人教版九年级数学第22章二次函数222二次函数与一元二次方程讲义

1、人教版九年级数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程讲义人教版九年级数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程讲义PAGEPAGE10人教版九年级数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程讲义PAGE合作研究研究点1高频考点二次函数yax2bxc/(a0)与一元二次方程ax2bxc0(a0)的关系状况激疑校运会上，某运发动掷铅球，铅球的高y(m)与水平间隔x(m)之间的函数关系式为y0.2x22x1.7，则此运发动的成绩是多少？知识解说一元二次方程的根的状况和二次函数的图像与x轴的交点个数之间的关系是互相的，根据根的状况能够判绝交点个数，反之也建立，下表是二次函数图像

2、与x轴的地点关系与一元二次方程根的状况之间的联系。抛物线yax2bxc与x轴一元二次方程公共点的个数a0ax2bxc0的根的状况a0b24ac0有两个有两个不相当实数根b24ac=0有一个有两个相当数根b24ac0没有公共点没有实数根典例解析例1已知抛物线y1x2xc与x轴没有交点。21求c的取值限制；2试判断直线ycx1经过的象限，并说明原由。解析抛物线与x轴的交点个数由b24ac判断。答案1抛物线与x轴没有交点，b24ac，即1-2c，解得c1。0023c10，2直线ycx1经过第一、二、三象限。第1页规律总结抛物线与x轴交点个数的问题，也就是研究一元二次方程的根的状况，可由b24ac的符

3、号结构方程或不等式，求解即可。类题打破1二次函数yx22x1的图象与x轴的交点个数是A.0B.1C.2D.3答案B点拨b24ac440，二次函数yx22x1的图象与x轴的交点个数为1。类题打破2抛物线yx2axa2与x轴交点的个数为A.2B.1C.0D.与a相关答案A点拨b24aca241(a2)a24a8(a2)240，故抛物线与x轴有两个交点，应选A。类题打破3抛物线yax2bxc与x轴的交点坐标为1,0，3,0，则方程ax2bxc0的解为。答案x11,x23类题打破4已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值限制是A.k4B.k4C.k4且k3D.k4且k3答案B点拨当k

4、-3=0即k=3时，此函数为一次函数，它的图象与x轴有交点；当k-30即k3时，此函数为二次函数，因为它的图象与x轴有交点；则22-4k310，解得k4。综上，k的取值限制是k4，故答案为B。研究点2利用二次函数图象求一元二次方程的近似根知识解说利用二次函数图象求一元二次方程的近似根。第2页1先画出函数yax2bxc(a0)的象；2形式一：通象察求一元二次方程的根；形式二：通取均匀数的形式不停小根所在的范，求得一元二次方程的近似根。典例解析例2利用二次函数的象求-x22x100的近似解正确到0.1。解析画出函数yx22x10的象，由象与x的交点的地点判断两根的取范，再利用算器求得近似解。答案列

5、表：x-3-2-1012345y-52710111072-5描点以下。由象可知方程有两个根，一个根在3与2之一个根在4与5之。先求3与2之的根，利用算器行研究：x2.42.32.22.1y0.560.110.761.39所以，x=2.3是方程的一个近似根，另一个根能够似地求出：x4.14.24.34.4y1.390.760.110.56所以，x=4.3是方程的另一个近似根。律形式依据二次函数yax2bxc的象与x交点的横坐即方程ax2bxc0的解，所以能够利用函数的象，察象与x的交点，从而求得方程的解，一形式丰饶体了数形合的思想，在利用函数象解一元二次方程，函数象尽也许地画正确，由于作和察的差

6、，所以，求出的解都是近似解，使果更正确，能够通取均匀数的形式不停小根的取范，多次重复后，根所在范的两头的就越凑近根的近似。打破5画出函数yx2x1的象，求方程x2x10的近似解。正确到0.1第3页答案画二次函数yx2x1的图象，如以以下列图，由图象可知方程有两个根，一个在2和1之间，另一个在0和1之间。先求2和1之间的根，利用计算器研究以下：x1.11.21.31.41.51.61.7y0.890.760.610.440.25故这个根在1.6和1.7之间，且凑近于1.6.故x=1.6是方程的一个近似根.再求在0和1之间的根，研究以下：x0.10.20.30.40.50.60.7y0.890.7

7、60.610.440.250.040.19故其另一个根是x=0.6.点拨依据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相映的方程的解。类题打破6如以以下列图，是二次函数y2x24x1的图象，那么一元二次方程2x24x10有两个根，此中一个根在和之间，另一个根在和之间。答案1023要点难点重难点1二次函数与一元二次方程的关系对于二次函数yax2bxc(a0)，当y0时，就化为一元二次方程ax2bxc0。所以，当抛物线与x轴订交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2bxc0的根。当抛物线与x轴有两个交点时，一元二次方程ax2bxc0有两个不吻合的实数根，此时b24ac0；当抛物线与x轴

8、有一个交点时，一元二次方程ax2bxc0有两个相当的实数根，此时b24ac=0；第4页当抛物线与x轴没有交点时，一元二次方程ax2bxc0没有实数根，此时b24ac0.反之也建立。例1已知二次函数y3x28x4.1该函数图象与x轴有几个交点？2试说明一元二次方程3x28x47的根与二次函数y3x28x4的图象之间的关系；3试问x为什么值时，函数y的值为1？解析1可利用一元二次方程求解.2抛物线yax2bxc0与直线yh的交点的横坐标，就是一元二次方程ax2bxch的实数根.3解3x28x41，或利用函数图象求解。答案1对于二次函数y3x28x4，令y0，则有3x28x40.而22，所以该函数图

9、象与x轴有两个交点。b4ac(8)4341602一元二次方程3x28x47的根，能够看作二次函数y3x28x4在y的值为7时的x的值。3直接解方程3x28x41，解得x15,x21.3形式提示抛物线与x轴交点的个数可经过相映一元二次方程解的个数来判断，也能够利用b24ac与0的大小关系来判断。类题打破1二次函数yx24xk的部分如以以下列图，则对于x的一元二次方程x24k0的一个解是x15，另一个解x2A.1B.1C.2D.0答案B点拨因为抛物线的对称轴是x=2，对于x的一元二次方程x24k0的一个解是x15，即抛物线与x轴的交点坐标是5,0，依据抛物线的对称性，抛物线与x轴的另一个交点坐标为

10、1,0，所以方程的另一个解是x21，故答案为B.第5页类题打破2抛物线yax2bxc如以以下列图，则ax2bxc=0的解为，ax2bxc0的解为。答案-2或-6x-2或x6点拨ax2bxc=0的解为图象与x轴交点的横坐标，ax2bxc0的解为在x轴上方的图象所对应的自变量x的取值限制.例2求抛物线yx23x1与直线yx1的交点坐标.解析联立双方程，解方程组，求抛物线yax2bxc与直线ykxb的交点就是求解析式构成的方程组的解。yx23x1与yx1构成方程组yx23x1答案要求交点坐标可把yx1，解之x10 x24得y11y25，所以交点坐标为0,1，4,5.类题打破3已知抛物线yax2bxc

11、如以以下列图，则对于x的方程ax2bxc8=0的根的状况是有两个不相当的正实数根有两个异号实数根有两个相当的实数根没有实数根答案C点拨抛物线yax2bxc的极点的纵坐标为8，将抛物线yax2bxc向下平移8个单位长度为抛物线yax2bxc8，此时抛物线yax2bxc8与x轴唯有一个交点，此时方程有两个相当的实数根。类题打破4若x1，x2x1x2是方程xaxb=1ab的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为A.x1x2abB.x1ax2bC.x1abx2D.ax1bx2第6页答案C点拨画出抛物线y(xa)(xb)与直线y1，两图象的交点的横坐标就是方程xab)=1的两个根，即x1，x2，而

12、a，b是二次函数y(xa)(xb)的图(x象与x轴的两个交点的横坐标，由图象知x1abx2.重难点2求一元二次方程的近似解求一元二次方程的近似解有以下几种常用的形式：1直接画出函数yax2bxca0的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的近似解；2先将方程变形为ax2bxc，再辩解画抛物线yax2bxa0和直线c，则两图象的交点的横坐标就是方程的近似解；3先将方程变形为ax2bxc，再辩解画抛物线yax2和直线ybxc，则两图象的交点的横坐标就是方程的近似解。例3利用二次函数图象求一元二次方程3x26x90的解。解析依据由函数图象求方程的根的步骤求解。答案解法一：画出函数y3x26x9的图象

13、。如图1所示，观察图象知抛物线与x轴的两个交点是-1,0和3,0原方程的解为x1=-1，x2=3.解法二：画出函数y3x26x的图象及直线y9，如图2所示，观察两图象的交点A，B的横坐标辩解为-1,3.原方程的解为x1=-1，x2=3.解法三：画出函数y3x2和y6x9的图象，如图3所示，观察两图象的交点C，D的横坐标辩解为-1,3.原方程的解为x1=-1，x2=3.图1图2图3类题打破5利用图象法解方程x2x2x6.第7页答案在同不停角坐标系中画出函数y2x6和yx2x的图象，如以以下列图，观察图象的交点可知坐标为-3,12和2,2,所以此方程的解为x1=2，x2=-3.点拨函数y2x6与y

14、x2x的图象的交点的横坐标即为方程x2x2x6的解。易错指导易错点1利用根的判断式时考虑不全面例1已知二次函数ykx27x7的图象与x轴有交点，求k的取值限制。错解二次函数ykx27x7的图象与x轴有交点，b24ac(7)24k(7)4928k0，且k0，7，且k0。4错因解析此题依据二次函数的图象与x轴有交点只获得b24ac0而忽视了b24ac=0的状况以致犯错。正解二次函数ykx27x7的图象与x轴有交点，b24ac(7)24k(7)4928k0，且k0，k7，且k0。4纠错心得要注意抛物线与x轴有交点时包含两种状况：一个交点和两个交点，故需b24ac0.易错点2二次函数与一元二次方程解的估值问题例2已知二次函数yax2bxc中，函数y与自变量x的部分对应值如