高考数学黄金100题系列第20题函数零点个数问题理

1、第20题函数零点的个数问题I题源研究黄金母题出色解读【例1】求函数f(x)lnx2x6的零点的个数【试题本源】人教版A版必修1第88页例1【答案】1【母题评析】本题观察了零点存在性定理、【分析】fx的定义域为函数零点个数的判断0,f2ln2460,f3ln366【思路方法】判断函数能否存在零点可用零0,点存在性定理或利用数形结合法而要判断由零点存在性定理知fx有零点又函数有几个零点，还需要借助函数的单调f120,fx在0,上是单调递加函数，性xxx只有一个零点考场出色真题回放【例2】【2017高考江苏卷第14题】设f(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)x2,xD,此中会

2、集x,xD,Dxxn1N*，则方程f(x)lgx0的解的个数n,n是【答案】8【分析】由于f(x)0,1)，则需考虑1x10的状况，在此范围内，xQ且xZ时，设xq,p,qN*,p2，p且p,q互质若lgxQ，则由lgx(0,1)，可设lgxn,m,nN*,m2，且m,n互质mnq，则10n(q)m，此时左侧为整数，右侧非整所以10mpp数，矛盾，所以lgxQ所以lgx不行能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期xD的部分的交点，画出函数图象，图中交点除1,0外其余交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且x1处lgx111，则在x1周边仅有一个交点，xln10ln10

3、【命题企图】本题主要观察观察了零点存在性定理、函数零点个数的判断本题能较好的观察考生分析问题解决问题的能力【考试方向】这种试题在观察题型上，平常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，观察基础知识的识记、理解与应用【难点中心】解答此类问题，要点在于灵巧选择方法，如直接求解，或数形结合转变为两个函数图象的交点个数问题，或借助于导数研究函数的单调性，获取函数的零点个数1一次方程解的个数为8【例3】【2016高考新课标I改编】函数fx2x2ex在2,2有个零点【答案】D【分析】函数fx2x2ex|在2,2上是偶函数，其图象关于y轴对称，故先考虑其在0,2上有几个零点f00,f10,f(2)8e

4、20,fx在0,2上有零点设gxfx4xexg00,g10,g20,gx在0,2上有零点又由gx0，可得4ex0，设其解为x1，易知x11,2且gx10,gx在0,2上有独一零点，设为x0且x00,1从而当0 xx0时，gx0，即fx0；当x0 x2时，gx0，即fx0，故x(0,x0)时，f(x)为单调递减函数；当x(x0,2)时，(x)为单调递加函数又f00,f10,f(x0)0,fx在0,2上有独一零点由函数图象的对称性可知fx在0,2上有两个零点【例4】【2015年高考江苏卷】已知函数fxlnx，gx0,0 x1，则方程fxgx1实根x242,x1的个数为_【答案】4【分析】方程等价于

5、fxgx1，即fxgx1或fxgx1共多少个根，【命题企图】本题主要观察观察了零点存在性定理、函数零点个数的判断本题能较好的观察考生分析问题解决问题的能力【考试方向】这种试题在观察题型上，平常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大【难点中心】一些对数型方程不可以直接求出21,0 x1其零点，常经过平移、对称变换转变为相应y1gxx21,1x2，数形结合可得：fx与的函数图像问题，利用数形结合法将方程根7x2,x2的个数转变为对应函数零点个数，而函数零y1gx有两个交点；点个数的判断平常转变为两函数图像交点1,0 x1的个数这时函数图像是解题要点，不但要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），

6、y1gxx23,1x2，同理可得fx与并且要明确其变化速度快慢5x2,x21gx有两个交点，所以共计4个III理论基础解题原理1零点的定义：一般地，关于函数yfxxD，我们把方程fx0的实数根x称为函数yfxxD的零点2函数零点存在性定理：设函数fx在闭区间a,b上连续，且fafb0，那么在开区间a,b内最罕有函数fx的一个零点，即最罕有一点x0a,b，使得fx001）fx在a,b上连续是使用零点存在性定理判断零点的前提；2）零点存在性定理中的几个“不必定”（假设fx连续）若fafb0，则fx的零点不必定只有一个，可以有多个；若fafb0，那么fx在a,b不必定有零点；若fx在a,b有零点，则

7、fafb不必定一定异号3若fx在a,b上是单调函数且连续，则fafb0fx在a,b的零点独一4函数的零点、方程的根、两图像交点之间的联系：设函数为yfx，则fx的零点即为满足方程fx0的根，若fxgxhx，则方程可转变为gxhx，即方程的根在座标系中为gx,hx交点的横坐标，其范围和个数可从图像中获取由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特色，且能互相转变，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵巧转变5函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用1）函数的零点：工具：零点存在性定理；作用：经过代入特别值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围

8、内；弊端：方法单调，只好判断零点存在而没法判断个数，且能否获取结论与代入的特别值有关3（2）方程的根：工具：方程的等价变形；作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转变为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数；弊端：可以直接求解的方程种类较少，很多转变后的方程没法用传统方法求出根，也没法判断根的个数3）两函数的交点：工具：数形结合；作用：前两个主若是代数运算与变形，而将方程转变为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特色，是数形结合的表现经过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）也许确立参数的取值范围；弊端：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的

9、函数（故当方程含参时，平常进行参变分别，其目的在于若含x的函数可作出图像，那么由于其余一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的均衡IV题型攻略深度发掘【考试方向】这种试题在观察题型上，平常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小若涉及的函数为分段函数，则难度加大【技术方法】1零点存在性定理的应用：若一个方程有解但没法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确立在一个较小的范围内比方：关于方程lnxx0，没法直接求出根，构造函数fxlnxx，由f10,f10即可判断其零点必在1

10、,1中222判断函数在某个区间上能否存在零点的方法1）解方程，当对应方程易解时，可经过解方程，看方程能否有根落在给定区间上2）利用零点存在性定理进行判断；3）画出函数图象，经过观察图象与x轴在给定区间上能否有交点来判断3断函数零点个数的常有方法（1）直接法：解方程fx0，方程有几个解，函数fx就有几个零点；（2）图象法：画出函数fx的图象，函数fx的图象与x轴的交点个数即为函数fx的零点个数；（3）将函数fx拆成两个常有函数gx和hx的差，从而fx0gxhx0gxhx，则函数fx的零点个数即为函数ygx与函数hx的图象的交点个数；（4）二次函数fxax2bxca0的零点问题主要从三个方面考虑：

11、4鉴识式确立零点能否存在；对称轴的地址控制零点的地址；端点值的符号确立零点的个数【易错指导】对函数零点存在的判断需要注意以下两点：（1）函数fx在a,b上连续；（2）满足fafb0上述方法只好求变号零点，关于非变号零点不可以用上述方法求解其余需要注意的是：（1）若函数fx的图象在xx0与x轴相切，则零点x0平常称为不变号零点；（2）函数的零点不是点，它是函yfx数与x轴的交点的横坐标，是方程fx0的根V贯穿交融触类旁通【例1】【2018云南昆明一中高三一模】若函数fxx，则函数yfxlog1x的零点个数是（）2A5个B4个C3个D2个【答案】D【分析】如图：函数fx与函数gxlog1x有2个交

12、点，所以选D2【例2】【2018河南漯河高中高三上学期二模】已知函数是上的偶函数，且，当时，则函数的零点个数是（）A3B4C5D6【答案】B5【例3】【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数8sin2xx0fx1xx，f022则函数hxfxlog4x的零点个数为（）A2个B3个C4个D5个【答案】Dfx1fx214sin2x2sin2x；当x3时，x，据此可得：222222fx1fx212sin2xsin2x；当x5时，f5sin251，而222444log45log441，则函数ylog4x与函数fx在区间,3上有2个交点，很明显，当x3时，422函数图象没有交点，绘制函

13、数图象以以下图，观察可得：函数hxfxlog4x的零点个数为5个【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，假如能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理：利用定理不但要函数在区间a，b上是连续不停的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确立函数有多少个零点（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不6同的值，就有几个不一样的零点【例4】【2018贵州黔东南州第一次联考】已知函数x2x9,x0a有两个fx4，若方程fxx2,x0不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A

14、5,92,B2,C5,92,D5,92,242424【答案】Cfxx2x9,x0【分析】作出函数4的图象以下：x2,x0【名师点睛】方程的根或函数有零点求参数范围常用方法和思路1）直接法：直接依据题设条件成立关于参数的不等式，再经过解不等式确立参数范围；2）分别参数法：先将参数分别，转变为求函数值域问题加以解决；3）数形结合法：先对分析式变形，在同向来角坐标系中，画出函数的图象，而后数形结合求解【例5】【2018黑龙江海林模拟】设fxx3bx2cxd，又k是一个常数，已知k0或k4时，fxk0只有一个实根，当0k4时，fxk0有三个相异实根，给出以下命题：fx40和fx0有一个同样的实根；fx

15、0和fx0有一个同样的实根；fx30的任一实根大于fx10的任一实根；fx50的任一实根小于fx20的任一实根此中正确命题的个数为（）A3B2C1D0【答案】A7fxx3bx2cxd，当k0或k4时，fxk0只有一个实数根；当0k4时，fxk0有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极小值为0，极大值为4，故fx40与fx0有一个同样的实数根，即极大值点，故（1）正确fx0与fx0有一个同样的实根，即极小值点，故（2）正确；fx30有一实根且函数最小的零点，fx10有3个实根均大于函数的最小零点，故（3）错误；fx50有一实根且小于函数最小零点，fx20有三个实根均大于函数最小的零点，

16、故（4）正确；所以A选项正确【点睛】三次函数图象时，要关注三次函数的极值点个数，三次函数的三次项系数为正，假如有两个极值点，那么函数为先再减最后增，满足对k是一个常数，当k0或k4时，fxk0只有一个实根，当0k4时，fxk0有三个相异实根这样的条件，说明有极小值为0，极大值为4，据此可画出函数的模拟图像，数形结合，逐个考据【例6】【2018安徽阜阳临泉一中高三上学期二模】已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是_【答案】8令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解关于的方程，恰好有4个不相等实数根，关于的方程在和上各有一解，解得，故答案为【名师点睛】已知函数

17、有零点求参数取值范围常用的方法和思路：直接法：直接依据题设条件成立关于参数的不等式，再经过解不等式确立参数的范围；分别参数法：先将参数分别，转变为求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，而后数形结合求解【例7】【2018江苏南通如皋高三第一次联考】已知函数lnx1，x1fxx若2m5，2xmx，2x18gxfxm有三个零点，则实数m的取值范围是_【答案】71，4【分析】gxfxm有三个零点，依据题意可得x1时，函数有一个零点；x1时，函数有两个零点当x1时，fxlnx111x1fx1,，故m1；当，fx0恒成立xxx2x2x1时，fx2x2mx

18、m5，要使得gxfxm有两个零点，需满足289m285m0,82m，解得1m7771,，综上可得1，故答案为1，4444f12mm5028【例8】【2017江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学届高三六校联考】已知函数fxlnx1|，fxm的四个零点x1，x2，1111x3，x4，且kx2x3，则x1x4kke的值是_【答案】e2【例9】【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】已知函数将的图象向右平移两个单位，获取函数的图象（1）求函数的分析式；（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围【答案】（1）（2）【分析】试题分析：（1）借助平移的知识可

19、以直接求出函数分析式（2）先换元将问题转变为有且只有一个根，再运用函数方程思想成立不等式组分析求解（1）（2）设，则，原方程可化为，于是只须在上有且仅有一个实根法1：设，对称轴，则或由得，即，由得无解，则法2：由，得，设，则，10记，则在上是单调函数，由于故要使题设成立，只须即从而【名师点睛】在解答指数函数的综合题目时可以采纳换元法，转变为一元二次函数的问题，依据题目要求，如需要分类谈论，再加入分类谈论【例10】【江苏扬州模拟】设fxxxa2x(aR)（1）若a2，求fx在区间0,3上的最大值；（2）若a2，写出fx的单调区间；（3）若存在a2,4，使得方程fxtfa有三个不相等的实数解，求t

20、的取值范围【答案】（1）fxmaxf39（2）fx的单调增区间为,a2和a,，单调减区间2a2,a（3）1t928试题分析：（1）当a2时，fxxx22x=x24x,x2，x2,x2fx在R上为增函数，fx在0,3上为增函数，则fxmaxf39（2）fxx22ax,xa，a2，0a2aa2，x22ax,xa当xa2，fx在a,为增函数，a时，a2当xa时，a2a2a0，即a2a，fx在,a22为增函数，在a2,a为减2222函数，则fx的单调增区间为,a2和a,，单调减区间a2,a22（3）由（2）可知，当2a2fx为增函数，方程不行能有三个不相等实数根，时，112当2a4时，由（2）得fat

21、fafa2，2a2ata2，24a2a22a11即1t2有解，由2,4上为增函数，在2,48a82a在8a2a2当a29，则1t94时，8a的最大值为88【例11】【2018海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学等八校联考】设函数fx2x33x21,x0，此中a02axex1,x0（1）若直线ym与函数fx的图象在0,2上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若fxa对xR恒成立，务实数a的取值范围【答案】（1）1m3或m2；（2）ae,e2令fx0得0 x1，fx递减，fx在x1处获得极小值，且极小值为f12，f01，f23，由数形结合可得1m3或m2（2）当x0时，fx2ax1ex，a

22、0，令fx0得x1；令fx0得1x0，fx递加；令fx0得x1，fx递减，fx在x1处取得极小值，且极小值为f12a1，a0，2a12a12即0aeee0，当时，e2fxminf12，a2，即a2，无解，当2a12即ae时，e2fxmaxf12a1，a2a1，即ae，又ee，aeeee2e22e2综上，ae,e2【名师点睛】函数交点问题，研究函数的单调性找函数最值，求参；恒成立求参，关于分段函数来讲，分段谈论最值即可【追踪练习】121【2018江苏南宁模拟】设函数，则零点的个数为（）A3B2C1D0【答案】B【点睛】函数数零点问题，常依据零点存在性定理来判断，假如函数yf(x)在区间a，b上的

23、图象是连续不停的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2已知函数f(x)是定义在,00,上的偶函数，当x0时，f(x)2|x1|1,0 x21fx2,x，22则函数g(x)4f(x)1的零点个数为（）A4B6C8D10【答案】D【分析】由fx为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当x0,2时，可以利用y2x利用图像变换作出图像，x2时，fx1fx2，即自变量差2个单位，函数值折2半，从而可作出2,4，4,6，的图像，gx的零点个数即为fx11根的个数，即fx与y

24、44的交点个数，观察图像在x0时，有5个交点，依据对称性可得x0时，也有5个交点共计10个交点【评注】（1）fx1fx2近似函数的周期性，但有一个倍数关系仍旧可以考虑利用周期性的思想，在作2图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分依据倍数调整图像即可；2）周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的界限值是属于哪一段周期，在图像中要正确标出，便于数形结合；133）奇妙利用fx的奇偶性，可以简化解题步骤比方本题中求交点个数时，只需分析正半轴的状况，而负半轴可用对称性解决3已知函数yfx的图像为R上的一条连续不停的曲线，当x0时，fxfx0，则关于x的x函数gxfx1的零点的个数为（）

25、xA0B1C2D0或2【答案】A【评注】1）本题由于fx分析式未知，故没法利用图像解决，所以依据条件考虑构造函数，利用单调性与零点存在性定理进行解决；（2）所给不等式fxfx0表现出fx轮流求导的特色，猜想可能是切合导数的乘法法规，变形xxfx0，而gxxfx相联系，从而构后可得的零点问题可利用方程进行变形，从而与条件中的x造出hx4定义域为R的偶函数fx满足对xR，有fx2fxf1，且当x2,3时，fx2x212x18，若函数yfxlogax1在0,上最罕有三个零点，则a的取值范围是（）A0,2B3C5D60,0,0,2356【答案】B14【评注】本题有以下几个亮点：（1）fx的周期性的判断

26、：fx2fxf1可猜想与fx周期性有关，可带入特别值，解出1，从而判断周期，配合对称性作图；（2）在选择出交点的函数时，若要数形结合，则要选择可以做出图像的函数，比方在本题中，fx的图像可做，且ylogax1可经过图像变换做出5已知定义在R上的函数fx满足fx2fx，当x1,3时，f1x2,x1,1，此中t0，若方程3fxx恰有三个不一样的实数根，则实数t的取值xx2,xt11,3范围是（）A0,4B2,2C4,3D2,3333【答案】B15f6g6f(6)f(2)t22，即2t2f2g2f(2)t336【2018广东广州模拟】已知函数1x1,x1,2xfx2的零点个数fx2则函数gxx4x2

27、,x，1为个【答案】2【分析】gx2xfx2的零点个数，即是方程fx2的根的个数，也就是yfx与y22x2x的图象的交点个数，分别作出yfx与y2的图象，以以下图，由图象知yfx2的图2x与y2x象有两个交点，所以函数gx有2个零点y4321-7-6-5-4-3-2-1O1234567x-1-2-3-47【2018全国名校第二次大联考】函数fx有4个零点，其图象以以下图，和图象切合的函数分析式是（）16AfxsinxlgxBfxsinxlgxCfxsinxlgxDfxsinxlgx【答案】D得解：本函数图象的交点、函数的零点、方程的根常常是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判

28、断函数yfx零点个数的常用方法：（1）直接法：令fx0,则方程实根的个数就是函数零点的个；（2）零点存在性定理法：判断函数在区间a,b上是连续不停的曲线，且fafb0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确立函数的零点个数；（3）数形结合法：转变为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确立函数零点的独一性时常常要利用函数的单调性，确立函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题8【2018四川绵阳高三第一次诊断性考试】函数满足，且当时，若函数的图象与

29、函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值会集为（）ABCD【答案】C【分析】由于函数满足，所以函数的周期为又在一个周期内，函数分析式为，所以可作出函数图象，在同一坐标系内作函数的图象，要使两个函数图象有且仅有四个交点，只需，所以，应选C9【2018安徽十大名校高三11月联考】若函数fxsinxx,x1有4个零点，则实数m39x224xm,xx1的取值范围是（）A16,20B20,16C,2016,D,1620,【答案】B【分析】当x1时，fxcosx10恒成立，又f00，17则函数fx在,1上有且只有1个零点；当x1时，函数fx3x218x243x2x4，则函数fx在1,2上单调递加，在2

30、,4上单调递减，在4,上单调递加，所以此时函数fx的极大值为f22m，极小值为f416mf1，要使得fx有4个零点，则16m0，解得20m16，应选B20m0【名师点睛】本题主要观察了依据函数的零点求解参数的取值范围问题，此中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值等知识点的综合应用，侧重观察了数形结合思想和转变与化归思想的应用，解答中把函数的零点问题转变为函数的图象与x的交点个数，利用函数的极值求解是解答的要点，试题有必定的难度，属于中档试题10【2018江苏淮安盱眙中学高三第一次学情调研】已知函数fx2x2m的图象与函数gxlnx的图象有四个交点，则实数m的取值范围为_

31、【答案】,1ln221上个递加，由1hx2x2mlnx1上个递减，所以函+hx4x0可得函数在02，x，221，令h1数hx2x2mlnx最小值为h121mln0，可得m1ln2，此时函22222数hx2x2mlnx有两个零点，故函数fx2x2m的图象与函数gxlnx的图象有四个交点，实数m的取值范围为,1ln2，故答案为,1ln222【方法点睛】本题主要观察函数图象的交点、函数的零点、方程的根，属于难题函数图象的交点、函数的零点、方程的根常常是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转变为哪个，判断函数yfx零点个数的常用方法：（1）直接法：令fx0,则方程实根的个数就是函数零点的个；（2）

32、零点存在性定理法：判断函数在区间a,b上是连续不停的曲线，且fafb0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确立函数的零点个数；（3）数形结合法：转变为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间18内至多只有一个零点，在确立函数零点的独一性时常常要利用函数的单调性，确立函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题11,0 x19月结合质量检测】已知fxfx11【2018安徽滁州高三1，若方程x,1x0fxax2a0a0有独一解，则实数a的取值范围是_【答案】1,31由图可知：

33、a3【名师点睛】依据函数零点求参数取值，也是高考常常涉及的要点问题，1）利用零点存在的判判定理成立不等式求解；2）分别参数后转变为函数的值域（最值）问题求解，假如涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；3）转变为两熟习的函数图象的上、下关系问题，从而成立不等式求解12【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】已知函数fx2xaaR将xx19yfx的图象向右平移两个单位，获取函数ygx的图象（1）求函数ygx的分析式；（2）若方程fxa在x0,1上有且仅有一个实根，求a的取值范围【答案】（1）gx2x2a（2）1a42x223（1）gx2x2a（2）设2xt，则t1,2，原方程可化为t2ata0，于是只须t2ata02x2在t1,