函数的定义域与值域

1、函数的定义域与值域第1页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一返回目录 1.定义：在函数y=f(x),xA中，自变量x的取值范围A叫做函数的 ；对应的函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 . 2.设函数y=f(x)的定义域为A ， 如果存在实 数M, 对于任意的xA,都有f(x)M(m)且存在x0A,使得f(x0)=M(m). 那么,我们称M(m)是函数y=f(x)的 .最大(小)值 定义域 值域 第2页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一返回目录 考点一 求函数的定义域 求下列函数的定义域:(1) (2)(3) y= +lg(cosx);(4) 已知函数f(

2、x)的定义域是(0,1,求函数g(x)=f(x+a)f(x-a)(其中|a|0.第4页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一 2-|x|0 x2, x2-10 x-1或x1. 函数的定义域为(-,-2)(-2,-11,2)(2,+). 4x+30 x 4x+31 x 5x-40 x函数的定义域为 【解析】 (1)由 得(2)由得返回目录 第5页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一 25-x20 cosx0 -5x5 - +2kx2k+ (kZ).函数的定义域为返回目录 (3)由得第6页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一 0 x+a1 0 x

3、-a1, -ax1-a ax1+a. 函数g(x)的定义域是区间(-a,1-a与(a,1+a的交集. 当- -a. (a,1+a(-a,1-a=(-a,1+a; 当0aa. 函数g(x)的定义域为(-a,1-a(a,1+a=(a,1-a.返回目录 (4)由已知,得 即第7页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一返回目录 （1）当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）. （3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则

4、函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集，则函数不存在. （4）对于(4) 题要注意 : 对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x-a”所要满足的范围是一样的;函数g(x)中的自变量是x,所以求g(x)的定义域应求g(x)中的x的范围.第8页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一返回目录 对应演练若函数f(2x)的定义域是-1,1，求函数f(log2x)的定义域.y=f(2x)的定义域是-1,1, 2x2.y=f(x)的定义域是 .由 log2x2得 x4.y=f(log2x）的定义域是 ,4.第9页，共32页，2022年，5月20日，9点

5、36分，星期一返回目录 考点二 求函数的值域 求下列函数的值域:(1) (2)y=x- ;(3)y=x+ ;(4)y= ;(5)y=x+ . 【分析】上述各题在求解之前,先观察其特点,选择最优解法.第10页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一返回目录 【解析】 (1)解法一: ,1+x21,0 2,-1y= -11,即y(-1,1.解法二:由y= ,得x2= .x20, 0,解得-10时,y=x+ 2 =4,当且仅当x=2时,取等号;当x0时, =-4,当且仅当x=-2时,取等号.综上,所求函数的值域为(-,-44,+).第13页，共32页，2022年，5月20日，9点36分

6、，星期一解法二:先证此函数的单调性.任取x1,x2且x1x2.f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ ) = ,当x1x2-2或2x1x2时,f(x)递增;当-2x0或0 x0,b0;a+b(或ab)为定值;取等号条件a=b.三个条件缺一不可.(5)函数的单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集上)的单调性求出函数的值域,例如:f(x)=ax+ (a0,b0).当利用不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性.(6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,形如: 可联想两点(x1,y1)与(x2,y2)连线的斜率.第20页，共32页，2022年，5月20日

7、，9点36分，星期一(7)函数的有界性法形如y= ,可用y表示出sinx.再根据-10 =9(1-a)2-24(1-a2)0 -1a1 (a-1)(11a+5)0综合得a的取值范围是 . a1. 第26页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一返回目录 (2)命题等价于不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+60的解集为-2,1,显然1-a20, 1-a20且x1=-2,x2=1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两根, a1 x1+x2= x1x2= a1 a2-3a+2=0 a2=4,解得a=2.第27页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一 本题

8、要注意分类讨论,要分1-a2=0和1-a20两种情况.分类一定要做到不重不漏.返回目录 第28页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一返回目录 对应演练已知函数f(x)=ax-2 -1(a0，且a1).（1）求函数f(x)的定义域、值域;（2）若当x(-,1时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.第29页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一（1）由4-ax0，得ax4.当a1时，f(x)的定义域为(-,loga4;当0a1时，f(x)的定义域为loga4,+).令t= ，则t0,2).y=4-t2-2t-1=4-(t+1)2.当t0,2)时，y=4-(t+1)2是减函数.函数的值域是(-5,3.返回目录 第30页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一返回目录 (2)x(-,1，由(1)知a1且loga41,1a4.当a1时，f(x)=axlna+ =axlna( ),又a1,lna0,f(x)0,f(x)是关于x的增函数.当x(-,1时,f(x)f(1)=a-2 -1.f(x)0恒成立，只要a-2 -10.解之得1a3.第31页，共32页，2022年，5月20日，9点36分，星期一返回目录 求函数值