中考最值问题胡不归问题解析及练习

1、【新授内容】胡不归问题：解决PA+nPB(n1)最小问题，其中0n1，则提取n的值.1.知识储备：在RtPABeqoac(,中，)B=，设sinB=n，用含n的式子表示线段PA.B由sinB=PAPB得，PA=sinPB=nPB（即sinPB表示直角三角形中的对边）AP2.解决胡不归问题如图，在ABC中，P是AC上一动点，sin=n，在图中画出当点P在什么位置时PA+nPB的值最小ACPB分析：将nPB转化成系数为1的线段，由sin=n可得nPB=sinPB由知识储备可知，sinPB表示以PB为斜边的直角三角形中的直角的对边在图中要画出以PB为斜边，夹角为的直角三角形【4步法解决胡不归问题】解

2、析：由分析得，令n=sin，则nPB=sinPB过n过后定点B作线段BM与PB夹角为A以PB为斜边作所对直角边，即过点PDBM于点D则nPB=sinPB=PDPA+nPB=PA+PD最小，当P、A、D共线的时候最小，CPPBED即A到BM最小为垂线段AE，AE与BC交点即为所求点P（如图）M1【经典例题】1.如图，在ABC中，BABC4eqoac(,，)A30，D是AC上一动点，eqoac(,（)）AC的长43；1eqoac(,（)）BD+12DC的最小值是B1=sin，即DC=sinDC22ADDE过定点C作C过点D作DECM于点EF1DC=sinDC=DE21BD+DC=BD+DE最小2即

3、为垂线段BF，与AC交于点D解：12=sin=30则BCE=601BC=4BD+DC=BD+DE=BF=232P2.如图，ABCD中，DAB60，AB6，BC2，为边CD上的一动点，则PB+3PD的最小值等于23=sin，即3PD=sinPD22过定点D作过点P作PEDE于点E3PD=sinPD=PE2PB+3PD=PB+PE最小，即最小值为垂线段BF，2E与CD交于点PP解：A=60，AB=6PB+3PD=PB+PE=BE=3322133.已知抛物线yx222，x2，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C.解析：（）令y=0，则1x2x20，解得x1，x422m04mn1，解

4、得，故l:yx22n22n2（1）求点A，B和点C的坐标；（2）已知P是线段BC上的一个动点.eqoac(,若)PQx轴，交抛物线于点Q，当BP+PQ取最大值时，求点P的坐标；eqoac(,求)2AP+PB的最小值.312A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0）令x=0，则y=2.C点坐标为（0，2）（）设lBC:y=mx+n，将B（4，0），C（0，2）分别代入得，1BC113可设P（t，t2），0t4，则Q（t，t2t2），且Q在P上方2221311PQ=t2t2(t2)=t22t222215又BP(4t)2(t2)222(4t)故BP+PQ=52115(4t)+(t22t)=t2(2)

5、t25222当t2555时取得最大值，此时P（2，1）224如图，延长AC至点D，使得CD=CB，连接BD，作DEy轴于点E，过点P作PHBD于点H由AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=(14)2=25，所以AC2=BC2+AB2，ACB=90eqoac(,则)BDC是等腰直角三角形，CBD=452AP+PB=2(AP+PBsin45)=2(AP+PH)，由垂线段最短可知，当A，P，H共线时(AP+PH)取得最小值BCD=DEC=COB=90，DCE+BCO=BCO+CBO=90，DCE=CBO3eqoac(,S)ABD=1AB.yD=BD.AH，代入可得56210AH，CDEBCODE=CO=2，CE=BO=4可得点D的坐标为（2，6）BD(24)2(60)22101112222解得AH=3102，故有2AP+PB=2(AP+PH)2AH=35所以2AP+PB的最小值为35.【课后练习】1.已知抛物线yx2bx+c（b，c为常数，b0）经过点A（1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点（）当b