初中数学建模思想的策略研究讲座

1、专题讲座初中数学建模思想的策略研究张思明一 什么是数学建模 ？ 1.1 数学建建模（ Matthemmatiicall Moodellingg ）是是建立数数学模型型并用它它解决问问题这一一过程的的简称，有代表表的定义义如下： （ 1 ）、普普通高中中数学课课程标准准 44 中中认为，数学建建模是运运用数学学思想、方法和和知识解解决实际际问题的的过程，已经成成为不同同层次数数学教育育的重要要内容和和基本内内容 . （ 2 ）、叶叶其孝在在数学学建模教教学活动动与大学学数学教教育改革革一书书中认为为 ，数数学建模模 (MMathhemaaticcal Moddeliing) 就是是应用建建立数学

2、学模型来来解决各各种实际际问题的的方法，也就是是通过对对实际问问题的抽抽象、简简化，确确定变量量和参数数，并应应用某些些 “ 规律 ” 建建立起变变量、参参数间的的确定的的数学问问题 ( 也可可称为一一个数学学模型 ) ，求解该该数学问问题，解解释、验验证所得得到的解解，从而而确定能能否用于于解决实实际问题题的多次次循环、不断深深化的过过程。 两种定义义的区别别在于课课程标准准对数学学建模的的定义没没有强调调建立特特定的解解决问题题的数学学模型。数学建建模的过过程中当当然会运运用数学学思想、方法和和知识解解决实际际问题，但仅仅仅如此很很难称得得上是“数学建建模”。处理很很多事情情，比如如法律和

3、和组织上上的问题题，常常常会用到到分类讨讨论的思思想、转转化的思思想、类类比的思思想，而而并没有有建立数数学模型型，这就就不能说说是进行行了数学学建模。这里所所谈（实实际上，同大部部分人认认为的一一样）的的数学建建模，其其过程是是要建立立具体的的数学模模型的。 什么是数数学模型型？根据据 徐利利治 先先生在数学方方法论选选讲一一书中所所谈到， 所谓谓“数学学模型”（ MMathhemaaticc Moodell ）是是一个含含义很广广的概念念，粗略略的讲，数学模模型是指指参照某某种事物物系统的的特征或或数量相相依关系系，采用用形式化化数学语语言，概概括地或或近似地地表达出出来的一一个数学学结构

4、。广义的的说，一一切数学学概念、数学理理论体系系、数学学公式、数学方方程以及及由之构构成的算算法系统统都可以以称为数数学模型型；狭义义的解释释，只有有那些反反应特定定问题或或特定的的具体事事物系统统的数学学关系结结构才叫叫数学模模型。 本论文所所谈到的的数学建建模，其其过程一一定是建建立了一一定的数数学结构构。 另外，我我们所谈谈的数学学建模主主要侧重重于解决决非数学学领域内内的问题题。这类类问题往往往来自自于日常常生活、经济、工程、医学等等其他领领域，呈呈现“原原胚”状状态，需需要分析析、假设设、抽象象等加工工，才能能找出其其隐含的的数学关关系结构构。 一般地，数学建建模的过过程可用用下面的

5、的框图表表示： 1.2 什么是是中学数数学建模模 ？ 这里的“中学数数学建模模”有两两重含义义， 一是按数数学意义义上的理理解、在在中学中中做的数数学建模模。主要要指基于于中学范范围内的的数学知知识所进进行的建建模活动动，同其其它数学学建模一一样，它它仍以现现实世界界的具体体问题为为解决对对象，但但要求运运用的数数学知识识在中学学生认知知水平内内，专业业知识不不能要求求太高，并且要要有一定定的趣味味性和教教学价值值 。 二是按课课程意义义理解，它是本本文要展展开讨论论的，一一种要在在中学中中实施的的特殊的的课程形形态。它它是一种种以“问问题引领领、操作作实践”为特征征的活动动型课程程。学生生要

6、通过过经历建建模特有有的过程程，真实实地解决决一个实实际问题题，由此此积累做做数学、学数学学、用数数学的经经验，提提升对数数学及其其价值的的认识。其设置置目的是是希望通通过教师师对数学学建模有有目标、有层次次的教与与学的设设计和指指导，影影响学生生的学习习过程，改变传传统的学学习方式式，实现现激发学学生自主主思考，促进学学生合作作交流，提高学学生学习习兴趣，发展学学生创新新精神，培养学学生应用用意识和和应用数数学的能能力，最最终使学学生提升升适应现现代社会会要求的的可持续续发展的的素养。 二全全日制义义务教育育数学课课程标准准（修改改稿）有关数数学建模模的内容容教育部新新启动的的义务务教育阶阶

7、段数学学课程标标准的的修订中中，东北北师大史史宁中校校长提议议，将原原来的“双基”增加到到“四基基”，增增加了“基本数数学活动动经验和和基本数数学思想想”。基基本活动动经验是是指学生生亲自或或间接经经历了活活动过程程而获得得的经验验。 另另外，全日制制义务教教育数学学课程标标准（修修改稿）在“数与代代数”的的内容中中提出了了“要初初步形成成模型思思想”，对“综综合与实实践” 部分内内容加以以明确并并提供了了具体课课例。上上述变化化正是课课标对培培养学生生数学应应用能力力的应措措。相比比数学建建模，综综合与实实践部分分是学习习数学建建模的最最初阶段段，因此此内容包包含的更更加基本本、广泛泛，下面

8、面我们将将分别介介绍全日日制义务务教育数数学课程程标准（修改稿稿）提出出的“模模型思想想”，“综合与与实践” 的内内容，以以及内容容在实验验稿基础础上的变变化，最最后在通通过实例例来说明明综合与与实践部部分的学学习内容容。 （ 1 ）模型型思想 20077 年 12 初全日日制义务务教育数数学课程程标准（修改稿稿）提出出 在“数与代代数”的的教学中中，应帮帮助学生生建立数数感和符符号意识识，发展展运算能能力和推推理能力力，初步步形成模模型思想想。 模模型思想想的建立立是帮助助学生体体会和理理解数学学与外部部世界联联系的基基本途径径。建立立和求解解模型的的过程包包括：从从现实生生活或具具体情境境

9、中抽象象出数学学问题，用数学学符号建建立方程程、不等等式、函函数等表表示数学学问题中中的数量量关系和和变化规规律，求求出结果果、并讨讨论结果果的意义义。这些些内容的的学习有有助于学学生初步步形成模模型思想想，提高高学习数数学的兴兴趣和应应用意识识。 （ 2 ） “综合与与实践”部分 与实验验稿相比比有如下下变化： 目的和内内涵进一一步明确确，统一一了名称称 ，给给出了明明确的定定义：“综合与与实践”，是一一类以问问题为载载体，学学生主动动参与的的学习活活动，是是帮助学学生积累累数学活活动经验验、培养养学生应应用意识识与创新新意识的的重要途途径。针针对问题题情境，学生综综合所学学的知识识和生活活

10、经验，独立思思考或与与他人合合作，经经历发现现问题和和提出问问题、分分析问题题和解决决问题的的全过程程，感悟悟数学各各部分内内容之间间、数学学与生活活实际之之间、数数学与其其他学科科之间的的联系，加深对对所学数数学内容容的理解解。 明确要求求 “综综合与实实践”应应当保证证每学期期至少一一次。 三个学学段“综综合与实实践”的的要求和和教学目目标有了了差异。 （3）“综合与与实践”的常用用教学形形式和案案例 按照教学学内容不不同，“综合与与实践”可以分分为三种种内容形形式：体体现数学学知识内内部联系系；体现现数学与与生活联联系；体体现数学学与其它它学科联联系。 若按照活活动开展展的地点点不同，可

11、以分分为课堂堂内、课课堂内外外结合、课堂外外三种形形式。为为了配合合课程标标准的编编制和修修改，我我和北大大附中、北达资资源中学学的老师师们做了了不少课课例研究究，以下下就是我我们试验验过的，对应这这三种形形式的教教学案例例。 三新高高中数学学课程标标准中与与数学建建模相关关的部分分新高中数数学课程程标准在在研制过过程中，对是否否增加数数学建模模的要求求是有争争议的。一些专专家认为为，中学学数学是是打基础础的阶段段，核心心是学好好将来需需要的基基础知识识，应用用不必强强调，强强调了也也没有用用在在大跃进进时期我我们曾强强调过“理论联联系实际际”，文文革中我我们的教教学内容容里加入入了类似似“三

12、机机一泵”，地主主如何算算“变天天帐”一一类的内内容，弱弱化了基基础理论论的学习习，效果果是不好好的。但但一批数数学家深深刻注意意到了数数学的发发展和变变化，姜姜伯驹、李大潜潜、丁石石孙、叶叶其孝等等先生都都分别撰撰文阐明明在中学学培养学学生数学学应用能能力的重重要性。我们多多年开展展中学数数学建模模竞赛和和中学数数学建模模教学的的实践也也证明了了，数学学建模对对培养中中学生应应用能力力的良好好作用。种种努努力，使使数学建建模最终终成为 新高中中数学标标准中规规定的高高中数学学内容的的一部分分。 新高中数数学标准准在基本本理念的的第 55 条即即是发展展学生的的数学应应用意识识 ，认认为高中中

13、数学课课程应提提供基本本内容的的实际背背景，反反映数学学的应用用价值，开展“数学建建模”的的学习活活动，设设立体现现数学某某些重要要应用的的专题课课程。高高中数学学课程应应力求使使学生体体验数学学在解决决实际问问题中的的作用、数学与与日常生生活及其其他学科科的联系系，促进进学生逐逐步形成成和发展展数学应应用意识识，提高高实践能能力。由由此在数数学内容容中特别别加入了了：数学学探究、数学建建模 。这些内内容不单单独设置置，渗透透在每个个模块或或专题中中。标准准要求高高中阶段段至少各各应安排排一次较较为完整整的数学学探究、数学建建模活动动。 (1) 数学探探究 与前面所所说的探探究性学学习、课课题

14、学习习稍有区区别，标标准中所所提出的的数学探探究侧重重于围绕绕一个数数学问题题展开，被看做做是一种种新的学学习方式式。数学学探究即即数学探探究性课课题学习习，是指指学生围围绕某个个数学问问题，自自主探究究、学习习的过程程。这个个过程包包括：观观察分析析数学事事实，提提出有意意义的数数学问题题，猜测测、探求求适当的的数学结结论或规规律，给给出解释释或证明明。数学学探究是是高中数数学课程程中引入入的一种种新的学学习方式式，有助助于学生生初步了了解数学学概念和和结论产产生的过过程，初初步理解解直观和和严谨的的关系，初步尝尝试数学学研究的的过程，体验创创造的激激情，建建立严谨谨的科学学态度和和不怕困困

15、难的科科学精神神；有助助于培养养学生勇勇于质疑疑和善于于反思的的习惯，培养学学生发现现、提出出、解决决数学问问题的能能力；有有助于发发展学生生的创新新意识和和实践能能力。 (2) 数学建建模 这里标准准中谈到到的数学学建模，内容即即是一般般意义上上的数学学建模。数学建建模是运运用数学学思想、方法和和知识解解决实际际问题的的过程，已经成成为不同同层次数数学教育育重要和和基本的的内容。数学建建模可以以通过以以下框图图体现： 数学建模模是数学学学习的的一种新新的方式式，它为为学生提提供了自自主学习习的空间间，有助助于学生生体验数数学在解解决实际际问题中中的价值值和作用用，体验验数学与与日常生生活和其

16、其他学科科的联系系，体验验综合运运用知识识和方法法解决实实际问题题的过程程，增强强应用意意识；有有助于激激发学生生学习数数学的兴兴趣，发发展学生生的创新新意识和和实践能能力。 课程标准准提出的的教学要要求是： 1 在在数学建建模中，问题是是关键。数学建建模的问问题应是是多样的的，应来来自于学学生的日日常生活活、现实实世界、其他学学科等多多方面。同时，解决问问题所涉涉及的知知识、思思想、方方法应与与高中数数学课程程内容有有联系。 2 通通过数学学建模，学生将将了解和和经历上上述框图图所表示示的解决决实际问问题的全全过程，体验数数学与日日常生活活及其他他学科的的联系，感受数数学的实实用价值值，增强

17、强应用意意识，提提高实践践能力。 3 每每一个学学生可以以根据自自己的生生活经验验发现并并提出问问题，对对同样的的问题，可以发发挥自己己的特长长和个性性，从不不同的角角度、层层次探索索解决的的方法，从而获获得综合合运用知知识和方方法解决决实际问问题的经经验，发发展创新新意识。 4 学学生在发发现和解解决问题题的过程程中，应应学会通通过查询询资料等等手段获获取信息息。 5 学学生在数数学建模模中应采采取各种种合作方方式解决决问题，养成与与人交流流的习惯惯，并获获得良好好的情感感体验。 6 高高中阶段段至少应应为学生生安排 1 次次数学建建模活动动。还应应将课内内与课外外有机地地结合起起来，把把数

18、学建建模活动动与综合合实践活活动有机机地结合合起来。 标准未对对数学建建模的课课时和内内容做具具体安排排。学校校和教师师可根据据各自的的实际情情况，统统筹安排排数学建建模活动动的内容容和时间间。例如如，可以以结合统统计、线线性规划划、数列列等内容容安排数数学建模模活动。 与传统应应用题相相比，数数学建模模所解决决的问题题往往呈呈现一种种“混沌沌”状态态，没有有明显的的数据和和关系可可用，所所给的条条件也不不一定有有用，得得出的结结论往往往不唯一一，建立立的数学学模型也也要在实实践中反反复修改改验证，由于具具有这些些特点，数学建建模是学学习“数数学应用用”的最最佳方式式之一，能让学学生更好好地体

19、验验数学是是怎样运运用于实实际的过过程，形形成他们们的数学学经验。 四，初中中数学建建模的若若干简要要案例 4.1 初中数数学建模模学习案案例 11 ： - 与自行行车有关关的问题题（小组组学习实实践） 课 题：了解自自行车中中的数学学问题，应用学学过的数数学知识识，解决决以下问问题。 问题 11 ：用用自己或或同学的的一辆自自行车为为观察对对象，观观察并解解决下列列问题： （ 1 ）我观观察的这这辆自行行车是什什么牌子子的？ （ 2 ）它的的直径是是 _ccm ，轮子转转动一周周，在地地面走过过的距离离是_ccm ，精确到到 1ccm 。 （ 3 ）自行行车中轴轴的大齿齿轮盘的的齿数是是_齿

20、，后轴的的小齿轮轮（飞轮轮）的齿齿数是_，中轴轴的大齿齿轮被踏踏动一周周时，后后轴的小小齿轮在在链条传传动下，不计算算惯性将将转动_周（保保留 22 位小小数）。 问题 22 ：如如果你有有自行车车，并骑骑车上学学，你能能借助于于自行车车，测量量出从你你的家到到学校的的路程吗吗？请你你设计一一个测量量方案，并尽可可能地通通过实际际操作测测量出从从你的家家到学校校的路程程。 问题 33 ：如如果你的的（或你你的朋友友）自行行车是可可以变速速的自行行车（如如山地车车、多飞飞轮的自自行车）、请你你观察一一下在这这辆自行行车上有有几个（中轴上上的）大大轮盘，几个飞飞轮，它它们都各各有多少少齿？记记录这

21、些些数据。如果你你骑车时时每一秒秒脚蹬一一圈，请请你根据据上面测测量的数数据计算算出这辆辆自行车车运行时时最大的的速度和和最小的的速度各各是每小小时多少少公里？： 选做问题题 4 ：你认认为对问问题 33 中的的自行车车的各个个齿轮的的齿数安安排的合合理吗？你能发发现或提提出什么么样的问问题？如如果有可可能请你你做设计计改进的的话，你你会做什什么？ 求解工作作的表格格省略 4.2 初中数数学数学学建模案案例 22 ： - 线路设设计问题题（自学学、探索索、创新新实践） 课题： 为所在在小区设设计一个个最佳的的邮政投投递路线线 , 、一个个合理的的保安巡巡逻路线线。 实施建议议： 11: 按按居

22、住地地成立 4-66 人的的小组，对你们们要研究究的小区区 , 进行观观察 , 收集集必要的的数据和和信息 ,( 如平面面图 , 楼的的门洞的的朝向 , 道道路情况况 , 小区的的进出口口位置等等 ). 发挥挥各自的的特长，分工合合作完成成测量方方案的设设计、实实测、作作图、计计算、论论证、比比较、计计算机文文稿录入入、结果果介绍等等。 2: 复复习必要要的知识识 , 如一笔笔画方法法 , 最短邮邮路的画画法和算算法等 . 3: 画画出小区区的平面面示意图图 , ( 最最好复印印一下 , 以以避免后后面画坏坏时重画画 ), 在图图上完成成邮政投投递路线线的设计计 , ( 使使邮递员员走的路路线

23、最短短 ). 4 ：实实践环节节：先不不加思索索按投递递要求随随意地走走一遍 , 再再按你设设计的路路线 , 实际际走一遍遍 , 测算出出路程看看一看相相差多少少 ? ( 记记录数据据 ) 创新实践践项目 : 为为你们居居住的小小区设计计一个合合理的保保安巡逻逻路线、或合理理的送奶奶的路线线。首先先思考 ” 合合理 ” 的含含义 4.3 初中数数学数学学建模案案例 33 ： - 穿衣衣镜的最最佳设计计（个人人的创意意与设计计） 课课题：自自己提出出几个有有关穿衣衣镜设计计的问题题，给出出你们认认为最合合理、最最佳、最最有创意意的设计计方案或或解决办办法。 实施建议议： 1. 成成立工作作小组，

24、讨论本本小组的的工作目目标、分分工、。 2 有有可能的的话到家家具店、超市、（别忘忘了带尺尺子或相相机）有有关杂志志或网站站上收集集一点相相关资料料，可以以发现问问题或提提出你们们更好的的设计。 3 分分工合作作完成你你们的设设计，最最好有一一个图、或一个个小的模模型，可可以用纸纸板做。 4 准准备在全全班交流流，可以以用实物物、照片片、模型型、“ pptt ”，等形式式表现你你们的成成果和创创意，如如果给你你 3 分钟讲讲演、展展示，怎怎样让班班里同学学为你们们的成果果叫好？ 4.4 数学建建模的可可供学生生选择上上的假期期作业 1. 利利用放寒寒假与父父母逛商商场的机机会，认认真注意意收集

25、春春节商场场“打折折消费”“诱导导消费”的各种种广告信信息， 测算化化 10000 元可以以最多实实际买到到价值多多少的商商品。计计算实际际打折率率。开动动你的大大脑，为为消费者者设计一一种收益益较多的的购物方方式；或或者为商商场设计计一个更更好的吸吸引消费费者的、也使的的商场收收益较多多的购物物方式。 2. 测测量一个个比较高高的建筑筑物的高高度，说说明测量量方案，测量过过程和测测量数据据。看谁谁想出更更好的方方法？ 3. 自自编 33 道方方程和方方程组的的应用题题，要求求联系实实际，有有真实的的实际背背景，请请写出题题目、题题解。看看谁编的的有趣。 4. 到到超市观观察各种种不同包包装设

26、计计的同种种商品，如同一一个牌号号的大、小牙膏膏，收集集它们的的价格信信息，找找一个表表示它们们的重量量和价格格的公式式。 5. 到到各大商商场，超超市观察察不同的的商品的的外包装装，提出出一个与与“节约约”有关关的问题题，将问问题数学学化，并并用学过过的知识识试着解解决它。进而自自己在提提出一些些新的问问题，或或将自己己得到的的结果推推广以适适用于更更大的范范围。 6. 了了解出租租车的计计价方式式，（如如起步每每公里，每种车车型多少少钱；运运行中每每公里，每种车车型多少少钱；等等候时每每分钟，每种车车型多少少钱？）给出一一个根据据距离、等候时时间计算算付多少少钱的方方法或公公式。 7. 调

27、调查邮局局中不同同重量、寄往本本市、外外地、港港澳、国国外的平平信（包包括航空空）的邮邮资表，如果限限定信封封上只准准贴至多多 3 枚邮票票，请你你设计邮邮票应该该有哪些些面值？ 8. 自自己找到到的用学学过和还还没有学学过的数数学知识识解决的的实际问问题，（可以只只提出问问题，或或仅仅提提供一个个解决问问题的想想法。） （学生实实际的学学习成果果从略） 五 我我们的体体会和认认识 5.1 开展数数学建模模学习不不仅是学学习方式式的改变变，而且且是育人人模式的的变化。 人才培养养模式集集中而具具体的体体现形式式是教育育教学模模式。改改革传统统的以 “ 升升学 应试试 ” 为目标标的学校校教育教

28、教学模式式，创建建以全体体学生全全面发展展为目标标的、体体现素质质教育方方向和要要求的新新型教育育教学模模式，是是当前学学校实施施素质教教育的首首要任务务。而创创建体现现素质教教育思想想和要求求的教育育教学模模式重要要的着眼眼点就是是要改变变学生那那种单纯纯地被动动接受教教师知识识传输的的学习方方式，帮帮助和指指导学生生在开展展有意义义接受学学习的同同时，形形成一种种对知识识技能进进行主动动探求、并重视视实际问问题解决决的主动动积极的的学习方方式。这这就是培培养学生生在教师师指导下下，从自自身的学学习生活活和社会会生活、自然界界以及人人类自身身的发展展中选取取研究专专题（专专题、主主题），以探

29、究究的方式式主动地地获取知知识、应应用知识识、解决决问题的的数学建建模。这这对于培培养学生生的创新新精神和和实践能能力、创创造能力力、终身身学习的的能力具具有十分分重要的的意义。而数学学建模活活动的实实际结果果告诉我我们，它它不仅对对好学生生、而且且对学习习有一定定困难的的学生都都能起到到培养兴兴趣、激激发创造造的目的的。数学学建模的的成果还还可以为为学生建建立一种种更表现现学生素素质的评评价体系系。数学学建模的的过程可可以为不不同水平平的学生生都提供供体验成成功的机机会，真真正把筛筛子变成成泵。 实际上，数学建建模的教教学过程程（或者者更自然然地说是是师生一一起学和和做的过过程）对对教师的的

30、成长和和专业发发展，更更新教育育观念，主动参参与并推推进素质质教育，有着越越来越重重要的作作用。 它表现在在下面的的几个方方面： 首先，它它可以帮帮助教师师转变教教学观，更有利利于发挥挥教师的的主导作作用和学学生的主主体作用用。教师师的主导导作用体体现在创创设好的的问题环环境 , 激发发学生自自主地探探索解决决问题的的积极性性和创造造性上 ; 学学生的主主体作用用体现在在问题的的探索、发现、解决的的深度和和方式尽尽量由学学生自主主控制和和完成。它体现现了教学学过程由由以教为为主到以以学为主主的重心心的转移移。课堂堂的主活活动不应应都是教教师的讲讲授 , 而应应是学生生自主的的自学、讨论、调查、

31、探索、解决问问题。教教师要自自觉适时时地改变变他的教教育角色色，平等等地参与与学生的的探索、学习活活动。教教师不应应只是“讲演者者”、不不应是“总是正正确的指指导者”，而应应不时扮扮演下列列角色： 模特特他他不仅演演示正确确的开始始，也表表现失误误的开端端和“拨拨乱返正正”的思思维技能能；参谋谋提提一些求求解的建建议，提提供可参参考的信信息，但但并不代代替学生生做出决决断；询询问者故作作不知，问原因因、找漏漏洞，督督促学生生弄清楚楚、说明明白，完完成进度度；仲裁裁者和鉴鉴赏者评判判学生工工作及成成果的价价值、意意义、优优劣，鼓鼓励学生生的有创创造性的的想法和和作法；在教学学的组织织中体现现“学法法”，把把教和学学融为一一体。 其次，它它可以可可以帮助助教师转转变学习习观。 过去在封封闭式教教育中，教师是是知识的的输出者者。由于于教育被被定位为为在学校校这个“围墙”内，由由知识的的拥有者者和惟一一源泉教师师向知识识的需求求者学生输输出知识识的活动动，教师师和学生生之间的的关系就就是教师师“单向向输出”和学生生“被动动接受”的关系系。在数数学建模模的实践践活动中中，