8.已知:ab1求证:a2b12912证明:由ab1挖掘出Ma,b是直线xy1上的任意点的几何意义.因此,构造出上图,点p1,1到点yMM的间隔不小于它到l的间隔.1由两点间的间隔公式及点到直的1x间隔公式得op1,1a1212111图b2故a2b2911建立.2例9.已知:正数x,y,z知足x2y2xy1y2z2yz3z2x2zx4求:xyz的值分析:由已知条件,察看、发现a2b2abk的模式与余弦定理a2b22abcosCc2有近似的地方，因此构造出下方程组x2y22xycos120o12LL122o2yz2yzcos120(3)LL2其方程组的几何意义凸现出来，把代数问题改变为几

13、何问题来求解。由此可作出以1，3，2为边长的C直角三角形ABC，在RtABC31o内取一点O。2设.OAz,OCy,OBxABAOCAOBBOC120o图由SAOBSBOCSCOASABC1yzzxsin120o113xy22xyyzzx2LL4将+得2x2y2z2xyyzzx8x2y2z23那么xyz2x2y2z22xzxyzy=3+2+2=7故xyz=7看来,挖掘代数式的几何意义,数形结合起到了巧夺天工的妙用。总之，数学中的很多见解、规则、公式、定理都与必然的空间模式亲密联系，曲线与方程、地域与不等式、函数与图像、三角函数与单位圆中的三角函数线，复数与向量都有内在的联系，而数形结合则是详细与抽象、感知与思想的结合，是发展形象思想与抽象思想