线性代数教案22

1、上节主要内容定义：设 ，若存在不全为零的数使得则称向量组 线性相关；否则称它们线性无关.定理 向量组 线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合.推论 向量组线性无关的充要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示.1正是由于有结论1和结论2，在讨论向量组的线性相关性的时候，经常讨论方程的解的情况：有惟一解时线性无关；解不惟一时线性相关.结论1：向量组 线性相关等价于不止一组解；结论2：向量组 线性无关等价于结论3：向量组 线性无关则 线性无关.结论4：向量组 线性相关则线性相关.22.3向量组与矩阵的秩2.4齐次线性方程组3本节主要内容1. 矩阵的秩；2. 向量

2、线性相关性与矩阵的秩的关系；3. 最大线性无关组；4. 齐次线性方程组的解与系数矩阵的秩的关系；5. 齐次线性方程组的基础解系与通解.4矩阵的秩与向量组的线性相关性定义1：设A是一个m行n列的矩阵，在A中取k行k列，由这些行、列交叉处的元素按原来的相对位置构成的k阶行列式，称为A的k阶子式.定义2：矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩(Rank)，记为R(A).规定：零矩阵的秩为0.根据矩阵秩的定义，对于mn矩阵AR(A)rA有一个r阶子式不为零，且所有r+1阶子式都为零;R(A)min(m,n)；对n阶方阵A，若R(A)=n，即|A|0，则称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.小结5定理

3、：mn矩阵A的m个行向量线性相关的充要条件是R(A)n)线性相关；推论2：m个n维向量(mn)线性无关的充要条件是由它们组成的mn矩阵A的秩R(A)=m.推论3：n个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成的矩阵行列式不等于零；线性相关的的充要条件是矩阵行列式等于零.小结6例题1：求矩阵的秩解答：所以矩阵的秩为2.7可以证明：矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩定理 将矩阵经过初等行变换化为行阶梯型矩阵，最后剩下的非零行的行数就是矩阵的秩.小结所以矩阵的秩为2.8定义：设有向量组T，如果(1)在T中有r个向量 线性无关；(2)T中任意r+1个向量都线性相关.则称 是向量组T的一个最大线性无关向量组，简

4、称最大无关组，数r称为向量组T的秩.注意：向量组的最大无关组可能不止一个.向量组的秩定理：矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量线性相关.定理 矩阵的秩等于它的行（列）向量组的秩.9例题2 求下列向量组的一个最大无关组，并把其它向量用最大无关组线性表示解答：因此一个最大无关组为10引理：设向量组 可以由 向量组 线性表示.如果sr，则 线性相关.两个等价的向量组秩相等.定理：设有向量组T，如果(1)在T中有r个向量 线性无关；(2)T中任意一个向量 都可以由向量组 线性表示，则 是向量组T的一个最大无关组.本定理给出了判断最大无关组的方法.小结定义：如果向量

5、组 中的每一个向量都可以由向量组 线性表示，则称向量组 可以由向量组 线性表示.定义：如果向量组 与 可以相互线性表示，则称这两个向量组等价.11齐次线性方程组解的结构问题：1.齐次线性方程组何时有惟一零解？2.如果解的个数多于一个，这些解之间有什么关系？定理：齐次线性方程组当其系数矩阵的秩R(A)n时(矩阵的秩与未知数个数相等)，只有惟一的零解；当R(A)n时(矩阵的秩小于未知数个数时)，有无穷多个解.小结12例题3：对于齐次方程组当a取何值时，上述方程组(1)有惟一的零解；(2)有无穷多个解，并求出这些解.齐次方程组有惟一解系数矩阵的秩未知数的个数3系数行列式不等于013解答：系数矩阵的行

6、列式因此 或（1）齐次方程组有惟一零解因此 且（2）齐次方程组有无穷多解14t取任意数s，t取任意数当 时，方程组成为当 时，方程组成为15齐次线性方程组的一个解构成一个n维列向量，称为解向量.解向量的性质：1. 若 都是齐次线性方程组的解向量，k为常数，则 也都是齐次线性方程组的解向量；齐次线性方程组的全部解构成的集合称为解空间.2. 齐次线性方程组的全部解向量构成的向量组有最大无关组；3. 设 是齐次线性方程组的解向量组的一个最大无关组.则 的任意线性组合都是齐次线性方程组的解向量；同时，齐次线性方程组的任意解向量都可以表示成向量组 的线性组合.定义：设 是齐次线性方程组的r个解向量，如果

7、(1) 线性无关；(2)齐次线性方程组的任意一个解向量都可以由 线性表示，则称 是齐次线性方程组的一个基础解系.基础解系实际上就是解空间的一个最大无关组.16齐次线性方程组的通解对于齐次线性方程组当系数矩阵的秩R(A)=r=n时，方程组有惟一解；当系数矩阵的秩R(A)=rn时，方程组有无穷多组解.定理 若n个未知量的齐次线性方程组系数矩阵的秩为r，则基础解系含有n-r个线性无关的解向量.设 是方程组的一个基础解系，则所有解都可以写成这种形式的所有解称为齐次线性方程组的通解.17例题4 求下列齐次线性方程组的通解(1)确定为齐次线性方程组；(2)初等行变换化为行最简形矩阵，得系数矩阵的秩r；(3)由行最简形矩阵写出方程组的一般解；(4)用一般解构造基础解系，从而得到通解.小结18课后练习P63习题二2.3(1)2.92.12（3）（4）2.13（2）（6）19小结1.矩阵的秩，矩阵秩的求法；2.向量线性相关性与矩阵秩的关系；3.向量组中最大无关组的判定；4.齐次线性方程组的解的个数判定；5.齐次线性方程组有无穷多解时解的结构.20作业P63习题二2.2(3)2.3(2)(3)21K阶子式问题：mn的矩阵A有多少个k阶子式(km,kn)？答：返回22行阶梯形矩阵定义 设A为m行n列矩阵，满足三个条件（1