历届高考数学中的概率、分布列解答题精选(仅供理科使用)

1、历届高考数学中的概率、分布列解答题精选（仅供理科使用）1. （2006 安徽理 ） 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配 方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的 添加剂进行搭配试验。用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。（）写出 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（）求 的数学期望 E 。（要求写出计算过程或说明道理）2（2006 山东理 ） 袋中装着标有数字 1，2，3，4，5的小球各 2个，从袋中任取 3

2、个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：（ 1）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；X 的分布列如下：（2）随机变量 的概率分布和数学期望；（3）计分介于 20 分到 40 分之间的概率。3、（2006 广东 ） 某运动员射击一次所得环数X0-678910Y00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 .（ ）求该运动员两次都命中 7 环的概率； （ ）求 分布列；（ ） 求 的数学希望4.（2007北京理 ）（本小题共 13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加

3、一次社会公益 活动（以下简称活动） 该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活动的次数统计如图所示I）求合唱团学生参加活动的人均次数；II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（ III）从合唱团中任选两名学生， 用 表示这两人参加活动次数 之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 E 5.（ 2007全国理） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P（ A）=0.96（1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p;（2）若该批产品共有 100 件,从中任意抽取 2件, 表示取

4、出的 件产品中二等品的件数 ,求 的分布 列3，30;156 （2008湖南理 ）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示 只要面试合格就签约 . 乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每1人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响 . 求： （）至少有 1 人面试合2格的概率 ;（）签约人数 的分布列和数学期望 .7（2008 福建理 ）某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参 加科目 B 的考试 .已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书. 现某人2参加这项考试，科目 A 每

5、次考试成绩合格的概率均为 2 ，科目 B 每次考试成绩合格的概率均32假设各次考试成绩合格与否均互不影响 . （）求他不需要补考就可获得证书的概率； （）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望 E .8（ 2008 浙江理） 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出127 个球，得到黑球的概率是 ；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 。59 （）若袋中共有 10 个球，（ i）求白球的个数；（ ii）从袋中任意摸出 3 个球 ,记得到白球的个数为,求随机变量 的数学期望 E 。（）求证：从袋中任意摸出 2

6、个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 7 。并指出袋中哪 10种颜色的球个数最少。历届高考中的概率、分布列解答题精选（仅供理科使用）（参考答案 ）1. （2006 安徽理 ） 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配 方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的 添加剂进行搭配试验。用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。（）写出 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（）求 的数学期望 E 。（要求写出计算过程或说明道理）

7、1. 解：（） 的分布列为：123456789P11223221115151515151515151512232221) E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51515151515151515152（2006 山东理 ） 袋中装着标有数字 1，2，3，4，5的小球各 2个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用 表示取出的 3 个小球 上的最大数字，求：（ 1）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量 的概率分布和数学期望；（3）计分介于 20 分到 40 分之间的概率。2。解：（ I）解法一：“一次取出的 3 个小

8、球上的数字互不相同”的事件记为A，3111则 P(A) C5 C2 C2 C2 2C130II）由题意 有可能的取值为： 2，34，5.P( 2) C22 C12 C21 C22 1C130P( 3)C42 C 21 C 41C 22 2C130C62 C12 C16 C223;P( 4)3C1010所以随机变量的概率分布为因此的数学期望为E2）“一次取球所得计分介于P( 5)C82 C 12 C 81C 22 8C130152345P13021531081512381334530151015320分到 40分之间”的事件记为 C ，则3 13 P(C) P( 3 或 4) P( 3) P(

9、4)15 10 303、（2006 广东 ） 某运动员射击一次所得环数 X的分布列如下：X0-678910Y00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 .（ ）求该运动员两次都命中 7 环的概率； （ ）求 分布列；（ ） 求 的数学希望3. 解： ()求该运动员两次都命中 7 环的概率为 P(7) 0.2 0.2 0.04；()的可能取值为 7、8、9、 10P( 7) 0.04 P( 8) 2 0.2 0.3 0.32 0.21P( 9) 2 0.2 0.3 2 0.3 0.3 0.32 0.39P( 10) 2 0.2 0.2 2 0.3 0

10、.2 2 0.3 0.2 0.22 0.36 分布列为78910P0.040.210.390.36() 的数学希望为 E 7 0.04 8 0.21 9 0.39 10 0.36 9.07.（2007北京理 ）（本小题共 13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益 活动（以下简称活动） 该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活动的次数统计如图所示 （I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（ II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（ III）从合唱团中任选两名学生， 用 表示这两人参加活动次数 之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 E 4.解：由图

11、可知，参加活动 1次、2次和 3次的学生人数分别为 10、50 和 40（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为10 2 50 3 40 2302.3 C10099（III）从合唱团中任选两名学生，记 “这两人中一人参加 1次活动，另一人参加 2次活动 ”为事 件A ，“这两人中一人参加 2次活动，另一人参加 3次活动”为事件 B ，“这两人中一人参加 1 次活动，另一人参加 3次活动”为事件 C易知1 1 1 1 1 1P（ 1） P（A） P（B） C10C2 50 C50C4 40 50；P（ 2） P （C ） C10C2 408 ；C100C10099 C10099100 100 （I

12、I）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好 相等的概率为 P0 C10 C50 C40 41的分布列：01241508P999999415082的数学期望：E0129999993( 2007全国理) 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A)=0.96(1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p;(2)若该批产品共有 100 件,从中任意抽取 2件, 表示取出的 件产品中二等品的件数 ,求 的分布 列5解：(1)记 A0表示事件“取出的 2件产品中无二等品” ， A1表示事件“取出的 2

13、件产品中 恰有 1 件二等品”则 A0，A1 互斥，且 A A0 A1 ，故2 1 2P(A) P(A0 A1)=P(A0) P(A1) (1 p)2 C12 p(1 p) 1 p2 =0.96 解得 p1 0.2， p2 0.2 (舍去)(2) 的可能取值为 0，1，2 若该批产品共 100 件，由( 1)知其二等品有 100 0.2 20 件，2故 P( 0) C280 316 C100 4951 1 2P( 1) C802C20 160 P( 2) C220 19 C100495 C100 495所以 的分布列为012P316495160495194956 (2008湖南理 )甲、乙、丙

14、三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示 只要面试合格就签约 . 乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每1人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响 . 求： ()至少有 1 人面试合2格的概率 ;()签约人数 的分布列和数学期望 .6解 : 用 A，B， C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格 .由题意知 A，B，C 相互独立， 且P(A) P(B) P( C) 1 .2()至少有 1 人面试合格的概率是 1 P(ABC) 1 P(A)P(B)P(C) 1 (1)3 7.28 () 的可能取值为 0，1，2， 3.P( 0) P( ABC) P(AB

15、C) P( ABC) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) (1)3 (1)2 (1)3 3.2 2 8P( 1) P (ABC) P( ABC) P( AB)C= P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) =(2) (2) (2) 8P( 2) P (ABC) P( A) P( B) P1P( 3) P (ABC) P( A)P(B)P(18C)所以， 的分布列是的期望8 8 8 8. 现某人7(2008 福建理 )某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参 加科 目 B 的考试

16、.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，科目 B 每次考试成绩合格的概率均2 参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 23为1.2假设各次考试成绩合格与否均互不影响 .()求他不需要补考就可获得证书的概率；()在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会， 求 的数学期望 E .7 解: 设“科目 A 第一次考试合格”为事件 “科目 B 第一次考试合格”为事件 ( ) 不需要补考就获得证书的事件为A12 则 P(A1 B1) P(A1) P(B1) 3记他参加考试的次数为答：该考生不需要补考就获得证书的概率为A1，“科目B1，“科目B1, 注意到13.1

17、.3.A 补考合格”为事件 A2；B 补考合格”为事件 B2.A1与 B1 相互独立，() 由已知得， 2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 TOC o 1-5 h z P(2)P(A1 B1)P(A1 A2) 2 11111111 23 23339P( 3) P(A1 B1 B2) P(A1 B1 B2) P(A1 A2 B2)21 121112 11 1 14,2 232233 26 6 93P( 4) P(A1 A2 B2 B2) P(A1 A2 B1 B2)1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1,3 2 2 3 3 2 2 18 18 97575 TOC o 1-5 h z 41 8故 E 2 3 4 .999 3答：该考生参加考试次数的数学期望为 8 .3个球，得到黑球的概率是）若袋中共有 10 个球，（ii）从袋中任意摸出8（ 2008 浙江理） 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1272 ；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 7 。 59（ i）求白球的个数；3 个球 ,记得到白球的个数为 , 求随机变量 的数学期望 E 。）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 7 。 10 并指出袋中哪种颜色的球个数最少。8）解：（ i）记“从袋中任意摸出两个