《生活中的优化问题举例》教学设计正式版

1、生活中的优化问题举例教学设计一、教材依据：本节课是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学 A 版（选修 2-2） 第一章第四节导数的应用 .二、设计思想 ： 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常 称为优化问题。而这类问题对于学生来说是难点。依据 2010 高考说明第 50 页，利用导数解 决实际问题属于 B 层次（理解） ，体现数学的实用性，利用求导法解决一些实际应用问题是 函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高 考的又一热点。本节课通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，感受导数在解决数 学问题和实际问题中

2、的作用， 让学生经历数学建模过程： 从生活实际到数学模型， 再通过解 决数学问题而达到实际问题被解决的过程。1、设计理念 ：以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、发现，以及对所学知识的主 动建构，采用探究式教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式 .2、教材分析 ：本节课是在学习了导数概念及利用导数求函数单调区间、求函数极值和最 值等内容的基础上，进一步利用导数这一工具可求函数最值这一重要作用来解决实际问题 .通 过导数为解决函数问题提供了更广阔的天地，体现了导数在处理函数问题中的工具作用.是本节乃至本章的教学重点 .3、学情分析 ：学生已经学习了函数以及导数的基础知识，知道了利用导数研究函

3、数的基 本性质，用导数来处理函数单调性、极值、最值等问题的基本思路，但如何利用导数来解决 一些具体的问题，学生的能力还比较薄弱，这都造成了本节课的困难，需要进行问题的引导 .注意：学生的难点是如何建模，应注重这方面的引导训练； 考虑对自变量的实际限制，规范解题步骤的表述； 充分体会导数在解决数学及其他学科实际应用题中的工具性作用 .三、教学目标 ：1、知识与技能： 结合生活中求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，对学生进行函数 思想和 方法的培养。学会利用求导求函数最值的具体应用问题 .2、过程与方法 ：通过教师思路上的引导，经历用求导的方法求极值到求最值的过程，通过探 究交流 澄清对问题

4、的认识，在过程中获得思维的发展 .3、情感态度与价值观 ：培养学生主动学习、 合作交流的意识， 发挥学习过程中的主观能动性， 感受导数在函数中的应用，逐步形成运用导数知识分析问题和解决问题的能力，并提高学生 应用导数知识解决实际问题的思想能力和意识。激发学生学习的兴趣.让学生感受数学的实用性。四、教学重、难点 ：利用导数解决生活中的一些优化问题五、教学准备 ：学生预习，教师制作幻灯片 .六、教学方法 ：探究性学习 .七、教学过程 ：教学内容 活动一：教学引入 前面几节课我们我们研究了导数的概念及 导数的应用，问题（ 1）利用导数可以解决那些 问题呢？问题（ 2）如何利用导数求函数的最大、 最小

5、值。那么导数还可以解决那些问题呢？今 天，我告诉大家，导数的实际应用离不开我们身 边的点滴小事。本节课我们就来应用导数解决生 活中的优化问题。 活动二创设情景什么是优化问题呢？ 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效 率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数 最大（小）值的有力工具因此，我们可以利用 导数解决这些生活中的优化问题师生活动设计意图通过问题引导学生的思考方向，生：思考问题（ 1）、（2）并回答 .为本节课的解决师：对学生的回答做评价 .做铺垫 .师：提出问题，用投影展示优化给出优化问题的问题的定义。定义。学生：理解、体会优化问题。活动三：（1）大

6、家是否注意过，市场上等量的小 包装的物品一般比大包装的要贵些？你们想从 数学中知道它的道理吗？探究 :相同容积下 ,制造如下哪种圆柱形饮料瓶用 料最省 .例 1 某种圆柱形饮料罐的容积 V 一定 , 如何确 定它的高与底半径 , 才能使它的用料最省 ?创设问题情景生：自己分析解答例 1，并回答 问题，师：提出问题 ,让学生针对问题去 思考，讨论，探究 .（1）关于设元，可以怎么设未知 数 ?设底面边长为 r 可以吗？设 高为 h 可以吗 ?（2）列式， 两种设元列式哪个更简 便？（3）如何求表面积 s 的最小值 （4）求导，如何求导。通过学生的自 主探究来找到 解决问题的办 法，培养学生的 思

7、考和表达的 能力，体现“由 特殊到一般”的 思维方式 .通过上面的例子，总结利用导数解决生活中的优化问题的方法？培养学生归纳、总结能力。（ 1 ）把实际问 题转化为用函 数表示的数学 问题；（2）用导 数解决数学问 题；（3）优化问 题的答案。活动四： 变式训练一 根据所给材料，探求饮料瓶大小对 饮料公司利润的影响。材料 : 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮 料瓶子的制造成本是 0.8 r 2分，其中 r 是瓶子 的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料， 制造商可获利 0.2 分 , 且制造商能制作的瓶子 的最大半径为 6cm（ 1）请建立利润 y 与瓶子半径 r 的函数关系。 （

8、2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。生：自主练习 （可上黑板演示 ）. 师：个别指导并评价 .巩固本节课学 习的知识活动五 ; 例题解析（07北京卷）例 2、如图，有一块半椭圆形钢板， 其长半轴长为 2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板 切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴 ,上底 CD 的端点在椭圆上，记 CD 2x ，梯形面 积为 S （I）求面积 S以 x为自变量的函数式， 并写出其定义域；（ II ）求面积 S 的最大值学生分析师 :提出问题 ,让学生针对问题去 思考，讨论，探究 .（1）梯形的面积公式是什么？（2）要求梯形的面积，要解决的问题是什么？ （3）如何表

9、示梯形的高？ （4）如 何建立 平 面直 角 坐标系？ （5）在此坐标系下，椭圆的标准方程是什么？（ 6）点 C 的坐标是多少？ （ 7）此时梯形的面积 S 的表达式是表达式是什么？表达通过例题熟练掌 握利用求导求函 数最值的实际应 用问题，并能够 举一反三，触类 旁通 .学生自主完 成并由老师点 评，旨在培养学 生发散思维，对 学生思维能力得 以很好地训练 .D C2rA 2r B式自变量是谁？定义域是什么？8)观察 S(x) 的表达式，如何求其最大值建立数学模型学生思考并总结， 教师补充 解决优化问题的方法：首先是需 要分析问题中各个变量之间的 关系，建立适当的函数关系，并 确定函数的定义

10、域，即核心问题 是建立适当的函数关系，再通过 利用导数研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得以解 决，在这个过程中，导数是一个 有的工具通过小结使学生 对本节课的知识 有一个全面的认 识，为今后学习 其他知识打基 础, 培 养归纳总 结的好习惯 .活动五：课后小节 提问：这节课你都学到了什么？(1) 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效 率最高等问题 , 这些问题通常称为优化问题，它 们都可以化归为求函数最大 (小) 值，从而可以应 用导数求解。(2) 要有应用意识 . 即运用导数 , 解决生活中的一 些优化问题；利用导数解决优化问题的基本思路：巩固所学知识活动六：作业布置 变式训练二

11、 如图，将边长为 6 的等边三角形各切去一个全等 的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三 棱柱形的容器(1)若这个容器的底面边长为 x,容积为 y, 写出 y 关于 x 的函数关系式及定义域；(2) 求这个容器容积的最大值教师布置作业工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲八、教学流程图：提出学习课题，确定研究思路探究：相同容积下 ,制造哪种圆柱形饮料学生归纳总结用导数解决优化问题的解题方法。师生共议 ,形成结论学生独立完成变式训练一，教师巡视和指导师生共同解

12、决例 2课堂小结作业九、教学反思：结束1、整个教学思路符合学生认知规律，学生参与教育教学活动的热情高涨，体现了学生的主体 作用和教师的主导作用，学生作业情况很好，教学效果好 .2 的处理 ,虽然花了很多时间 ,显得时间有点紧张 , 但学生对2、本节课我认为最大的亮点是对例 这类问题的认识很有深度 .3、自主性学习这种方法值得推广,它能充分调动所有学生学习的兴趣,整个课堂学生参与意识很强 ,主动性和创造性得以很好发挥,真正学会了学习的方法4、探究性学习对教师要求很高,要充分挖掘教材 ,考虑学生的实际情况 ,处理好“导” ,不是简单的学生看书自学 ,所以教师要在备课上下大功夫学习不是一朝一夕的事情

13、，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说： “今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽 量往前甩，然后再尽量往后甩。 ”说着，苏格拉底示范做了一遍， “从今天开始，每天做 300 下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生： 每天甩手 300 下，哪个同学坚持了，有 90的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学

14、生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个 重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具 有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉 无们，做事要有恒心。旬子讲： “锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。 ”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。

15、学习是一条 慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确 很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归 到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和 视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接

16、受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法 章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最 适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面” ，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博 文或者 PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读

17、学习。其内容从“时 间规划” 、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货” ，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长 篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有 力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法” 、“错误的方法”和“积极的行为” 、“消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果， “正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然

18、的认为， “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越 走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码 在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本 主要包括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采

19、取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技 能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分 别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此， 说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要 应试。那个考试应对细节的部分

20、放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里 做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了 一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近 的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们 人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习 习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历 程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用