周世勋量子力学习题解答习题

1、 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 证：由对易关系？x ?v?v ?x2i ?zx y y xz反对易关系?x ?v?v ?xx y y x x?y i ?z上式两边乘?z,得? ? i ?2x y zzx?y ?z i7.2 求在自旋态1(Sz)中，*和2y的测不准关系:(Sx)2( Sy)2解：在Sz表象中1(Sz)、2?x、的矩阵表示分别为x ySy1(Sz)2在1(Sz)态中2Sx1Sx21 2(1Sx(10)2_2_ 2(Sx) Sx2SxSy(10)2S2(10)2(Sy)2S2-2Sy_ 、2 ,_ 、2

2、Sx) ( Sy)-讨论：由S?x、的对易关系入 ySx，S?yI Sz2要求(Sx)2( Sy)222-Sz4_2_2(Sx) ( Sy)-在1(Sz)态中，Sz2(Sx)2( Sy)216可见式符合上式的要求。73求&及&的本征值和所属的本征函数。(2)2解：Sx的久期方程为x的本征值为设对应于本征值一的本征函数为21/2a1b1由本征方程Sx1/21/2，得a1ba1b1由归一化条件1/ 2 1/2,*、现)aiaiaibi-2即 2ai 1对应于本征值的本征函数为21/2设对应于本征值的本征函数为21 /2由本征方程Sx1/21/2b2a2a2b2a2b2a2b2b2a2由归一化条件,

3、*,*a2)a2a2a2b2对应于本征值一的本征函数为21 11/221同理可求得Sy的本征值为-O其相应的本征函数分别为21 1112.2 i22 i7.4求自旋角动量(COS , COS , COS )方向的投影Sn SX cosSy cosSz cos本征值和所属的本征函数。Sz的平均值是多少?在这些本征态中，测量 Sz有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现?解:在Sz表象，Sn的矩阵元为0 1 cos1 0i cos 0coscosi coscoscos icoscos其相应的久期方程为-cos 2-(cos 2i cos2(cosi cos cos 222cos42,2(cos4

4、cos（利用2 cos2 cos2 cos1)所以n的本征值为设对应于Sn的本征函数的矩阵表示为216)2coscos icos2 cosi coscosa(cosi cosbcos bi cos1 cos由归一化条件，得112* *i (a ,b )2cos i cos1 cosb2a1 cosl(Sn)2l(Sn)21(Sn)21(Sn)21 cos:1cos i cos -2(1-cos-)1 cos 1 cos i cos.2(1 cos )cos i cos 0 . 2(1 cos ) 1 cos i cos2(1 cos )；1 cos 1 cos icos 0202(1 cos

5、) 11 cos cos i cos222(1 cos ) i可见，S,的可能值为一2相应的几率为1 cos2222cos cos2(1 cos )1 cos21 cos221(Sn)21 cos cos222同理可求得对应于Sn的本征函数为21 cos2cos i cos,2(1 cos )在此态中，Sz的可能值为相应的几率为21 cos21 cosSzcos217.5设氢的状态是.3)-R21(r)Yn(, 2求轨道角动量z分量L?z和自旋角动量z分量Sz的平均值;求总磁矩 Me ? e ?L -S2的z分量的平均值（用玻尔磁矩子表小）解：。可改写成1* (r)Y11(322- R21 (

6、r)Y；0 (,1 浮丫1（,)1(Sz)2和21（）丫10（,)1(Sz2从。的表达式中可看出L?z的可能值为相应的几率为Lz4Sz的可能值为相应的几率Ci2SziMzLz -Sz5 4 ( 4)7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系 可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有 4个。设两个单粒子态为j,则体系可能的状态为i(qi) i(q2)i(q3)j(qi) j(q2) j(q3)i(qi) i(q2) j(q3)i(qi) i(q3) j(q2)3i(q2)i(q3)j(qi)j(qi) j(q

7、2) i(q3)j(qi) j(q3) i(q2)j(q2)j(q3) i(qi)7.7证明(1)SS2), S3M A组成的正交归一系。解:1/2(S1z) 1/2(S2z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)1/2(S2z) 1/2(S1z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)1/2(S2z) 1/2(S2z)(2)SiH 1/2) 1/2 (Siz)1/2 (S2z)1/2(S2z) 1/2(S1z)1 /2 (S1z )1/2(S2z)=01 r，c、，c 、,2 1/2(Slz) 1/2(S2z)1/2(Siz)1/2 (S2z)1/2(Siz) 1/2(S2z)1y2 1/2(S2

8、z) 1/2(S1z)1/2(S2z) 1/2(Slz)1/2 (S1z )1/2(S2z)1/2(Siz) i/2(S2z)1 r ，一、1/2(S2z) .21 /2( S2z )0同理可证其它的正交归一关系。(3)(3)1SS-21/2(Siz)1/2 ( S2z )1/2 (Siz ) 1/2 (S2z )1/2(S1z)1/2 ( S2z )1/2 (S1z ) 1/2 (S2z )2222121/2(Sz)1/2 (Slz)1/2 (S2z)1/2 (S2z)10 021/2(S2z)1/2(S2z)1/2(Siz)1/2(Siz)1/2 (Siz)1 /2 (S2z)1/2 (S

9、1z)1 /2 (S2z)7.8设两电子在弹性辕力场中运动，每个电子的势能是1/2 (S2z)1/2 (Siz)1/2(Siz)1/2 (Siz)1 U(r)-2 2 一r o如果电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程2(r) U(r) (r)(r)2-) z(r)(r)(r)考虑到(r)2T) z(r)(r)(r)X(x)Y(y)Z(z)2-)XYZ z2/ 2(x2z2)XYZ EXYZZ x222 2、 x )2 12X12y2 Y x22 1 2Z2 Z x2

10、Ex EyXn(X)Ym(y)NmeZ (z)nm(r)nm(r)Enm其中EzNne11 2y222z2)2 2xHn(Hm(y)NnNmNNnNmN(nNn对于基态nz)f)1/22nn! HYPERLINK l bookmark45 o Current Document 221 Y 1(2-2 Y x22x2)ExEyEzx)n(2r 2Hn(H。x)Hm( y)H (z)x)Hm( y)H ( z)000(r)3/22 22r2对于沿X方向的第一激发态nH i(x) 20000 (r )3/2 e2 5/2100(r)2 3/4xe两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为，、i ，、S (ri, r2)o(ri)2i (r2 )i(ri0()417yX2e2/ 2(rir22)2/ 2(rix1e43/2 ( X2xi)e2 / 2(rir22)a(iJ2)0 (ri)