全国自学考试线性代数历年考试真题及答案

1、全国自学考试线性代数历年考试真题及答案2003年4月全国自学考试线性代数答案第一部分选择题(共20分)一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1对任意n阶方阵A、B总有( )AAB=BA B|AB|=|BA| 2在下列矩阵中，可逆的是 ( ) 3设A是3阶方阵( )A-2 D24设A是mn矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是 ( ) AA的行向量组线性无关 BA的行向量组线性相关 CA的列向量组线性无关 DA的列向量组线性相关5设有m维向量组，则 ( )A当

2、mn时，(I)一定线性相关C当mn时，(I)一定线性无关6已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成 ( )7设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是( )AAx=2x 8设矩阵的秩为2，则= ( )A2 81C0 D-l9二次型的矩阵是 ( ) 10二次型是 ( )A正定的 B半正定的C负定的 D不定的第二部分 非选择题(共80分)二、填空题(本大题共10小题。每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错选、不填均无分。1 1行列式的值为_12设向量a=(2，1，2)

3、,则与它同方向的单位向量为_13设=(2，1，-2)，=(1，2，3)，则2=3=_14向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为_15设 mn矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵的秩为_16若线性方程组无解，则=_17设2阶方阵均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=_18设矩阵，则A的全部特征值为_19设P为n阶正交矩阵，、为n维列向量，已知内知(，)=-l，则(Pa，P)_ 20设二次型的正惯性指数为P，负惯性指数为q，则p-q=_.三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)21设向量22设，矩阵X满足方程求矩阵X23当t取何值时，向量组线性相关?24求下列矩阵的秩：25

4、设矩阵矩阵A由矩阵方程确定，试求的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)27设3阶方阵A的三个特征值为的特征向量依次为求方阵A28设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围 四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)30设向量可由向量组线性表示试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关参考答案一、单项选择题二、填空题11O13(1,-4,-l3) 14115m l60174 181，1，-l19-l 20O三、计算题知当且仅当t=3时该向量组线性相关所求通解x=都是非零列向量，故题设条件说明A有特征值对应的特征向量分别为因为A为3阶方阵故1，0-l就是A的全部特征值，因A

5、的特征值互不相同，于是由推论41知A可对角化，令矩阵由上式得28解，的矩阵为，A的顺序主子式为四、证明题所以30证 由条件，存在常数若表示法唯一，设有一组数2005年10月自考线性代数试题答案全国2004年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设行列式（）A.81B.9C.9D.812.设A是mn矩阵，B是sn矩阵

6、，C是ms矩阵，则下列运算有意义的是（）A.ABB.BCC.ABTD.ACT3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（）A.(A+B)T=AT+BTB.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)-1=B-1A-1D.(AB)T=BTAT4.已知1=(1,0,0)，2=(-2,0,0)，3=(0,0,3)，则下列向量中可以由1，2，3线性表出的是（）A.（1，2，3）B.（1，-2，0）C.（0，2，3）D.（3，0，5）5.设A为n(n2)阶矩阵，秩（A）n-1，则秩（A*）=（）A.0B.16.矩阵A=的秩为（）A.1B.2C.3D.47.设1=（1，0，0，c1），2=（1，2

7、，0，c2），3=（1，2，3，c3），4=（3，2，1，c4），其中c1，c2，c3，c4是任意实数，则必有（）A.1，2，3线性相关B.1，2，3线性无关C.1，2，3，4线性相关D.1，2，3，4线性无关8.线性方程组的基础解系中所含向量的个数为（）A.1B.2C.3D.49.n阶方阵A可对角化的充分必要条件是（）A.A有n个不同的特征值B.A为实对称矩阵C.A有n个不同的特征向量D.A有n个线性无关的特征向量10.设A是n阶正定矩阵，则二次型xT(-A)x（）A.是不定的B.是负定的C.当n为偶数时是正定的D.当n为奇数时是正定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写

8、解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。的值为_.12.设A为2阶方阵,且|A|=,则|2A*|=_.=(6,-2,0,4),=(-3,1,5,7),则由2+=3所确定的向量=_.1=(1,3,1),2=(0,1,1),3=(1,4,k)线性相关,则k=_. 有解的充分必要条件是t=_.16.设A是3阶矩阵,秩(A=2,则分块矩阵的秩为_.17.设A为3阶方阵,其特征值为3,-1,2,则|A|=_.18.设n阶矩阵A的n个列向量两两正交且均为单位向量,则ATA=_.=2是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵必有一个特征值等于_.20.实二次型f(x1,x2,x3)=的规范形为_.

9、三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21.计算行列式D=的值.22.设矩阵A=,求矩阵B,使A+2B=AB.分别判定向量组1,2,3与向量组1,2,3,4的线性相关性,并说明理由.1=(3,2,7)T,2=(2,-3,-4)T均正交的单位向量. ,(1)问在什么条件下,方程组有解?又在什么条件下方程组无解?(2)当方程组有解时,求出通解.f(x1,x2,x3)=的秩为2,求参数c及二次型经正交变换化成的标准形(不必写出正交变换).四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27.已知A,B,C均为n阶矩阵,且C可逆.若CTAC=B,证明:当|A|0时,必有|B|0.28.设

10、A为n阶矩阵,为n维列向量,若A0,但A2=0,证明:向量组,A线性无关.全国2005年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198一、填空题(每小题2分，共36分)1. 行列式=_.2. 设三阶方阵A的行列式det(A)=3，则A的伴随矩阵A*的行列式det(A*)=_.3. 当a=_时，方程组 有非零解.4. 设A=，且det(A)=ad-bc0，则A-1=_.5. 设A=，B=，C=(2-1)，则(A-B)CT=_.6. 设向量=(1,2,0),=(-1,0,3),=(2,3,4),且满足：2(-)+(+)=3(-)，则=_.7. 若,线性无关，而,线性相关，则向量组,2,3的最

11、大无关组为_.8. n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩rn，则AX=0的基础解系所含向量的个数是_.9. 设方程组，当a取_时，方程组无解.10. 若=3是可逆方阵A的一个特征值，则A-1必有一个特征值为_.11. 设,分别属于方阵A的不同特征值1,2的特征向量，则与必线性_.12. 设=(1,0,1),=(0,1,1),则与,均正交的非零单位向量为_.13. 设A为实对称矩阵，=(-1,1,1)T，=(3,-1,a)分别是属于A的相异特征值1与2的特征向量，则a=_.14. 设三阶方阵A的特征值为1，-1，-1，且B=A2，则B的特征值为_.15. 设向量组=(1,2,3),=(2,

12、1,3),=(-1,1,0),则向量组,的秩是_.16. 设1,2是方程组AX=b的两个解，则_必是AX=0的解.17. 设实对称矩阵A=是二次型f(x1,x2,x3)矩阵，则二次型f(x1,x2,x3)=_.18. 设实二次型f(x1,x2)=+tx1x2+2，则当t的取值为_时，二次型f(x1,x2)是正定的.二、计算题(共54分)1. (5分)解方程：=0.2. (5分)设A=，B=且满足XA=B，求X.3. (6分)已知向量=(-1,2,)可由=(1,-1,2)，=(0,1,-1)，=(2,-3,)唯一地线性表示，讨论的取值范围.4. (5分)设1R3的一组基为=(0,1,1),=(1

13、,1,0),=(1,0,1),试将，化为1R3的一组标准正交基.5. (5分)设三阶方阵A的特征值为1，2，-2，又B=3A2-A3,说明B能否对角化?若能对角化，试求与B相似的对角阵.6. (8分)设矩阵C=A(A-1)2+A*BA-1A.其中，A=,B=.A*为A的伴随矩阵.(1)化简C(2)计算det(C).7. (10分)求方阵A=的特征值及特征向量.8. (10分)设A=,B=,X=,就a,b各种取值，讨论非齐次线性方程组AX=B的解，如有解，就求出解.三、证明题(每小题5分，共10分)1. 设A，B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.2. 设A，B都是n阶矩阵，且A是正定的，B

14、是半正定的，证明：A+B是正定矩阵.2005年10月自考线性代数试题答案全国2006年7月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R（A）表示矩阵A的秩；|A|表示方阵A的行列式；E表示单位矩阵。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设A、B均为n阶方阵，则必有（）A|A|B|=|B|A|B|（A+B）|=|A|+|B|C（A+B）T=A+BD（AB）T=ATBT2设A=，则A-1=（）ABCD3若4阶方

15、阵A的行列式等于零，则必有（）AA中至少有一行向量是其余向量的线性组合BA中每一行向量都是其余行向量的线性组合CA中必有一行为零行DA的列向量组线性无关4设A为mn矩阵，且非齐次线性方程组AX=b有唯一解，则必有（）Am=nBR(A)=mCR(A)=nDR(A)n5若方程组存在基础解系，则等于（）A2B3C4D56设A为n阶方阵，则（）AA的特征值一定都是实数BA必有n个线性无关的特征向量CA可能有n+1个线性无关的特征向量DA最多有n个互不相同的特征值7若可逆方阵A有一个特征值为2，则方阵（A2）-1必有一个特征值为（）A-BCD48下列矩阵中不是正交矩阵的是（）ABCD9若方阵A与方阵B等

16、价，则（）AR（A）=R（B）B|（E-A）|=|（E-B）|C|A|=|B|D存在可逆矩阵P，使P-1AP=B10若矩阵A=正定，则t的取值范围是（）A0t2B02Dt2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11A=（），B=E-ATA，C=E+2ATA（E为3阶单位矩阵），则BC=_。12已知|A|=2，且A-1=，则A*=_。13设A=，A*为A的伴随矩阵，则| A*|=_。14已知A=，则（A+3E）-1（A2-9E）=_。15向量组1=（1，2，3，4），2=（2，3，4，5），3=（3，4，5，6），4=（4，5，6，

17、7），则向量组1，2，3，4的秩是_。16方程组=的基础解系所含向量个数是_。17若A=相似，则x+y=_。18如果方阵A与对角阵D=，则A10=_。19二次型f(x1,x2,x3)=的对称矩阵为_。20二次型f(x1,x2)=2经正交变换化成的标准形是_。三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21计算行列式D=22用克莱姆规则解方程组23设向量组1=（1，-1，2，4）；2=（0，3，1，2）；3=（3，0，7，14）；4=（1，-1，2，0）；5=（2，1，5，6）.问1，2，4是否是其一个最大线性无关组？说明理由。24求齐次线性方程组的一个基础解系。25求矩阵A=的特征值与全

18、部特征向量。26化二次型（用配方法）f=为标准型，并求所用的变换矩阵。四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27若向量1，2，3线性无关，问1+2，2+3，3+1的线性相关性，并证明之。28设A，B为n阶方阵，满足A+B=AB（1）证明A-E为可逆矩阵。（2）若B=，求矩阵A。全国2007年7月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，在A可逆时，A-1表示A的逆矩阵，|表示向量的长度。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其

19、代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设abc0，则三阶行列式的值是（）AaB-bC0Dabc2若三阶方阵A等价于矩阵，则A的秩是（）A0B1C2D33设A为n阶方阵，且A3=E，则以下结论一定正确的是（）AA=EBA不可逆CA可逆，且A-1=ADA可逆，且A-1=A24设A为3阶矩阵，若|A|=k，则|-kA|是（）A-k4B-3kC-kDk35设1，2，3线性相关，则以下结论正确的是（）A1，2一定线性相关B1，3一定线性相关C1，2一定线性无关D存在不全为零的数k1，k2，k3使k11+k22+k33=06设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，则以下结论正确的是（

20、）Au 1+ u 2是Ax=b的解Bu 1- u 2是Ax=b的解Ck u 1是Ax=b的解（这里k1）Du 1- u 2是Ax=0的解7设3阶矩阵A的特征值为1，3，5，则A的行列式|A|等于（）A3B4C9D158设矩阵A=，则A是（）A正交矩阵B正定矩阵C对称矩阵D反对称矩阵9二次型f(x1, x2)=的矩阵是（）ABCD10设1，2是矩阵A的属于特征值的特征向量，则以下结论正确的是（）A1+2是对应的特征向量B21是对应的特征向量C1,2一定线性相关D1，2一定线性无关二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11矩阵A=的秩

21、为_.12排列12453的逆序数为_.13设A，B为3阶方阵，且|A|=9，|B|=3，则|-2AB-1|=_.14矩阵A满足A3=0，则（E-A）-1=_.15已知向量1=3，5，8，8，2=-1，5，2，0，则_.16设A为mn矩阵，且A的n个列向量线性无关，则矩阵AT的秩为_.17设A是秩为2的45矩阵，则齐次线性方程组Ax=0的解集合中线性无关的解向量个数为_.18设P为n阶正交矩阵，x是一个n维列向量，且|x|=3，则|Px|=_.19设A为3阶实对称矩阵，=1，1，3T，=4,5,aT分别是属于A的相异特征值1与2的特征向量,则a=_.20.设二次型f(x1, x2, x3)=的正

22、惯性指数为p,负惯性指数为q，则p-q=_.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21计算行列式22设A=，B为3阶矩阵，且它们满足A-1B=6E+B，求B.23求向量组1=2，1，1，2=4，2，1，3=5，2，1，4=1，0，1的一个最大线性无关组，并将其它向量用此最大线性无关组线性表示.24求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并以此写出其结构式通解. 25设3阶矩阵A的特征值为1，2，3，相应的特征向量为，求A.26已知二次型的秩是2.（1）求参数a.（2）将化为规范形.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27设向量组1，2，3线性无关，证明21+32，2+43

23、，53+1线性无关.28设A为n阶正定矩阵，B是与A合同的n阶矩阵，证明B也是正定矩阵.全国2008年10月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知矩阵A=，B=，则AB-BA=( )A.B.C.D.2.设A为3阶方阵，且，则|A|=( )A.-9B.-3C.-1D.93.设A、B为n阶方阵，满足

24、A2=B2，则必有( )A.A=BB.A=-BC.|A|=|B|D.|A|2=|B|24.设A、B均为n阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列结论中，不正确的是( )A.AB-1=B-1A-1A=A-1BC.A-1B-1=B-1A-1D.A-1B=BA-15.设向量1=（a1, b1, c1），2=(a2, b2, c2)，1=（a1, b1, c1, d1）,2=(a2, b2, c2, d2)，下列命题中正确的是( )A.若1，2线性相关，则必有1，2线性相关B.若1，2线性无关，则必有1，2线性无关C.若1，2线性相关，则必有1，2线性无关D.若1，2线性无关，则必有1，2线性相关6.设mn矩

25、阵A的秩r（A）=n-3(n3)，,是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为( )A.,+B.,，-C.-,-D.,+,+7.已知是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为( )A.（5，-3，-1）B.C.D.8.设A为n（n2）阶矩阵，且A2=E，则必有( )A.A的行列式等于1B.A的逆矩阵等于EC.A的秩等于的特征值均为19.设矩阵A=，则A的特征值为( )A.1，1，0B.-1，1，1C.1，1，1D.1，-1，-110.已知矩阵A与对角矩阵D=相似，则A2=( )A.AB.DC.ED.-E二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请

26、在每小题的空格上填上正确答案。错填、不填均无分。11.设矩阵A=，则ATB=_.12.已知行列式=0，则数a=_.13.已知向量组的秩为2，则数t=_.14.设向量=（2，-1，1），则的长度为_.15.设向量组1=（1，2，3），2=（4，5，6），3=（3，3，3）与向量组1，2，3等价，则向量组1，2，3的秩为_.16.设方程组有非零解，则数k=_.17.已知向量=（1，-2，3，4）与=（3，a，5，-7）正交，则数a=_.18.设3阶实对称矩阵A的特征值为1=2=3，3=0，则r (A)=_.19.已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A*|=_.20.矩阵A=对应的二次型f

27、=_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式D=的值.22.已知A=，矩阵X满足AXB=C，求解X.23.设矩阵A=，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P-1AP=.1,2,3线性无关，令1=-1+3，2=22-23，3=21-52+33.试确定向量组1，2，3的线性相关性.，（1）讨论为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.f (x1, x2, x3)=，确定常数a的最大取值范围使该二次型正定.四、证明题（本大题6分）27.已知矩阵A=，证明存在数k，使A2=kA.全国200

28、9年1月自考线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示矩阵A的逆矩阵，秩（A）表示矩阵A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设A为n阶方阵，若A3=O，则必有（ ）A. A=OB.A2=O C. AT=O D.|A|=0 2.设A，B都是n阶方阵，且|A|=3，|B|=-1,则|ATB-1|=（ ）A.-3 B.- C. D.3 3.设A为54矩阵，若秩(A)=4，则秩(5AT)为（ ）A.2 B.3 C.4D.5 4.设向量=（4,-1,2,-2），则下列向量中是单位向量的是（ ）A.B.C.D.5.二次型f(x1,