周世勋量子力学知识题

1、第二章 波函数和薛定调方程证明在定态中，几率流密度与时间无关.解：几率流密度公式为而定态波函数的一般形式为r,t将上式代入前式中得：显然是这个J与时间无关.1 ikre r由下列两定态波函数计算几率流密度1 ikr2-er从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波解：在球坐标中，梯度算符为1和2只是r的函数，与,无关所以将以上四式代入(1)对于J21 ikr-e r*2er rikikerikikrerikrerikrikikik1- er rp 12 err12ik err(2)对于 21 ikr-e r2ik er，errrer计算的结果已经很清楚11 ikr

2、 一e这样的千面波，是沿er方向传播的波 rp2 r.而球面1 ikr波2e传播方向与r1相反，即J2 Ji2.3. 一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数解：从定态薛定谓方程可知，其解为0和x a处,波函数为a处,0得波函数为因此有即A ikx esin ka所以归一化条件dx 1可得所以综合得：2.4.证明nA sin 一2a adjdx2k2Aeikx(x)AeikxAikxe即要求 kaE2BeEikx0, Be ikx2iAsinkxC sin kx1,2,3nnn C sin x na 222_ n1231HEn. 2 sin2 sin2 - n sin xa a0,2

3、1 cos 21,2,3|八a式中的归一化常数是2,cos2-cos 2利用归一化a1 A2 sin2- xa 2adx2aA2 sin20n .ydy 2aA2空 nnsin2 zdz0A22a nA2a解：这是宽度为2a,将坐标原点选在势阱中心而表示的一维无限深势阱的波函数 条件得所以A ei求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置解：一维谐振子第一激发态的波函数为1xe 22x2其中几率密度两个值，所以的几率最大极值点有使：d2wdx2只有Xxo处第一激发态粒子出现在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U x U x，证明粒子定态的波函数具有确定的宇称解：定态的波函数满足的薛定谓方程

4、为自 x x E x TOC o 1-5 h z 人?d2 一哈留顿算符H x2 U x于是当x x时,而拉普拉斯算符2 dx222222_d_ d _d_ HYPERLINK l bookmark126 o Current Document 2 dx22 d x 22 dx2即在坐标反射下，哈密顿算符不变，即白x白x写出坐标反射后的薛定谓方程H? x x E x考虑到MxH?x有 白x x E xH? x x E x比较H? x x E x如果属于能量E的本征值是非简伊的，反射变换前后，状态函数有如下关系2x x , xx x ,1.即可见，粒子的定态波函数具有确定的宇称，奇宇称或偶宇称当

5、x x时称该波函数为偶宇称.当时,称该波函数为奇宇称.但是如果属于能量E的本征值是简伊的，特别是x x这时可以构造两个与之相关的波函数fxxxgxxx据此，可知f x f x ,因而具有偶宇称；g x g x .因而具有奇宇称.一般地，如果属于某一.但是，如果属于某一能以上结果本质上是根据哈密顿的对称性去推知它的本征函数的对称性 能量的本征态是非简伊的，那么，能量本征态会携带哈密顿算符的对称性量的本征态是简伊的，那么并不是其中的每一个本征态都会携带哈密顿算符的对称性.但总可以通 TOC o 1-5 h z 过它们的某种组合使之携带哈密顿算符的对称性一粒子在一维势阱U 00 xaU x0 xa中

6、运动，求束缚态0 E U 0的能级所满足的方程.解：粒子所满足的方程2 dx2方程变为它们的解分别是：U02 U0 E1x21 x0 xa2x22 x0a xa3x23 x0 xaA2eB1 sinC1e xx B2 cosC2e由波函数的有限性条件限制，必须要求ABsinA2e xxaBsin xa xaxCexaC2123,确定常数根据波函数在边界上连续及导数连续的条件(1)波函数连续A2eC1e(2)波函数导数连续BsinBsin(2)ctgctg由此明显看出油(2)可以用消去两个待定系数庆2和C1；由(3)可以确定和能量.由(3)得所以ctgctgctg；k 0. 1,1 ,一，由此得

7、 一k ，由于余切以2入式得到确定能量的方程为：为周期，故只有两个独立解：a2|h0,，把2一分别代2将上面的式子同乘以势垒宽度再考虑到ctg tga0,2a ctg atg令f1(z) zctgz 、n2 z2同理由第二组解得：f2(z)ztgz . n2 z2当 n 1,2,3,4 ,由 f1(z)和 f2(z)做出图 2.7-1,图 2.7-2,图 2.7-3,图 2.7-4.由图2.7-1可以看出：当n 1时0 z 1只有一虚线通过横轴，也就说只存在一个解.对应的是第二组的解.由数值计算可知，此时z 0.7391，由此可算出对应的能级.由图2.7-2可以看出：当n 2时0 z 2存在两

8、个解.分别对应的是第一组和第二组的解.由数值计算可知，此时对应第一组的解为z 1.8955，对应第二组的解为，由此可算出对应的能级.由图2.7-3可以看出：当n 3时0 z 3存在两个解.分别对应的是第一组和第二组的解.由数值计算可知，此时对应第一组的解 为z 2.2789 ,对应第二组的解为z 1.1701，由此可算出对应的能级 .由图2.7-4可以看出：当,对应第二组的两个解为别为n 4(实际上只要n 3.5即存在三个解)时0 z 4存在三个解.其中第一组一个解和第二组的两个解.由数值计算可知，此时对应第一组的解为z 1.2524,3.5953，由此可算出对应的能级.第一组解0由A2eC1

9、eBsin aB sin a得:e aBsinBsin xe aBsin由归一化条件得一 a _ _ _ xesina e. 2 sin asin 2 asin. 2 sin asin 2 aa.e sin. 2 sin asin 2 a a 对于第一组解的第一个能级，有:a 1.8955, aa)20.6260191.8955,0.6260190.6260190.626019 xe sin 1.8955 esin2 1.89551 sin 2 1.89550.6260192 1.8955sin 1.8955 x.2 , 一sin 1.8955sin 2 1.89550.6260192 1.8

10、9550.6260190.626019 xe sin 1.8955 e2sin2 1.8955sin 2 1.89550.6260192 1.8955由上述波函数可绘出图2.7-5A2e a Bsin第二组解aC1e Bsin由归一化条件得2dxaBcos2 a 2 e cos2cos ae aBcosBcos xe aBcos2dx2dxa e2 xdxsin 2 a2dxB sinasin adxx dxe aBcosa 2cos2dxxdxacos acos2 a a sin 2 acos x2cos asin 2 a a ae cos2cos asin 2 a a对于第二组解的第一个能

11、级，有:a 0.7391 a2 U。E2 a0.739120.6735960.7391,0.6735960.673596e cos 0.73910.673596 x ecos2 0.7391 sin 2 0.73910.73910.673596cos 0.7391xcos2 0.7391 sin 2 0.73910.73910.6735960.6735960.673596 xe cos 0.7391 e2cos2 0.7391sin 2 0.73910.73910.673596由上述波函数可绘出图 2.7-6.照此方法可绘出其它能级对应的波函数0 a b b分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以

12、近似地表示为UUi0求束缚态的能级所满足的方程解：束缚态，即要求 U 10 .分区域写出薛定谓方程3U。Ui上支2 dx2i支2 dx2其中k2k；其中其中2r E U1以上三方程的解分别为Ae k2xAek2xBsin k3xk. xk. xCe 4 Ce4在x 0处，2 00得A0 .令A A ;对于4 x ,当x应有限，故C0,则波函数可写为2xk?xA e 2 e(2 x3xBsin k3x4xCe k4 x由波函数导数的连续性得x a2 -2 x a3/3tan3 x ak3 , k3ath k2ak2x b3 ;3 x b4/4 h tan4 x bk3b与k4即 TOC o 1-5 h z k3ata