八院电磁场zyh中文chapter5

1、主 要 内 容法拉第电磁感应定律自感和互感方程组边界条件坡定理时间简谐场第五章 时变电磁场静态电磁场的特点(1) 静电场由静电荷产生，静电场是保守场， E(r ) 0。生，静磁场是连续的， B 0 。该式对时变磁场也成立(3) 静电场和静磁场可以独立存在。(2) 静磁场由恒定电若电荷、电流随时间变化，则其激发的电场、磁场也随时间变化。时变电场和时变磁场互相激发，形成的时变电磁场。时变电场与时变磁场之间的相互作用，在空间中形成电磁波。时变电磁场具有广泛的应用领域。例如通信：利用电磁波进行信息传输：利用电磁波进行目标的探测和测距遥感：利用传感器获取地物辐射或反射的电磁波强度及其时空分布，获取大气、

2、陆地和海洋环境信息涉及：电磁波的辐射、波与物质的相互作用、电磁波的传输与信息的获取、电磁波信号的接收、电磁波信号处理和5.1Motional Electromotive Force (动生电动势)动生电动势：在外磁场中，运动的物体内产生的感应电动势。1. Motional Electric Field ( 动生电场 )E中以速度 u在外磁场B运动的物体，物体中每个电子所受磁场力为：uBF qu B eu B电荷所受的力是电场强度，/ q EFuBE uB上式中的电场是物体在磁场中运动产生的结果，称为动生电场 (感应电场，inducedelectric field ) 。感应电场是非保守场，即

3、E 0 。2.Expresof MotionalElectromotive Force ( 动生电动势的表示式 )(1) 在感应电场的作用下，闭合电路 中电子的形成电流，称为感应电流( induced current ) 。中以速度 u(2) 物体在外磁场B运动 ( 切割磁通 ) ，在物体两端产生的动生电动势为：无论切割磁通的物体形成的路径是否c(u B) dlc 0 ，就闭合、导电，只要存在动生电动势。 是感应电场强度，若切割磁通的uB 的物体是导体，且形成闭合回路，则 uB方向与切割磁通的导体内的感应电流的方向相同。e c(u B) dlcu 是线元 dlc 的速度，线积分沿感应电场u B

4、 的方向进行切割磁通的导体可看作电源 电源的电流由负极流向正极， 在切割磁通的导体中，感应电流的方向是由负极流向正极。由此可判定导体两端动生电动势的极性。若切割磁通的是一般物体，可假设其为导体以判定动生电动势极性。根据电源电动势的定义e = ?正电荷从负极通过电源( 把移到正极时，非静电力所做的功，这里非静电力指正电荷在感应电场中受到的电场力 )，Ece (u B) dlc式变为：e = ?BuB是外磁场；dlc 是切割磁通的物体上的线元；u是线元 dlc 的速度； B 是感应电场强度；线积分在切割磁通的物体上进行（即在电u源进行），积分路径从动生电动势的负极到正极。e ( ) uBdlc5.

5、2Faradays Law of Induction (法拉第感应定律)实验：当条形磁铁回路时，或拔出线圈圈回路中会产生电流。当磁铁与线圈保持相对时，线圈回路中不存在电流。1. 定律的表述BdsSc沿闭合路径的感应电动势 ( induced emf ) 闭合路径所包围面积内穿过的磁通的变化率 B dss无论路径是否闭合、是否导电，上式均成立。与 S 交链的磁通式中负号是楞次引入的，称为楞次定律 ( Lenzs law )。负号表明，穿过环路的磁通变化在闭合导电路径内感应的电流方向是使感应电生的磁通趋向于抵消原来磁通的变化。eddt利用楞次定律可以确定闭合导线中感应电流的方向。BB 增大开环中感

6、应电动势的极性可由想象此环闭合而且导电时的感应电流方向来确定。a) 磁通量恒定b) 磁通量随时间增加c) 磁通量随时间减少2. 多匝线圈中的感应电动势(t)导线由 N 匝线圈密绕而成，导线回路的全磁通 各匝线圈交链的磁通之和。e( t ) 各匝线圈是紧贴的，漏磁通可以忽略， 与每匝线圈交链的磁通 相同。(1) magnetic flux linkage ( 磁链，又称“全磁通” ) 蓝母达 NN 匝密绕线圈交链的全磁通为：密绕线圈的全磁通 单匝线圈交链的磁通 匝数 又称磁通匝链数，简称磁链(2) 与每匝线圈交链的磁通 的变化在每匝线圈中感应一个电动势。总的感应电动势是各匝线圈感应电动势串联之和

7、，则(t) e( t )即e ddte N ddt3. Transformer Equation ( 变压器方程 )t 若交链 N 匝线圈的磁通随时间按正弦规律变化，即d Nm cost则感应电动势为： eab Ndt感应电动势的最大值：Em Nm感应电动势的有效值：变压器方程方程的导出是假定线圈，与线圈交链的磁通随时间按正弦规律变化。这是变压器的基本工作原理。E Em 2 fN 4.44 fN2mm在导体内维持电流必须在此导体内存在电场。基于这种理解，物体内的感应电动势可以用感应电场强度来定义，即edl 以路径 c 为周线的开曲面为 s ，与 s 交链的总磁通为SBscBdsdl 的方向与感

8、应电场 E 的方向相同，从感应电动势的负极指向正极c E5.3 Maxwells Equation (Faradays Law)方程 (法拉第定律) dsBde 则法拉第电磁感应定律可表示为：Sdtcs1.系统中的感应电动势系统指回路相对于磁场没有机械运动。闭合回路 c的，开曲面 s 在空间是固定的。是ds 的方向与路径c 的环绕方向满足右手螺旋法则dEdlBdcdt s dB dsB ds tdtss时间导数仅施用于时变磁场，可将上式中微分和积分的次序交换。dB B(r , t)tdt(7.15)(7.15) 式是也是回路位于时变磁场中，法拉第定律的积分形式。方程 ( 法拉第定律 )四个方程

9、之一，称之为闭合回路中的感应电动势。的积分形式。用于计算 EdlB dscst时变磁场激发涡旋电场媒质中某一固定观察点处，法拉第定律的表示式。称之方程 ( 法拉第定律 ) 的微分形式。为 BEts 是任意闭合路径c 所包围的开曲面 ( E) dsB dssstStokes 定理 EdlB dscst2. 运动系统中的感应电动势 ( 感应电动势的一般方程 )运动系统指回路相对于磁场有机械运动，且外磁场B B(r , t)。计算回路中总的感应电动势可采用如下两种方法：(1) 法拉第感应定律的一般形式 e et em(2)e d E dl B dscdt seetransformere回路在磁场B)

10、 r (t ,：中的感应电动势teB) r (t ,：回路在磁场中运动时产生的动生电动势mmotionaledlem 是由于回路相对于磁场的运动引起u( )mcBe 是由于B ,随)t 时间变化而引起的穿过开曲面s 的磁通量变化率t(re B dstst etmdl 法拉第感应定律的另一种一般形式上式的证明可参考以下书籍的相关内容：(a)电磁场理论基；(b)电磁场与电磁波，。础，等，王家礼等，西安电子科技大学F利用 Stokes 定理，上式变为ds Bs ( E) ds dss u (B)sts(l s) d c FdeB(u B)dsstcds )方程 ( 法拉第定律 ) 最一般化的微分形式

11、。用上式是于确定在磁场 B 中，以速度 u 运动的观察点上的电场强度。若 B B(r )，空间某定点的电场强度为 E ，则 E 0。 静态场B E(uBt积分形式有两种，微种一这有分形式只 Bs ( E) ds dss u (B)st电磁感应现象的应用：电磁炉电磁感应现象的应用：发电机例1例5.13 所示的矩形截面环形螺线管，共有N 匝，环内磁介质的磁导率为 。若线圈中通有电流 I ，求穿过整个螺线管的磁链。Exle 1A toroidal winding with N turns is woundhe form of a ring.The inner and the outer radii

12、of the ring are a and b , and the height of thering is h . If the winding carries a current of I and the permeability of thehe ring is , find the magnetic flux linkage enclosed by the ring.mediumSolution: 线圈是密绕的， 磁场集中在螺线管内。 电流分布的对称性， 磁力线是以环形螺线管的中轴为圆心的同心园族。H H ( )a。在环内 ( a b ) 取半径为 的园作为积分路径，应用环路定律H d

13、l NIcH 2cH dl NINI NI H a2B a2 ds d dzaB ds,通过单匝线圈的磁通量为s dz NIh ln(b / a)NId bh 22a0 N 2Ih2穿过整个螺线管的磁链为： N ln(b / a)匝数 ( Weber-turn )例2在半径为 a 的无限长导体圆柱中通有电流 I ，求穿过柱内的沿轴向长度的磁链。H H ( )aI同轴线coaxial lineExle 2A solid cylinder conductor of radius a is located along the z axisand carries a current Ihe z dir

14、ection. Find the total flux linkages withinper unit length of the conductor. ( 穿过柱内的沿轴向长度的磁链 )Solution:I(1) 取圆柱的轴线为 z 轴，轴线上的任一点为原点。设电流 I 沿z 轴方向，圆柱内任一点的H H ( ) a，导体圆柱的 0。(2) 在垂直于轴线的平面内，选取半径为 ( 0 a ) 的园作为积分路径，应用环路定律IHcdl f d H H ( ) ( : 0 2 )a ,dlaIJvfIaz , ds d daz a2Jvf 2II f sds a2Ia22 2 H 2 Ia2I 2

15、 a2 I H a(0 a)B 0 aa22cH dl I f sJvf ds(3) 穿过宽度为d ，沿轴向长度为1的矩形面积元 的磁通为d B dsBI (d 1) I B dsa ,02 a2a0 I2 a2d d 注意：与 d这部分磁通相交链的电流不是导体中的全部电流I I2I 。I 与 I 的关系是I ，而只是它的一部分a2/ a2 。在 = a 处， 2N 2/ a2 相当于所交链的匝数 N ，即N = 1 ，因为导体表面附近的磁力线交链着全部电流 I 。 2 I,d 0 d N 2 a2a2 穿过宽度为d ，沿轴向长度为 1的矩形面积元 的磁链为I 2 I Id Nd 0 d 0

16、d 32 a22 a4a2长度的磁链为 导体圆柱内0 I2 a4 3d 0 Ia d 80匝数 ( Weber-turn )当回路中的电流变化时，它所激发的磁场通过回路自身的磁通量（或磁链）也变化，使回路自身产生感应电动势。这种因回路中电流变化而在回路自身所引起的感应现象叫做自感现象，所产生的感应电动势叫做自感电动势。绿色箭头：i ( t ) 的方向红色箭头：感应电流的方向5.4Self-Inductance (自感)回路c 中载有电流 i ( t )，i ( t ) 产生的磁场与回路c 相交链的磁链为 ，回路 c 中的感应电动势为回路由 N 匝密绕线圈组成， 是 i ( t ) 产生的磁场与

17、单匝线圈相交链的磁通。绿色箭头：i ( t ) 的方向红色箭头：感应电流的方向式中省略了负号，因为感应电动势的极性已在图中标出。e d N d dtdt由于感应电动势反抗外加电压 ( theappd voltage)，它也称为感应电压( induced voltage)、反电动势 ( back emfor counter emf )。 闭合回路的瞬时电压降的代数和为 0为闭合回路规定一个绕行方向，V ( t ) 0 表示沿绕行方向看去电位下降， V ( t ) 0 表示沿绕行方向看去电位升高。V (t) e(t) 0v(7.21)回路 c 中感应电动势用外加电压表示为e dN d dtdt1.

18、 Self-Inductance ( 自感系数，简称自感 )Bi回路的自感 L ： 回路的磁链对本身电流的变化率。Sc sB dsL 的每：亨 ( henry )，( Weber-turn per匝数ere )自感电动势为：对于相同的电流变化率， L 越大，自感电动势越大，即自感作用越强。e d L didtdtLdN ddidi Ldi Nd在各向同性的线性磁介质中，(t) 与 i ( t ) 成正比。( (t)由i ( t ) 产生 )BI如果磁场 B 由回路 c 中的电流 I 产生的，则有( )SI dlrrcB 04| r r |3cB ds s(t)与 i ( t ) 成正比L d

19、N ddidi当线圈绕在各向同性的线性磁介质 ( 磁导率为常数 ) 上时， Ldi Nd Li N注意：回路的自感 L 只与回路的几何参数和周围媒质有关，与电流、磁通量无关。计算回路的自感 L 时，可以假设回路中流过恒定电流 I ，按如下步骤计算自感 L ：I H B LL Ni2. Voltage Drop across an Inductance( 电感两端的电压降 ) Ldi Nd(7.26)(7.21)线圈中感应电动势用外加电压表示为(7.27)根据 (7.27) 式，可将载有时变电流的线圈 用其电感来表示。具有电感量的线圈称为电感器 ( inductor ) 。元件中电流变化率为 1

20、 安培/秒，元件两端的电压降为 1 伏特时，此元件的电感量为 1 亨。表示电感L两端电压降的回路方程v L didtv e d N ddtdtL di N d dtdt载有时变电流的线圈表示为电感器a) 载有时变电流的线圈b) 线圈表示为电感器I dlrB3. Inner Self-Inductance Li andExternal Self-Inductance LerI ( )dlrr从公式 B 看出，04| r r |3c| r | 0若导线截面积无限小，则在紧挨着导线的地方 ( 即r处 ) ，B ，因而穿过回路的磁链和自感 L 也都趋于无穷大。显然这是不符合实际的。因此，计算自感 L

21、时，应该把导线的截面积视为有限值。同时，把自感分为内自感 和外自感 ，即 L Li Le的磁链称为内磁链i(1) 穿过导线计算 i 时，认为电流均匀地流过横截面 ( 实际情况也是如此 ) ，导线I的任一条磁力线只交链导线中总电流I 的一部分。( 参看 5.3 节的例题 2 ) i /LiIiB(2) 导线外部的磁链称为外磁链e计算 e 时，为了避免 e 变为无穷大，假设电流集中在导线的几何轴线上 ( 右I图中的 l0 )，把导线的内侧边线 l 看作是回路的边界。 e B 在 l 所围面积 s 上的全磁通。ll0上节例1中计算的磁链就是e互感现象是？互感电动势是？B2回路1中的电流变化时所激发的

22、变化磁场会在它邻近的另一回路2中产生感应电动势。同样，回路2中的电流变化时，也会在回路1中产生感应电动势。这种现象称为互感现象 ，所产生的感应电动势称为互感电动势。S1c1i2S2c2dsB22 s2互感系数越大，则两个回路间的互感作用越强。B2 ds12s15.5Mutual Inductance (互感)1. Mutual Inductance Bet( 两个回路间的互感 )n Two LoopsB2S1c1i2S2电感 L ( 磁链 ) 下标的含义：第一个下标表示要计算其电感的回路，第二个下c2标表示通过电生磁通的回路。 N NB2 ds121 12 1s1注意： L11 是回路 1 的

23、自感， L22 是回路 2 的自感。L d12 ,L d2112di21di21注意： L11 是回路 1 的自感， L22 是回路 2 的自感。2. 一个回路所产生的磁通只有部分与另一回路交链，与单匝线圈交链的磁通之间的关系可表示为：k1 为线圈 1 产生的磁通交链至线圈 2的百分数 ( fraction )，k2 为线圈 2 产dsds生的磁通交链至线圈 1 的百分数。2 sB20 k 1,0 k 1212B122s121 k11,12 k22两回路置于同一种磁介质中时：L12 L21 M3.k k1k2称为两个回路间的耦合系数 ( coefficient ofcoupling )，0 k

24、 1 。理想情况下，k =1 ，两回路完全耦合 ( perfectly coupled ) 。若多个回路互相发生磁耦合，可分别求每对回路之间的互感。M kL11L224.anns Formulas for Mutual Inductance (互感的公式 )回路 1 的电流在回路 2 引起的互感：dl回路 2 的电流在回路 1 引起的互感：dl说明：(1) 互感由两个回路的几何形状、尺寸、相对位置和周围磁介质特性 ( 磁导率 ) 决定，与回路中的电流无关。(2) 两回路 L21 M 。置于同一种磁介质中时，L12L N 2N121dl2124c1c2rr：线元 dl1 和 dl2 之间的距离L

25、 N 1 N12 1dl2214c1c2r小结：电感的计算方法方法1 (磁场分布具有对称性时，该方法最简便)(1) 假设回路中流过电流 I ，按如下步骤计算自感 L ：I H B L(2) 计算互感时，首先判断是计算 L12 还是计算 L21 方便。如果计算 L21 方便，则假设回路 1 中流过电流 I1 ，按如下步骤计算两个回路间的互感：I1 H 21 B21 21 21 M方法2 利用公式计算互感公式需计算重积分，因此实际上很少采用公式计算互感。在磁链的基础上求互感往往容易得多。 LI 2方法3 利用磁场能量公式 W/2 计算自感LmI H wm Wm Lq2 1类比：利用电场能量公式 W

26、计算电容 CqU2e2Cq D we We C该方法特别适合于求解内自感 Li例1(exle 7.7 ) 同轴线的内导体半径是 a ，外导体的内半径是 b ，外导体的厚度忽略不计。若同轴线所用材料的磁导率为 ，计算同轴线长度的总自感。zH H ( ) aII同轴线Exle 1 ( exle 7.7he textbook )Determine the total self-inductance per unit length of a coaxial cable. The outer conductor hasnegligible thickness, and the permeability

27、of the coaxial cable is Solution:(1) 设内、外导体分别通有大小相等、方向相反的电流 I 。根据环路定律，可求得各部分的 B 。BiBe0 I (0 a)2 a2a0I(a b)a2coaxial cable(2) 外导体厚度忽略不计， 外导体内的磁通可认为近似为 0 ，外导体中的内自感不需考虑。此外，在外导体以外的空间没有磁场。(3)长度的磁链已在5.3节例内导体中 0I2中求出，8a bi(4) 绝缘层 () 中的磁链是外磁链，, (d 1)Be 0 I Be dsa ,dsae2s0 Id 20 I2bb e lnaa(5) 同轴线长度的总自感 内、外自

28、感之和，即 i e 0 0ln baL L L( 亨/米 )82ieII 0长度内自感 L(6)( 亨/米 )8iLi 与内导体的半径无关，因此上式适用于所有园截面直导线。对于弯曲的导体回路，只要导体的横截面半径 回路的曲率半径，上式也成立。这时导体回路的总的内08l ，l 是回路几何轴线的自感为长度。l例2线空间中导线半径为 a 、中心相距为 d 的两条平行传输求长度的自感。假设在相反的方向通过相等的电流 I 。Exle 2Compute the self-inductance per unit length of a two-wire transmisline in free space

29、if the radius of each conductoris a and their centers are length d apart. Ame the conductorscarry equal currents I in opite directions.Solution:总自感L Li Le(1) Li 是内自感，根据例 1的结论，L 2 0 0i84(2) 计算外自感 Le 时，假设电流集中在导线的几何轴线上。平面 z = 0 上，两导线之间场点 P 处的磁通密度为：P I I B 0 0 a 2 x2 (d x) z在平面 z = 0 上，两导线之间的面元为 ds dxdy

30、az长度的外磁链为：两导线之间区域， 0I0I dxd a1dysa Bds 2 x2 (d x) e00I2 (d x) 0I ln d a 0I ln a 0 I2 xa dx dx22a daaa 0I ln d aa e 0 ln d aLeIa(3)长度的总自感 0 0 ln d aL L L( 亨/米 )4iea练习题 7.8 的区别注意本例题与举例说明虽然处于同一磁介质中的两个导线回路间只有一L12 = L21个互感，即，但两者的计算难度可能大不一样。Exle 3在 Figure 5.22 所示的矩形截面环形螺线管( 共有 N1匝线圈 ) 上，套上一个有 N2 匝线圈的回路 (

31、回路 2 ，仍然密绕，但不布满全环 ) 。求两个导线回路的互感。Solution:(1) 矩形截面环形螺线管上通有电流 I时，所产生的通过回路 2 的单匝线圈的磁通已在 5.3 节例 1 中算出，即 N1Ih ln(b / a)212 N1Ih ln(b / a)221 N N1 N2 Ih ln(b / a) 通过整个回路2的互感磁链为212212 21 N1 N2 h ln(b / a)M L 互感为( 亨 )221I(2) 计算 L12 却很。在匝数为 N2 的回路 2 中通电流 I 时，因为回路 2不布满全环，无法应用环路定律计算其产生的磁场。计算互感时，首先需判断是计算L12 还是计

32、算L21方便。1.静磁场中的定律直接用于时变场时定律的积分形式为H：dlcdsfJvfI静磁场中，s微分形式为：(1)根据电荷守恒定律得到连续性方程，其微分形式为(2)v(f r , t )J v(fr,t) t 0 ( H)vJf0HvJf5.6 Maxwells Equation fromeres Law (由定律导出方程)(1)(2)vf/ t 0 时，(1)式和(2)式相。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，(1)式是根据恒定电流的实验定律导出的时，需修改(1)式使之服从电荷守特殊规律，当两者发生恒定律的要求。J v(fr,t)v(f r , t t) 0 ( H)vJf0与时变电压源相连的电容器。电路中有时变电流 i ( t ) 。环路 c 垂直于导线，在以 c 为边界的两个开曲面 s1 ( 在电容器之外) 和 s2 ( 从电容器两极板之间穿过 ) 上应用静磁场中的安培环路定律，得到两个不同的结果：)ti(t)s2c s1导致 Maxwell 断言，电上述不流电此。容器中必须有电流存在能由传导产生，Maxwell 称之为位移电流 displacement current ) ( 。电容器内存在时变电场J ds(isvfH dl 1c Jvfds 0s22. Displacement Current Density Jd