解直角三角形综合

1、解直角三角形 综合练习【例题精选】：例1、在ABC中, C = 90, , 求ctgB。解: 方法一, 设A对边BC = 2a, 斜边AB为3a, 由勾股定理, AC = , 由三角函数的定义, ctg 。方法二;, 由同角三角函数关系式, , 得, 则。又A与B互为余角, sinA = cosB, tgA = ctgB, ctgB = tgA = 。说明: 当直角三角形中已知一个三角函数求其它三角函数值时, 用小三角形法, 即方法一是比较简单的, 因为三角函数的定义是比值, 因此可设一份为一个常量, 设出比值, 再去计算。用同角三角函数关系式计算也应当会, 只是计算起来麻烦一些。例2、在AB

2、C中, C = 90, tgA的周长为45cm, 求BC的长。解: 设BC = 12x, AC = 5x, 则AB = 13x, 则题意, 12x + 5x + 13x = 45cm, 30 x = 45, x = , BC = (cm)例3、在ABC中, C = 90, , 求A及。解: C = 90, tgA, 又A为锐角, A = 30, 。说明: 当已知边求角时, 可利用三角函数的定义, 这里已知两直角边, 可以求锐角的正切或余切值, 再去求角。例4、求值: 分析: 所给的三角函数中, 只有45的三角函数是特殊角的三角函数值, 其它都不是特殊的三角函数值, 应当分析这些三角函数值之间的

3、关系, 由分析可以看出37与53角互为余角, 因为互为余角的余函数相等, 因此tg48与ctg42也相等, 再进行计算就可以了。 说明: 互为余角余函数相等的结论, 可用于角的转化, 通过转化, 才能找到解题的思路, 才能找到解决问题的突破口, 这也是提高自己解题能力的一个重要方面。因此运用数学思想解决数学问题应当自觉的去做。例5、在ABC中, ACB = 90, AB = 6, CDAB于D, AD = 2, 求A的正弦值。分析: 由已知, ACB = 90, CDAB于D, 这在几何中是个很典型的几何图形, 这个图形中, 有, , , 还有BCD = A, ACD = B等, 因此求A的正

4、弦值, 可以用角的代换, 即求BCD的正弦, 或通过相似求边再求A的正弦。解: 方法一, ACB = 90, CDAB于D, , AC2 = ADAB, AC2 = 26, ,。方法二, A与BCD同为ACD的余角,A = BCDBD = 62 = 4, ,BC2 = 46, BC = 2。例6、已知a = sin20, b = sin40, 则下列正确的是A2a 1 1 2bC1 2a 2bD1 2a 2b分析: 从已知出发思考不太好想, 但换个角度, 从结论出发去想, 看a、b间的联系, 将各项除以2, 结论为A、, B、, C、, D、。因为a = sin20, b = sin40, 因

5、此可想成sin30, 由正弦函数当角从0到90间是函数随角的增加而增加, 从而确定要选定的结果。解: 由正弦函数的增减性, 得, 即, 2a 1 2b应选A。说明: 思考问题的方法, 可以从已知去想, 也可以从结论倒推去想, 只有不断变化转化各种思考问题的方式, 才不会死板的解决问题, 而变得更加灵活了。例7、等腰三角形两边长分别为10, 13, 求底角的余弦。分析: 等腰三角形两边长为10, 13, 没有具体指明是腰还是底, 通过分析, 10可以做腰, 10也可以做底, 这样区分两种情况分别求底角的余弦, 辅助线可以做底边上的高, 这样就构造出直角三角形了。解: 情况一, 若腰为10, 底为

6、13, 做底边上的高后, 将底边分为各为6.5的两部分。设底角为。若情况二, 腰为13, 底为10, 做底边上的高以后, 将底边分为各为5的两部分, 则底角余弦为。说明: 由于题目中所给的条件不明确, 所以应当分两种情况进行讨论, 分类讨论的思想, 也是很重要的一种数学思想, 它要求我们思考问题应当全面, 不可以重复也不可以漏掉。有关等腰三角形的问题, 底边上的高是常加的辅助线之一, 因为等腰三角形底边上的高也是底边的中线, 也是顶角的平分线, 这样可以把等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题去解决。例8、从1.5米高的侧高仪上, 测得塔顶仰角为45, 向塔前进10米, 又测得塔顶仰角为60,

7、 求塔高。分析: 由实际测量问题画出示意图, 即已知ABC = 45, ADC = 60, BD = 10, ACB = 90, 塔高即AC + CE, CE为1.5米, 解: 设AC为x, ABC = 45, AC = BC = x, 又ADC = 60, ctg60, 由题意答: 塔高为米。例9、我国领海权12海里, 在东西方向平直海岸线上相距18.9海里有A、B两个雷达站, 同时测得一外国军舰K, K在A的北偏东30, K在B的北偏西45, 问是否要向敌军舰发出警告？。分析: 由题意画出示意图, 求出K到AB的距离, 再根据题意确定。解: 做KCAB于C, 设KC为x, 则BC = KC

8、 = x, 在RtACK中, KAC = 60, ctg60, 答: K与AB距离小于12, 应当发警告。例10、四边形ABCD中, AB = BC, AD = 7, D = B = 90, tgA = 2, 求CD长。分析: 为了利用tgA = 2的条件, 可延长AD、BC交于一点H, 构造为直角三角形。解: 延长AD, BC交于H, 设CD为x, A = HCD, tgA = 2, 则DH = 2x, HC =, HB = 由题意解得答: CD长为。说明: 这里为充分利用题目所给条件, 将原来图形扩形为新的直角三角形。【综合练习】：1、选择题:(1)直角三角形ABC中, A = 90, 则

9、sinB的数值为ABCD(2)若tgtg50 = 1, 则锐角等于A40B50CD(3)下列命题中正确的是Asin72 = cos72BA + B = 90, 则cosA = cosBC中, abc = 123, 则D若A + B = 90, 则sinA = cosB(4)当45 90, 下列各式正确的是ABCtgDtg2、在ABC中, C = 90, , 求sinA。3、在中, A = 30, B = 45, 45所对边为8, 求30角所对的线段长。4、在直角ABC中, B = 60, a + c = 9, 求b。5、等腰ABC中, AB = AC = 5, , 求sinA。6、ABC中,

10、AB = AC, ADBC于D, , AB = 12, 求BAC的正弦。 7、在直角三角形ABC中, , C = 90, , 求ABC的三边长。8、电视塔建立在20米高的小山顶上, 从水平面上一点D测得塔顶A的仰角为60, 测得塔基B的仰角为30, 求电视塔高AB。9、若矩形纸片ABCD的宽AB = 6, E为AB上一点, 沿CE折叠后, B恰落在AD上, 设为F, 若ECF =, 求DF长。【答案与提示】：1、(1)C。特别要注意, 题目中给的是A为90。(2)A。用同角三角函数关系式去想, 因为有tg50ctg50 = 1, 则ctg50 = tg40。(3)A。因为互为余角的余函数相等。

11、(4)A。可以用特殊值的方法, 用试验的方法, 可以设角, 满足题意的条件, 而去思考。2、提示, 可由, 设, 再由三角函数定义得。3、提示, 做CDAB交AB于D, 将原来三角形ABC分割为两个直角三角形。因为45角所对边为8, 则CD = 4。再用勾股定理解直角三角形, 得。4、提示, 设30所对直角边为x, 则斜边为2x, 另一直角边为, 由题意x + 2x = 9, 求得x = 3, 所以。5、作BDAC交AC于D, , AC = BD结果为10, BD = 2。6、作BEAC于E, 设, AB = 6x, 则, 6x = 12, x = 2, 则, 由题意BCAD = ACBE,

12、= 12BE, , 。7、RtABC面积为96, 则, 设BC = 3x, AB = 5x, 则BC = 4x, , x = 4, 即AC = 16, BC = 12, AB = 20。8、由题意, 画草图, ADC = 60, A = 30, 设DC = a, 则AD = 2a, , BDC = 30, BC = 20, BD = 40, DC = , AB = 6020 = 40答: 电视塔高AB为40米。9、提示: 折叠的问题要注意的是折叠后的图形与原来的图形全等, 且折线是两个图形的对称轴。由题意CEFCEB, ECB =, 则DCF = , 又AB = CD = 6, tg, DF

13、= DCtg 【综合练习二】：1、ABC中, , 则ABC是A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形2、计算3、计算: tg25tg35tg45tg55tg654、利用含30角的直角三角形, 求15角的四个三角函数值。5、ABC中, C = 90, D, E是BC上两点, ABC, BD = 11, DE = 5, 求AC。【提示或解答】：1、B。时, A = 60, 时, B = 60, 由绝对值的非负性, 得到三个角都为60, 应为等边三角形。2、提示: 将第一个根号内1变为原式 = 3、提示: 25 + 65 = 90, 35 + 55 = 90, 由余角的正切函数与余切函数相等, tg2