三角函数高考复习与应试策略

1、 PAGE 28三角函数数高考复复习与应应试策略略【命题趋趋势】本部分内内容历来来为高考考命题的的热点，主要考考查三角角函数的的基本概概念、图图像性质质及“和、差差、倍”公式的的运用。试题大大都来源源于课本本中的例例题、习习题的变变形，因因此复习习时应立立足于课课本、着着眼于提提高。如如全国（2）卷卷中的第第17题题：已知知锐角三三角形中中，（11）求证证：；（2）设设，求边上上的高，就与下下列课本本习题相相接近，课本第第一册（下）第第四章三三角函数数的小节节与复习习例2：已知，求的值值。分析近五五年的全全国高考考试题，有关三三角函数数的内容容平均每每年有223分，约占116%，近两年年福建省

2、省高考题题在本章章中的命命题：福福建省220055年高考考题(理理科与文文科)中中第2、11、17题题，分值值为222分；福福建省220066年高考考题(理理科)中中第6、17题题，福建建省20006年高考考题(文文科)中中第4、17题题，分值值为177分。试试题内容容主要有有两方面面：其一一是考查查三角函函数的性性质和图图象变换换；其二二是考查查三角函函数的恒恒等变形形，题型型多为选选择题、填空题题和解答答题的中中档题。今年高考考数学的的“考试试大纲”稍有调调整，在在三角函函数一章章的要求求中，新新增一条条“同角角三角函函数基本本关系式式”。将将过去要要求的“了解正正弦函数数、余弦弦函数、正

3、切函函数的图图像和性性质”改改为了“理解正正弦函数数、余弦弦函数、正切函函数的图图像和性性质”。在复习习中应相相应作出出调整：应关注注三角函函数式的的化简及及齐次式式这样的的类型题题，要比较较熟练地地画出三三角函数数图像，理解诸诸性质如如对称中中心、对对称轴、周期、单调、最值(极值)的相依依关系；在大题题中，要要注意“化简三三角函数数式，再再研究性性质和图图像”类类题目。【考点分分析】近几年高高考降低低了对三三角变换换的考查查要求，而加强强了对三三角函数数的图象象与性质质的考查查，因为为函数的的性质是是研究函函数的一一个重要要内容，是学习习高等数数学和应应用技术术学科的的基础，又是解解决生产产

4、实际问问题的工工具，因因此三角角函数的的性质是是本章复复习的重重点.在复习时时要充分分渗透数数形结合合的思想想，把图图象与性性质结合合起来，即利用用图象的的直观性性得出函函数的性性质，或或由单位位圆上线线段表示示的三角角函数值值来获得得函数的的性质，同时也也要能利利用函数数的性质质来描绘绘函数的的图象。1、三角角函数线线三角函数数线是三三角函数数的一种种几何表表示，是是用规定定了方向向的线段段来表示示三角函函数的值值.每种种三角函函数的定定义及其其相应的的函数线线之间的的对应都都是：“数”与“形”的对应应，前者者是代数数形式，后者是是几何形形式，代代数形式式便于计计算，几几何形式式形象直直观.

5、从三角函函数的几几何表示示可以看看出，三三角函数数及其性性质与圆圆有着直直接的联联系。事事实上，任意角角、任意意角的三三角函数数，三角角函数的的性质（周期性性、单调调性、最最大值、最小值值等），同角三三角函数数的关系系式，诱诱导公式式，三角角函数的的图象等等，都可可以借助助单位圆圆得到认认识，这这也是人人们把三三角函数数称作“圆函数数”的原原因。因因此，在在三角函函数的研研究中，借助单单位圆进进行几何何直观是是非常重重要的手手段，而而且这也也是使学学生领会会数形结结合思想想，学会会数形结结合地思思考和解解决问题题的好机机会。例题1 已知知sinn=，求ttan的值。例题2 求满满足的xx的取值

6、值范围。例题3 已知知，比较较sinnx、ttanxx、x的的大小。本章讨论论的内容容都可以以用单位位圆作为为直观工工具。因因此，为为了更好好地体现现数形结结合思想想，教学学中要充充分发挥挥单位圆圆的作用用，并且且要注意意逐渐使使学生形形成用单单位圆讨讨论三角角函数问问题的意意识和习习惯，引引导学生生自主地地用单位位圆探索索三角函函数的有有关性质质，提高高分析和和解决问问题的能能力。2、三角角恒等变变形同角三角角函数的的基本关关系，正正弦、余余弦的诱诱导公式式，两角角和与差差的正弦弦、余弦弦、正切切，二倍倍角的正正弦、余余弦、正正切3、三角角函数的的图象与与性质利用三角角函数线线作三角角函数图

7、图象，将将三角函函数的定定义、单单位圆中中的三角角函数线线、三角角函数图图象等诸诸方面紧紧密联系系在一起起，并通通过角的的变化，将这种种联系直直观地、动态地地表现出出来。从正弦、余弦曲曲线的形形状，可可以很清清晰地看看出正弦弦、余弦弦函数的的定义域域、值域域、奇偶偶性、单单调性、周期性性、最大大(小)值等由正弦弦、余弦弦曲线的的这些特特性，复复习时应应当要求求每一位位学生能能够熟练练用“五点法法”画出yy=Assin(x+)(A00，0)在某区区间的图图像，从从而研究究函数yy=Assin(x+)(A00，0)性质，对函数yy=Assin(x+)(A00，0)性质，可以用用以下方方法研究究：(

8、1)、令x+=tt，转化化为y=Asiint进进行研究究；(2)、利用图图象的变变换进行行研究(见3)。对于非标标准形式式的三角角函数(如：yy=siinx+cossx等)，通过过三角恒恒等变形形（同角角三角函函数的基基本关系系，正弦弦、余弦弦的诱导导公式，两角和和与差的的正弦、余弦、正切，二倍角角的正弦弦、余弦弦、正切切）转化化为y=Asiin(x+)(A00，0)进行研研究。4、三角角函数的的图象变变换对函数图图象的研研究，由由于涉及及的参数数有3个个，复习习时宜采采取先讨讨论某个个参数对对图象的的影响（其余参参数相对对固定），再整整合成完完整的问问题解决决的方法法，具体体线索如如下：（1

9、1）探索索对ysinn(x+)的图图象的影影响；（22）探索索对yysiin(x+)(0)的图象象的影响响；（33）探索索A对yyAssin(x+)(A0，0)的图象象的影响响；（44）上述述三个过过程的合合成。在对对上述四四个问题题的具体体讨论中中，先让让学生对对参数赋赋值，形形成对图图象变化化的具体体认识，然后再再推广到到一般情情形。在在图像变变换过程程中注意意结合变变量代换换的方法法进行讲讲解。 5、解三三角形解答有关关三角形形中的问问题，要要抓住三三角形中中的边角角关系（特别是是正、余余弦定理理）将问问题转化化为三角角函数的的恒等变变换求解解。【复习策策略】三角函数数题相对对比较传传统

10、，难难度较低低，位置置靠前，重点突突出。因因此，在在复习过过程中既既要注重重三角知知识的基基础性，突出三三角函数数的图象象、周期期性、单单调性、奇偶性性、对称称性等性性质。以以及化简简、求值值和最值值等重点点内容的的复习，又要注注重三角角知识的的工具性性，突出出三角与与代数、几何、向量的的综合联联系，以以及三角角知识的的应用意意识。1、强化化三角恒恒等变换换公式的的记忆。2、以三三角函数数线为工工具，结结合三角角函数图图象研究三角角函数的的图象与与性质。注重抓抓基本知知识点的的落实、基本方方法的再再认识和和基本技技能的掌掌握，3、认真真研究近近几年的的高考题题，以基基本综合合检测题题为载体体进

11、行强强化训练练，综合合试题在在形式上上要贴近近高考试试题，但但不能上上难度。这一部分分知识最最可能出出现的是是“结合实实际，利利用少许许的三角角变换（尤其是是余弦的的倍角公公式和特特殊情形形下公式式的应用用）来考考查三角角函数性性质”的命题题，难度度以灵活活掌握倍倍角的余余弦公式式的变式式运用为为宜。建建议三角角函数的的复习应应控制在在课本知知识的范范围和难难度上，这样就就能够适适应未来来高考命命题趋势势。总之之，三角角函数的的复习应应立足基基础、加加强训练练、综合合应用、提高能能力。解答三角角高考题题的一般般策略：（1）发发现差异异：观察察角、函函数运算算间的差差异，即即进行所所谓的“差异分

12、分析”。（2）寻寻找联系系：运用用相关三三角公式式，找出出差异之之间的内内在联系系。（3）合合理转化化：选择择恰当的的三角公公式，促促使差异异的转化化。三角函数数恒等变变换的基本本策略：（1）常常值代换换：特别别是用“1”的代换换，如11=coos2+sinn2=taanxcottx=ttan445等。（2）项项的分拆拆与角的的配凑。如分拆项项：siin2x+22coss2x=(sinn2x+ccos22x)+coss2x=11+coos2x；配凑凑角：=（+），=等。（3）降降次，即即二倍角角公式降降次。（4）化化弦（切切）法。将三角角函数利利用同角角三角函函数基本本关系化化成弦（切）。（5

13、）引引入辅助助角。aasinn+bccos=sinn(+)，这里里辅助角角（特殊殊角）所所在象限限由a、b的符号号确定，角的值值由taan=确定。【重要题题型】三角函数数线的应应用例1（220055全国1）已知知是第三三象限的的角，则则是（ ）. A.第第一或二二象限的的角 BB.第二二或三象象限的角角 C.第第一或三三象限的的角 DD.第二二或四象象限的角角例2（002全国国高考文文5）在内，使成立立的的取取值范围围是（A）（BB）（C）（D）例3（220000全国高高考题）已知ssinsiin，那么么下列命命题成立立的是( ) A.若若、是第一一象限角角，则ccoscoos B.若、是第二

14、二象限角角，则ttantaanC.若、是第三三象限角角，则ccoscoosD.若、是第四四象限角角，则ttantaan分析：利利用单位位圆中三三角函数数线比较较三角函函数值的的大小，是一类类常见的的题型。求三角函函数值例1（004湖北北13）tann20110的值为为 例2（005北京京15） 已知=22，求 （I）的的值； （ = 2 * ROMAN II）的值例3（005福建建卷177）已知. （I）求siinxcossx的值； （）求的值值.例4（004全国国高考题题17）已知锐锐角三角角形ABBC中，（）求求证； （）设ABB=3，求ABB边上的的高.已知三角角函数值值求角例1（004

15、全国国卷5）已知知函数的的图象过过点，则则可以是是（ ）ABCD例2（119955全国）求siin2220+coos2550+siin200coss50的值。三角恒等等变换例1（003全国国高考11）已知，00），则 （ ） （AA） （B） （CC） （D）例2（003全国国高考44）函数的最最大值为为 （ ） （A） （BB） （C） （D）22例3（004福建建2）tann15+coot155的值值是（ ）A22 B22+ C44 D例4（004湖南南，理117）的值.例5（004湖南南，文117）例6（005福建建卷177）已知. （I）求siinxcossx的值； （）求的值值.例7

16、三角函数数图象及及性质图44例1 （20002全全国文，17）如图444，某某地一天天从6时时至144时的温温度变化化曲线近近似满足足函数yy=Asinn（x）b.（）求求这段时时间的最最大温差差；（）写写出这段段曲线的的函数解解析式.例2（220033全国高高考题文文20）已知函函数（）求求函数的的最小正正周期和和最大值值；（）在在给出的的直角坐坐标系中中，画出出函数在在区间上上的图象象例3（220000全国高高考题 17）已知函函数（I）当当函数yy取得最最大值时时，求自自变量xx的集合合；（II）该函数数的图象象可由yy=siinx（xRR）的图图象经过过怎样的的平移和和伸缩变变换得到到

17、？例4（004重庆庆17）求函数的的最小正正周期和和最小值值；并写写出该函函数在上上的单调调递增区区间。三角函数数的应用用（1）三三角函数数的最值值问题形如yy=assinxx+bccosxx+c型型，转化化为型例 （119966全国高高考题）当时，函数ff(x)=siinx+cossx的( DD )A.最大大值是11，最小小值是-1 BB.最大大值是11，最小小值是-C.最大大值是22，最小小值是-2 DD.最大大值是22，最小小值是-1形如yy=assin22x+bbsinnxcossx+ccos22x型，通过降降幂转化化成Assin22x+BBcoss2x型型例 求求y=ssin22x+

18、22sinnxcossx+33coss2x的最最小值及及取得最最小值时时的x的的集合，并求其其最大值值。形如yy=assin22x+bbsinnx+cc或y=acoos2x+bbcossx+cc型，令令sinnx=tt或coosx=t转化化成y=at22+btt+c的的二次函函数型。例 （19997全国国高考题题）函数数y=ccos22x-33cossx+22的最小小值为( BB )A.2 B.0 C. DD.6形如yy=a(sinnx+ccosxx)+bbsinnxcossx+cc型，令令sinnx+ccosxx=t()，则则sinnxcossx=,转化为为的二次次函数型型。例 求求函数yy

19、=1+sinnx+ccosxx+siinxcossx的值值域。形如 型，可可用分离离常数法法或|ccosxx|1来解解决。例 （19999广东东高考题题）函数数的最大大值是( CC ) A. B. C.33 DD.5形如 型，常常使用几几何法，转化为为斜率问问题研究究。（2）解解三角形形例1（004全国国12）ABCC中，aa、b、c分别为为A、B、C的对对边.如果a、b、c成等差差数列，B=300，ABCC的面积积为，那那么b=（ ）ABCD例2（003全国国20）在某海海滨城市市附近海海面有一一台风，据监测测，当前前台风中中心位于于城市OO（如图图）的东东偏南）方向3300kkm的海海面P

20、处处，并以以20kkm/hh的速度度向西偏偏北方向向移动，台风侵侵袭的范范围为圆圆形区域域，当前前半径为为60kkm，并并以100km/h的速速度不断断增大，问几小小时后该该城市开开始受到到台风的的侵袭？O北东Oy线岸OxOr(t)P海（3）三三角函数数与向量量例（055江西118）已已知向量量.，求函数数f(x)的最大大值，最最小正周周期，并并写出ff(x)在0，上的单单调区间间.（4）三三角与解解几例（044湖南22）设直直线 aax+bby+cc=0的的倾斜角角为，且且sinn+coos=00，则aa,b满满足（ ）ABCD（5）三三角与方方程、不不等式例1（004辽宁宁18）设设全集U

21、U=R（1）解解关于xx的不等等式（2）记记A为（1）中中不等式式的解集集，集合合， 若恰恰有3个个元素，求a的取值值范围.例2 求函数数的定义义域。分析：（1）求求三角函函数的定定义域，既要注注意一般般函数的的定义域域的规律律，又要要注意三三角函数数本身特特有属性性，如题题中出现现tannx，则则一定有有。（2）求求三角函函数的定定义域通通常使用用三角函函数线，三角函函数图象象和数轴轴。20044年高考考试卷数数学三角角试题汇汇集全国I卷卷6设若若则=（ ）ABCD449为了了得到函函数的图图象，可可以将函函数的图图象（ ）A向向右平移移个单位位长度B向向右平移移个单位位长度C向向左平移移个

22、单位位长度D向向左平移移个单位位长度18（本小题题满分112分）求函数的的最小正正周期、最大值值和最小小值.全国卷卷5已知知函数的的图象过过点，则则可以是是（ ）ABCD11函函数的最最小正周周期为（ ）ABCD2217（本小题题满分112分）已知锐锐角三角角形ABBC中，（）求求证； （）设AAB=33，求AAB边上上的高.全国卷卷（2）函函数的最最小正周周期是（ ）A B C D(11) 在ABCC中，则则边上的的高为（ ）A. B. C. D.(15) 函数数的最大大值为 .(18) （本小小题满分分12分分）已知知为锐角角，且的的值.全国卷卷10函函数的最最小值等等于（ ）A3B2C1

23、D12ABCC中，aa、b、c分别为为A、B、C的对对边.如果a、b、c成等差差数列，B=30，ABCC的面积积为，那那么b=（ ）ABCD14已已知函数数的最小小正周期期为3，则A= .17（本小题题满分112分）已知为第二二象限角角，且 sinn=求的值.福建卷2的值值是（ ）A22 B2+ C4 D11定定义在RR上的偶偶函数ff(x)满足f(x)=f(xx+2)，当x3，44时，f(x)= x22，则（ ）Aff(siin)f(coos) Cf(siin1)f(coos)广东卷当时，函函数的最最小值是是(A)(B)(C)(D)若，则(A)(B)(C)(D)函数是(A)周周期为的的偶函数

24、数(B)周期为为的奇函函数(C)周周期为的的偶函数数(D)周期为为的奇函函数湖北卷12设设是某港港口水的的深度yy（米）关于时时间t（时）的函数数，其中中.下表是是该港口口某一天天从0时时至244时记录录的时间间t与水深深y的关系系：t03691215182124y1215.1112.119.111.9914.9911.998.912.11经长期期观观察察，函数数的图象象可以近近似地看看成函数数的图象象.在下面面的函数数中，最最能近似似表示表表中数据据间对应应关系的的函数是是（ ）ABCD13TTan220100的值为为 .17（本小题题满分112分）已知的值值.湖南卷17（本小题题满分112

25、分）江苏卷2.函数数y=22coss2x+11(xR)的最最小正周周期为 ( )(A) (B) (C) (D)17.已已知0ssin+siin （B）siin(+)ccos+coos （C）coos(+)siinsinn （D）coos(+)cooscoss2.（北北京卷）函数f(x)= A（A）在在上递增增，在上上递减 （B）在上递递增，在在上递减 （C）在上递递增，在在上递减 （DD）在上递递增，在在上递减3.（全全国卷）当时，函函数的最最小值为为 D（A）22（B）（C）4（D）4.（全全国卷）在中，已已知，给给出以下下四个论论断： BB 其中中正确的的是（A）（B）（C）（D）5.（全

26、全国卷）函数f (x) = | siin xx +ccos x |的最最小正周周期是 C (A) (B) （C） （DD）26.（全全国卷）已知函数数y =tann 在（-，）内是是减函数数，则 BB（A）00 1 （B）-1 0 （C） 1 （D） -117.（全全国卷）锐角三三角形的的内角AA 、B 满足ttan A - = taan BB,则有有 （A）ssin 2A coss B = 00 (BB)siin 22A + coos BB = 0 (C)sinn 2AA sinn B = 00 (D) sinn 2AA+ ssin B = 0 8.（全全国卷）已知为第第三象限限角，则则所在

27、的的象限是是 DD （A）第一或或第二象象限（BB）第二二或第三三象限（C）第第一或第第三象限限（D）第二或或第四象象限9.（全全国卷）设,且,则则 CC(A) (B) (C) (DD) 10.（全国卷卷） BB(A) (B) (C) 1 (D)11.(浙江卷卷)已知k4，则函函数ycoss2xk(coosx1)的最最小值是是( A )(A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k112(浙江卷卷)函数ysinn(2x)的最小小正周期期是( B )(A) (B) (C) 2 (D)413（江西卷卷）已知知（ B ）ABBCD14.（江西卷卷）设函函数为（ A ）A周周期函数数，最小小正周

28、期期为B周期期函数，最小正正周期为为C周期期函数，数小正正周期为为D非周周期函数数15.（江西卷卷）在OABB中，O为坐标标原点，则当当OABB的面积积达最大大值时，（ D ）ABBCD16、（江苏卷卷）若，则=（ A ）A B C D17（湖北卷卷）若（ C ）ABCD18（湖南卷卷）taan6000的值是是（DD ）ABCD19（重庆卷卷）（ D ）A B C DD20（福建卷卷）函数数的部分分图象如如图，则则（ C ）ABCD21（福建卷卷）函数数在下列列哪个区区间上是是减函数数（ C ）A BB C D22.（山东卷卷）已知知函数，则下列列判断正正确的是是（ B ） （AA）此函函数的

29、最最小正周周期为，其图象象的一个个对称中中心是 （BB）此函函数的最最小正周周期为，其图象象的一个个对称中中心是 （CC）此函函数的最最小正周周期为，其图象象的一个个对称中中心是 （DD）此函函数的最最小正周周期为，其图象象的一个个对称中中心是23（山山东卷）函数，若若，则的所所有可能能值为（ B ） （AA）1 （B） （C） （DD） 24.（天津津卷）要要得到函函数的图图象，只只需将函函数的图图象上所所有的点点的（CC）(A)横横坐标缩缩短到原原来的倍倍（纵坐坐标不变变）,再向左左平行移移动个单单位长度度(B)横横坐标缩缩短到原原来的倍倍（纵坐坐标不变变），再再向右平平行移动动个单位位长

30、度(C)横横坐标伸伸长到原原来的22倍（纵纵坐标不不变），再向左左平行移移动个单单位长度度(D)横横坐标伸伸长到原原来的22倍（纵纵坐标不不变），再向右右平行移移动个单单位长度度25（天天津卷）函数的部部分图象象如图所所示，则则函数表表达式为为（ A ）（A） （B）（C） （D）填空题：1.（北北京卷）已知taan =2，则taan的的值为，tann的值为为 2.（全全国卷）设a为第四四象限的的角，若若 ，则则tann 2a =_.3.（上上海卷）函数的图图象与直直线有且且仅有两两个不同同的交点点，则的的取值范范围是_。4.（上上海卷）函数的最最小正周周期T=_。5.（上上海卷）若，则=_。

31、6.（湖湖北卷）函数的最最小正周周期与最最大值的的和为 .7.（湖湖南卷）设函数数f (x)的图象象与直线线x =a，x =bb及x轴所围围成图形形的面积积称为函函数f(x)在a，b上的的面积，已知函函数ysinnnx在0，上的面面积为（nN* ），（i）ysinn3x在0,上的面面积为；（iii）ysinn（3x）1在，上的面面积为 . 8.（重重庆卷）已知、均为锐锐角，且且= 11 .解答题：15（广东卷卷）化简并求求函数的的值域和和最小正正周期.15解解： 所以函数数f(x)的值值域为，最小正正周期（15）（北京京卷） 已知=22，求 （I）的的值； （ = 2 * ROMAN II）的值解：（II） ttan=2, ;所以=；（ = 2 * ROMAN II）由( = 1 * ROMAN I), tann=, 所以以=.（15）（北京京卷） 已知=22，求 （I）的的值； （ = 2 * ROMAN II）的值解：（II） ttan=2, ;所以=；（ = 2 * ROMAN II）由( = 1 * ROMAN I), tann=, 所以以=.（17）（全国国卷）设函数图图像的一一条对称称轴是直直线。（）求求；（）求函函数的单