高中数学必修二 6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算（精练）（含答案）

1、6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算（精练）【题组一 平面向量的基本定理】1（2020广东云浮市高一期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底故选：B2（2020北京高一期末）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A， B，C， D，【答案】D【解析】选项A：因为，所以、共线，不能作为基底；选项B：因为，所以、共线，不能作为基底；选项C：因为，所以、共线，不能作为基底；选项D：因为，所以、不共线，可以作为基底，故选：D.3（多选）（2020全国高一单元测试）如果是平面内两个不共线

2、的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）A+ (，R)可以表示平面内的所有向量B对于平面内任一向量，使=+的实数对(，)有无穷多个C若向量1+1与2+2共线，则有且只有一个实数，使得1+1=(2+2)D若实数，使得，则=0【答案】BC【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当两个向量均为零向量时，即1=2=1=2=0时，这样的有无数个，或当1+1为非零向量，而2+2为零向量(2=2=0)，此时不存在.故选:BC.4（2020河南商丘市高一期末）如图，在四边形中，为边的中点，

3、若，则（ ）AB1CD【答案】C【解析】连接，因为为的中点，所以，又因为，根据平面向量基本定理可得，于是故选：C5（2020山西运城市高一月考）如图，在中，若，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由图可得，所以，则，故选：6（2020太原市山西大附中高一月考）如图四边形ABCD为平行四边形，若，则的值为ABCD1【答案】D【解析】选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得故选D7.（2020全国高一单元测试）已知AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意所以2，同理得2即2.2得4+2，即3，所以.故选：B.8（2020全国高一单元测试）

4、如图在梯形ABCD中，ADBC，且E，F分别为AB，CD的中点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】连接OE，OF.因为，所以.故选:C.9（2021江苏高一）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，为的中点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】设，由题意，可得，在中，可得，过点作于点，则，且，所以，所以，因此.故选：A.10（2020全国高一

5、课时练习）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，若，则实数的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，因为，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，所以，又因为，且，所以，所以，解得，所以。故选：B.11（2021河南）已知D，E，F分别是ABC的边BC，CA，AB的中点，且，则；0.其中正确的等式的个数为( )A1B2C3D4【答案】D【解析】如图可知，故正确，故正确()，故正确()()0，故正确故选D.12（2020全国高一单元测试）在中，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示

6、的坐标系，设点为，直线的方程为，联立，解得，此时最大，故选：13（2020陕西商洛市高一期末）如图，在中，为的中点，若，则_.【答案】【解析】，所以.故答案为：.14（2020山东临沂市高一期末）如图，在中，已知是延长线上一点，点为线段的中点，若，且，则_.【答案】【解析】，所以，则，为线段的中点，则，因此，.故答案为：.15（2020北京高一期末）已知在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，若，则点的坐标为_.【答案】【解析】设，则，；因为，故；即.故答案为：.16（2020全国高一）如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的动点，且，设，则的最大值是_【答案】【解析】建立如图所

7、示的直角坐标系，其边长为2，则，所以，由，得，解得其中，所以，令，则，当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为故答案为：【题组二 加减数乘的坐标运算】1（2020苍南县树人中学高一期中）已知，则向量为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可得.故选：C.2（2021江苏高一）已知点，则向量的坐标是（ ）ABCD【答案】B【解析】点，则向量,故选：B.3（2021湖南）已知中，对角线、交于点，则的坐标为（ ）.ABCD【答案】B【解析】，根据平行四边形法则可得，则，故选：B.4（2020山西省古县第一中学高一期中）已知，若，则等于（ ）A(1，4)BCD【答案】C【解析】，若，可得：.故选：C.5

8、（2021湖南）已知=（2，1），=（-3，4），则-=（ ）A（5，-3）B（-1，5）C（-3，5）D（-5，3）【答案】A【解析】，故选:A.6（2020株洲市南方中学高一期末）已知点，向量，则向量（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，故选：A7（2020甘肃白银市高一期末）设，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】故选：B.8（2020桂阳县第二中学高一期中）已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，故选：B.9（2020平凉市庄浪县第一中学高一期中）已知点，向量，则向量（ ）ABCD【答案】B【解析】设，因为，所以，可得，解得，可得.所以.故选：B.10（2020河北唐山

9、市开滦第一中学高一期末）若，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】依题意.故选：A11（多选）（2020湖北潜江市高一期末）已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（ ）ABCD【答案】AD【解析】设，则，当点P靠近点时，则，解得，所以，当点P靠近点时，则，解得，所以，故选：AD【题组三 共线定理的坐标运算】1（2020新绛县第二中学高一月考）已知，则与向量共线的单位向量为（ ）A或B或C或D或【答案】B【解析】因为，所以向量，所以与向量共线的单位向量为或.故选：B2（2020全国高一单元测试）设向量=(1，4)，=(2，x)，.若，则实数x的值是（ ）A-4B2C4

10、D8【答案】D【解析】因为=所以=(3，4+x)，因为，所以4+x=12，得x=8.故选：D3（2021湖南）已知，且，那么（ ）A10B5CD-10【答案】D【解析】由于两个向量平行，所以，解得.故答案为：D4（2020全国高一）已知向量，且，则m的值为（ ）A1BC4D【答案】D【解析】由题知，因为，所以，从而.故选：D5（2021广西南宁三中高一期中）已知向量，且A，B，C三点共线，则k的值是（ ）ABCD【答案】A【解析】，.因为A，B，C三点共线，所以共线，所以，解得.故选：A6（2020合肥市第六中学高一期末）已知向量，若与共线，则（ ）AB3CD【答案】C【解析】，若与共线，则，

11、即故选：C7（2020武汉市第三中学高一月考）若向量，则与共线的向量可以是（）ABCD【答案】B【解析】故选B8（2020山西忻州市忻州一中高一期中）已知向量，则与共线的单位向量为( )ABC或D或【答案】D【解析】因为，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得 或所以与共线的单位向量为或.故选：D.9（2020浙江高一期末）已知，则与平行的单位向量为( )AB或C或D【答案】B【解析】，则与平行的单位向量为，化简得，或故选：B10（2020北京高一期末）如图，在中，.若，则的值为_，P是上的一点，若，则m的值为_.【答案】 【解析】如图：在中，.所以：，故.由于点BPN三点共线.所以，则：，

12、整理得：，故：.所以，解得.故.故答案为：；.11（2020浙江高一期末）已知点.若，（1）当点在第一、三象限角平分线上时，求的值；（2）当点为一平行四边形的四个顶点时，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）点在第一、三象限的角平分线上，可设.，.，解得；（2），则，所以当点为一平行四边形的四个顶点时，这个四边形必为平行四边形，.12（2020广东韶关市高一期末）设非零向量，不共线.（1）若，且，求实数的值；（2）若，.求证：，三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】解：（1），且，故，即实数的值为：；（2）证明：，.，即且有公共点，故，三点共线【题组四 向量与三角函数的综合

13、运用】1（2020平凉市庄浪县第一中学高一期中）若且/,则锐角=_ .【答案】【解析】/,，又为锐角，故答案为：2（2020江西赣州市高一期末）已知为单位圆，A、B在圆上，向量，的夹角为60，点C在劣弧上运动，若，其中，则的取值范围_.【答案】【解析】由题意，以O为原点，OA为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示：由题意得：，则，设点，则，因为，所以，整理得，因为，得，所以，即，所以的取值范围为.故答案为：.3（2020云南保山市高一其他模拟）已知平面向量，（）若，求的值；（）若，求的值【答案】（）；（）【解析】（），即，；（），则，.4（2020定边县第四中学高一期末）已知向量，.（1）已知，

14、求点坐标；（2）若，求的值【答案】（1），（2）【解析】（1）设点坐标为，因为，所以，因为，所以，解得，所以点坐标为，（2）因为，且，所以，所以，所以，所以，【题组五 奔驰定理解三角形面积】1（2020江西）在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为（ ）ABCD【答案】B【解析】设的中点为点，则有，又，所以，则点在线段上，因为D为BC的中点，所以得点为的重心，故与面积之比为.故选：B2（2020河北）已知所在的平面内一点（点与点，不重合），且，则与的面积之比为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据平面向量的线性运算，由，所以，设线段的中点为，线段的中点为（如图所示），所以，可

15、得，所以点为的中位线的靠近点的三等分点，所以，所以，即与的面积之比为.故选：A.3（2021山东）若点是所在平面内的任意一点,满足,则与的面积之比为ABCD【答案】A【解析】取D,E分别为AC,BC的中点,由可得(,则,所以,所以与的面积之比为.故选A4（2021全国）已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图所示,所以,即,所以,设和的中点分别为,则由可得,即,即点是的中位线上靠近点的三等分点,所以,故选:C5（2021辽宁沈阳市高一期末）已知点在正所确定的平面上，且满足，则的面积与的面积之比为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，即点在边上，且，

16、所以点到的距离等于点到距离的，故的面积与的面积之比为.选C.6（2021广东潮州）如图，为内一点，且满足.则的面积与的面积之比为（ ）.ABCD【答案】D【解析】如图，设，则.由平行四边形法则知.过点作的平行线，分别交于点.则与边上的高之比为（或），设为，故.由相似三角形的性质得，即.从而，.所以，.解得（舍去），.选D.7（2021广东湛江）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（ ）A B C D【答案】A【解析】在线段上取使，则，过作直线使，在上取点使，过作的平行线，过作的平行线，设交点为，则由平行四边形法则可得，设的高线为的高线，由三角形相似可得，与有公共的底边，与的面积的比为，故

17、选：A8（2021湖北）已知是所在平面内一点，若，则与的面积的比为（ ）A B C D【答案】A【解析】在线段上取使，则，过作直线使，在上取点使，过作的平行线，过作的平行线，设交点为，则由平行四边形法则可得，设的高线为，的高线，由三角形相似可得，与有公共的底边，与的面积的比为，故选：A.9（2021河南）已知点为内一点，且满足，设与的面积分别为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，O为ABC内一点，且满足，O为DABC重心，E为AB中点，OD：OE=2：1，OC：OE=1：2，CE：OE=3：2，SAEC=SBEC，SBOE=2SBOC，OBC与

18、ABC的面积分别为S1、S2 所以故选B10（2021广东梅州）已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（ ）ABC3D 【答案】C【解析】如图，延长交于，则，因为三点共线，所以即，所以，则，故且，又，故，所以，所以，所以，故选C.11（2021宝鸡中学）已知O为所在平面内的一点，且满足，则的面积与的面积的比值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由得，故在内部，如图，取中点，连接并延长至，使得，则四边形为平行四边形则，又因为，所以、三点共线且，即为的重心所以，故选：12（2021辽宁 ）已知为三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为 （ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得，故选A13（2021北京）如图，设为内一点，且，则与的面积之比为ABCD【答案】A【解析】如图，作交于点，则，由题意，且，所