均值不等式应用全面总结+题型总结

1、均值不等式应用全面总结+题型总结（含具体解析）解：因 4x50,所以第一要“ 调整” 符号,又4x2g 415不是常数,所以对4x2要进行拆、凑项,x一均值不等式3231Qx5 , 454x0,y4x241554x51x1. （1）如a,bR,就a2b22ab 2如a,bR,就aba22b2（当且仅当ab时取“=” ）x4当且仅当54x51x,即x1时,上式等号成立,故当x1时,ymax1；2. 1如a,b* R,就a2bab 2如a,bR*,就ab2ab（当且仅当ab时取“=” ）4评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值；3 如a ,bR*,就aba2b2 当且仅当ab时

2、取“=” ）技巧二：凑系数3. 如x0,就x12 当且仅当x1时取“=” ）; 如x0,就x12 当且仅当x1时取“=” ）xx如x0,就x12 即x12或x1-2 当且仅当ab时取“=” ）xxx3. 如ab0,就ab2 当且仅当ab时取“=” ）ba如ab0,就ab2 即ab2 或ab-2 当且仅当ab时取“=” ）bababa例 1. 当时,求yx82 x 的最大值；4. 如a,bR,就a2b2a22b2（当且仅当ab时取“=” ）注：（1）当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“ 积定和最小,和定积最大”（2）求最值的条件

3、“ 一正,二定,三取等”3均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求以下函数的值域（1）y3x 21 2x 2（2）yx16 ,+）解析：由知,2x82 ,利用均值不x解：（1）y3x 21 2x 2 23x 21 2x 2 6 值域为 等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值；留意到8为定值,故只需将yx82 x 凑上一个系数即可；（2）当 x0 时, yx1 x2x12；x1=2 x当 x0 时, yx1 x = （x1 x） 2x值域为（,2 2,+）解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知x

4、5,求函数y4x2415的最大值；4x当,即 x 2 时取等号当 x2 时,yx 82 x 的最大值为8；当, 即时 ,y2（x1x4159（当且仅当x1 时取“ ” 号）；评注：此题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值；变式：设0 x3,求函数y4x32x的最大值；2技巧四 ：换元解：0 x332x0y4x32x 22x 32x22x32x29解析二：此题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x 1,化简原式在分别求最值；yt2 17t1 +10=t25 t4t45222ttt当且仅当2x32x ,即x30 ,3时等号成立；42技巧三 ： 分别

5、例 3. 求yx27x10 x1的值域；x1）的项,再将其分别；x1解析一：此题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有（当, 即 t=分析：“ 和” 到“ 积” 是一个缩小的过程,而且3a 3b定值,因此考虑利用均值定理求最小值,即解：a 3 和3b都是正数,3a3b23 a3 b23ab6当3a3b时等号成立,由ab2及3ab 3得ab1即当ab1 时,3a3b的最小值是6变式：如log4xlog4y2,求1 x1的最小值 .并求 x,y 的值y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错；2：已知x0,y0,且1 x91,求 xy 的最小值；

6、y错解：Qx0,y0,且1 x91,xy19xy292xy12故xymin12；时,y2t459（当 t=2 即 x1 时取“ ” 号）；yxyxyt错因：解法中两次连用均值不等式,在xy2xy等号成立条件是xy,在 1 x929等号成立条件是19评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值；即化为ymg x AB A0,B0,gx 恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值；xyyxyg x 技巧五：留意：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,应结合函数f x xa的单调性；y9x ,取等号的条件的不一样,产生错误；因此,在利用均值

7、不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,x而且是检验转换是否有误的一种方法；例：求函数y2 x5的值域；正解 ：Qx0,y0,191,xyxy19y9x10610162 x4xyxyxy解：令x24t t2,就yx252 x4x14t1 t2当且仅当y9x时,上式等号成立,又191,可得x4,y12时,xymin16；x242txyxy因t0,t11,但t1解得t1不在区间2,故等号不成立,考虑单调性；变式：（1）如x,yR且2xy1,求11的最小值ttxy由于yt1在区间 1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故y5；2已知a,b,x,yR且ab1,求xy的最小值t2x

8、y所以,所求函数的值域为5 , 2；技巧七 、已知 x,y 为正实数,且 2 x 2y 2 1,求 x1y2 的最大值 . 练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值 . 分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式aba 2b 2；2（1）y2 x3x1,x0（2）y2xx13,x3 3y2sinx1x,x0,同时仍应化简1y2中 y2 前面的系数为1 2,x1y2 x21y 22 x 2 2y 2sinx22已知 0 x1,求函数yx 1x 的最大值 .；30 x2,求函数yx 2 3 x 的最大值 . 下面将 x, 2 2y 2分别看成两个因式：3x1 2y 2x 2 2 2y

9、 2 2 2 x 2 y 213即 x1y2 2 x1 2y 232 应用二、应用均值不等式条件求最值222424技巧八：已知a,b 为正实数, 2bab a30,求函数 y1 ab的最小值 . 分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式1. 如实数满意ab2,就3a3b的最小值是 . 求解,对此题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式,对此题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行；法一： a302b b1,ab302bb2 b230b1）正数 a

10、,b,c 满意 abc1,求证： 1a1b1c8abc21abc2bc,b1b1例 6：已知 a、b、 cR ,且abc1；求证：1111118由 a0 得, 0b15 abc令 tb+1,1 t16,ab2t234t31 2（t16） 34 t162t168 tttt分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2” 连乘,又1 a1 ab18 y1 18当且仅当 t4,即 b3,a 6 时,等号成立；aaa可由此变形入手；法二：由已知得：30aba2b a 2b22 ab 30ab22 ab解： Q a、b、cR ,abc1；111aabac2bc；同理1 b12

11、ac,1 c1ab；上述三个不等令 uab就 u 2 22 u300, 52 u32 aabcab32 ,ab18, y118式两边均为正,分别相乘,得点 评 ： 本 题 考 查 不 等 式a2bab（a,bR）的 应 用 、 不 等 式 的 解 法 及 运 算 能 力 ； 如 何 由 已 知 不 等 式1111112bc2 gac2 gab8；当且仅当abc1时取等号；3abcabcaba2 b30（a,bR）出 发 求 得 ab 的 范 围 , 关 键 是 寻 找 到ab 与ab之 间 的 关 系 , 由 此 想 到 不 等 式应用三：均值不等式与恒成立问题a2bab（a,bR）,这样将已

12、知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范畴 .例：已知x0,y0且1 x91,求使不等式xym恒成立的实数m 的取值范畴；y变式： 1.已知 a0,b0,ab ab1,求 ab 的最小值；2.如直角三角形周长为1,求它的面积最大值；解：令xyk x0,y0,191,xkxy9x9y1.10y9x1技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数, 3x2y 10,求函数 W3x 2y 的最值 . xykykkxky解法一：如利用算术平均与平方平均之间的不等关系,aba 2b 2,此题很简洁11023；k16,m,1622kk3x 2y2 （3x ）2（2y ）22 3x 2y 25 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：如ab,1Plgalgb,Q1lgalgb,Rlga2b,就P,Q,R的大小关系是 . 解法二：条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“ 和为定值” 条件靠2拢；分析：ab1lga0,lgb0W0,W23x2y 2 3x 2y 102 3x 2y 103x 22y 2 10 3x2y20 W20 2 5 Q1（lgalgb lgalgbp变式 : 求函数yx2x15 2 1x 5 的最大值；2 22x 的和为定值；2解析：留意到 21与 5Rlga2blgab1lgabQRQP；2y22x152 2422x152