选修4-5-不等式选讲

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业选修45eq blc|rc (avs4alco1(,)不等式选讲第一节绝对值不等式本节主要包括2个知识点：1.绝对值不等式的解法；2.绝对值三角不等式.突破点(一)绝对值不等式的解法基础联通 抓主干知识的“源”与“流” (1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|aeq blcrc(avs4alco1(x|axaeq blcrc(avs4alco1(x|xa或x0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb

2、|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解利用零点分段法求解构造函数，利用函数的图象求解考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”绝对值不等式的解法典例解下列不等式：(1)|2x1|2|x1|0.(2)|x3|2x1|2|x1|，两边平方得4x24x14(x22x1)，解得xeq f(1,4)，所以原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(xavs4al(|)xf(1,4).法二：原不等式等价于eq blcrc (avs4alco1(x0)或eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)x1，,2x12x10)或eq blcrc (avs4alco

3、1(x1，,2x12x10.)解得xeq f(1,4)，所以原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(xavs4al(|)xf(1,4).(2)当x3时，原不等式化为(x3)(12x)eq f(x,2)1，解得x10，x3.当3xeq f(1,2)时，原不等式化为(x3)(12x)eq f(x,2)1，解得xeq f(2,5)，3xeq f(2,5).当xeq f(1,2)时，原不等式化为(x3)(12x)2，x2.综上可知，原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(xavs4al(|)x2).绝对值不等式的常用解法方法技巧(1)基本性质法：对aR，|x|aaxaxa.

4、(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1求不等式|x1|x5|2的解集解：不等式|x1|x5|2等价于eq blcrc (avs4alco1(x1，,x1x52)或eq blcrc (avs4alco1(1x5，,x1x55，,x1x52，)即eq blcrc (avs4alco1(x1，,42)或eq blcrc (avs4alco1(1x5，,2x5，,42，)故原不等式的解集为x|x1x|1x4x|x42解不等式x

5、|2x3|2.解：原不等式可化为eq blcrc (avs4alco1(xf(3,2)，,x32)或eq blcrc (avs4alco1(xf(3,2)，,3x32.)解得x5或xeq f(1,3).所以原不等式的解集是eq blcrc(avs4alco1(xavs4al(|)x5或xf(1,3).3已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集解：(1)证明：f(x)|x2|x5|eq blcrc (avs4alco1(3，x2，,2x7，2x5，,3，x5.)当2x5时，32x73，所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当x2时，f(x

6、)x28x15即为x28x180，解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15即为x210 x220，解集为x|5eq r(3)x0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解：(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式可化为eq blcrc (avs4alco1(xa，,xa3x0)或eq blcrc (avs4alco1(xa，,ax3x0，)即eq blcrc (avs4alco1(xa，,xf(a,4)或eq blcr

7、c (avs4alco1(x0，解得xeq f(a,2)，即不等式f(x)0的解集为eq blcrc(avs4alco1(xavs4al(|)xf(a,2).不等式f(x)0的解集为x|x1，eq f(a,2)1，故a2.突破点(二)绝对值三角不等式基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 绝对值三角不等式定理(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 证明绝对值不等式例1已知x，yR，且|xy|eq f(1,6)，|xy|eq

8、 f(1,4)，求证：|x5y|1.证明|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3eq f(1,6)2eq f(1,4)1.即|x5y|1.方法技巧证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明绝对值不等式的恒成立问题例2设函数f(x)x|xa|.(1)当a2 017时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)|x1|，求不等式g(x)2xf(x)恒成立时a的取值范围

9、解(1)由题意得，当a2 017时，f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x2 017，x2 017，,2 017，xxf(x)恒成立，知|x1|xa|2恒成立，即(|x1|xa|)min2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，所以|1a|2，解得a1或a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,a)|xa|eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,a)xa)eq f(1,a)a2.当且仅当a1时等号成立所以f(x)2.(2)f(3)eq blc|rc|(avs4alco1(3f(1,a)|3a|.

10、当a3时，f(3)aeq f(1,a)，由f(3)5得3aeq f(5r(21),2).当0a3时，f(3)6aeq f(1,a)，由f(3)5得eq f(1r(5),2)a3.综上，a的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1r(5),2)，f(5r(21),2).2考点二(2017保定模拟)设函数f(x)|x1|xa|(aR)(1)当a4时， 求不等式f(x)5的解集；(2)若f(x)4对xR恒成立，求a的取值范围解：(1)当a4时， 不等式即为|x1|x4|5，等价于eq blcrc (avs4alco1(x4，,2x55，)解得x0或x5，故不等式f(x)5的解集为x

11、|x0或x5(2)因为f(x)|x1|xa|(x1)(xa)|a1|，所以f(x)min|a1|，故|a1|4，解得a3或a5.故a的取值范围为(，35，)3考点一已知函数f(x)ax2xa的定义域为1,1(1)若f(0)f(1)，解不等式|f(x)1|axeq f(3,4)；(2)若|a|1，求证：|f(x)|eq f(5,4).解：(1)f(0)f(1)，即aa1a，则a1，所以f(x)x2x1，所以不等式化为|x2x|xeq f(3,4)，当1x0时，不等式化为x2xxeq f(3,4)，解得eq f(r(3),2)x0；当0 x1时，不等式化为x2xxeq f(3,4)，解得0 xeq

12、 f(1,2).综上，原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(xavs4al(|)f(r(3),2)xf(1,2).(2)证明：由已知x1,1, 所以|x|1，又|a|1，则|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|eq blc(rc)(avs4alco1(|x|f(1,2)2eq f(5,4)eq f(5,4).4考点一(2017开封模拟)设函数f(x)|xa|，a0.(1)证明：f(x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)2；(2)若不等式f(x)f(2x)eq f(1,2)的解集非空，求a的取值范围解：(1)证明：函数f(

13、x)|xa|，a0，则f(x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)|xa|eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,x)a)|xa|eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,x)a)eq blc|rc|(avs4alco1(xablc(rc)(avs4alco1(f(1,x)a)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,x)|x|eq f(1,|x|)2eq r(|x|f(1,|x|)2(当且仅当|x|1时取等号)(2)f(x)f(2x)|xa|2xa|，a0.当xa时，f(x)f(2x)axa2x2a3x，则f(x)f(2x)a；当ax eq f

14、(a,2)时， f(x)f(2x)xaa2xx，则eq f(a,2)f(x)f(2x)a；当xeq f(a,2)时，f(x)f(2x)xa2xa3x2a，则f(x)f(2x)eq f(a,2)，则f(x)f(2x)的值域为eq blcrc)(avs4alco1(f(a,2)，)，不等式f(x)f(2x)eq f(a,2)，解得，a1，由于a1的解集解：(1)由题意得f(x)eq blcrc (avs4alco1(x4，x1，,3x2，1f(3,2)，)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得xeq f(1,3)或x5

15、.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(x5).所以|f(x)|1的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(1,3)或1x5).2(2016全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即

16、eq blc|rc|(avs4alco1(xf(a,2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)x)eq f(3a,2).又eq blc(rc)(avs4alco1(blc|rc|(avs4alco1(xf(a,2)blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)x)mineq blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)f(a,2)，所以eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)f(a,2)eq f(3a,2)，解得a2.所以a的取值范围是2，)3(2015新课标全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若

17、f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得eq f(2,3)x0，解得1x1的解集为eq blcrc(avs4alco1(xf(2,3)x2).(2)由题设可得f(x)eq blcrc (avs4alco1(x12a，xa.)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2a1,3)，0)，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为eq f(2,3)(a1)2.由题设得eq f(2,3)(a1)26，故a2.所

18、以a的取值范围为(2，)4(2013新课标全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当xeq blcrc)(avs4alco1(f(a,2)，f(1,2)时，f(x)g(x)，求a的取值范围解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则yeq blcrc (avs4alco1(5x，xf(1,2)，,x2，f(1,2)x1，,3x6，x1.)其图象如图所示由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y6的解集；(2)若不等式f(x)10对任意实数x恒成立，求m的取

19、值范围解：(1)当m3时，f(x)6，即|x3|5x|6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集eq blcrc (avs4alco1(x5，,x3x56，)解得x5；或eq blcrc (avs4alco1(3x6，)解得4x6，)解集是.故不等式f(x)6的解集为x|x4(2)f(x)|xm|5x|(xm)(5x)|m5|，由题意得|m5|10，则10m510，解得15m5，故m的取值范围为15,52(2017郑州模拟)设函数f(x)|x2|x1|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)4|12m|有解，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)可化为f(x)eq

20、blcrc (avs4alco1(3，x2，,2x1，2x1，,3，x1，)当x2时，f(x)30，不合题意；当2x1，得x0，即0 x1，即x1.综上，不等式f(x)1的解集为(0，)(2)关于x的不等式f(x)4|12m|有解等价于(f(x)4)max|12m|，由(1)可知f(x)max3(也可由|f(x)|x2|x1|(x2)(x1)|3，得f(x)max3)，即|12m|7，解得3m4.故实数m的取值范围为3,43(2017长春模拟)已知函数f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)1；(2)当x0时，函数g(x)eq f(ax2x1,x)(a0)的最小值大于函数f(x)，试求实

21、数a的取值范围解：(1)当x2时，原不等式可化为x2x11，解集是.当1x2时，原不等式可化为2xx11，即1x0；当x1，即x1.综上，原不等式的解集是x|x0时，f(x)eq blcrc (avs4alco1(12x，02，)所以f(x)3,1)，所以2eq r(a)11，即a1，故实数a的取值范围是1，)4设函数f(x)|kx1|(kR)(1)若不等式f(x)2的解集为eq blcrc(avs4alco1(xavs4al(|)f(1,3)x1)，求k的值；(2)若f(1)f(2)5，求k的取值范围解：(1)由|kx1|2，得2kx12，即1kx3，所以eq f(1,3)eq f(k,3)

22、x1，由已知，得eq f(k,3)1，所以k3.(2)由已知，得|k1|2k1|5.当keq f(1,2)时，(k1)(2k1)1，此时1keq f(1,2)；当eq f(1,2)k1时，(k1)(2k1)5，得k5，此时eq f(1,2)1时，(k1)(2k1)5，得keq f(7,3)，此时1keq f(7,3).综上，k的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(7,3).5已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式：|g(x)|5; (2)若对任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解：(1)由|x1|2|

23、5，得5|x1|25，所以7|x1|3，解不等式得2x4，所以原不等式的解集是x|2x0；(2)若f(x)3|x4|a1|对一切实数x均成立，求a的取值范围解：(1)原不等式即为|2x1|x4|0，当x4时，不等式化为12xx40，解得x0)的解集是eq blcrc(avs4alco1(x|x4).当4x0，解得x1，即不等式组eq blcrc (avs4alco1(4x0)的解集是eq blcrc(avs4alco1(x|4x0，解得x5，即不等式组eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)，,|2x1|x4|0)的解集是eq blcrc(avs4alco1(x|x5).综上，原

24、不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|x5).(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|12x|2x8|(12x)(2x8)|9.由题意可知|a1|9，解得8a10，故a的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(8，10).7已知函数f(x)|2xa|a(其中a为常数)(1)若集合x|4x3是关于x的不等式f(x)6的解集的子集，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)mf(n)成立，求实数m的取值范围解：(1)由|2xa|a6得|2xa|6a，a62xa6a，即a3x3，a34，a1.即实数a的取值范围为(，1(2)由题可知，只需mf(n)

25、f(n)min即可令(n)f(n)f(n)，在(1)的条件下a1，则(n)|2na|2na|2a|(2na)(2na)|2a|2a|2a0，当且仅当(2na)(2na)0，即eq f(1,2)aneq f(1,2)a时取等号(n)的最小值为0，故实数m的取值范围是0，)8已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)eq f(1,m)eq f(1,n)(a0)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.当xeq f(2,3)时，即3x2x14，解得eq f(5,4)xeq f(2,3)；当eq f(2,3)x1时，即3x2x1

26、4，解得eq f(2,3)x1时，即3x2x14，无解综上所述，原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(xavs4al(|)f(5,4)xf(1,2).(2)eq f(1,m)eq f(1,n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(1,n)(mn)11eq f(n,m)eq f(m,n)4，当且仅当mneq f(1,2)时等号成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|eq blcrc (avs4alco1(2x2a，xa.)xeq f(2,3)时，g(x)maxeq f(2,3)a，要使不等式恒成立，只需g(x)maxeq f(2,3)a4，即00且互不相

27、等，abc1.试证明：eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c).证明因为a，b，c0，且互不相等，abc1，所以eq r(a)eq r(b)eq r(c) eq r(f(1,bc) eq r(f(1,ac) eq r(f(1,ab)eq f(f(1,b)f(1,c),2)eq f(f(1,a)f(1,c),2)eq f(f(1,a)f(1,b),2)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)，即eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c).方法技巧综合法证明时常用的不等式(1

28、)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的变形形式有：a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2eq f(1,2)(ab)2；eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2.(4)eq f(ab,2)eq r(ab)，它的变形形式有：aeq f(1,a)2(a0)；eq f(a,b)eq f(b,a)2(ab0)；eq f(a,b)eq f(b,a)2(ab0，且abbcca1.求证：(1)abc eq r(3)；(2) eq r(f(a,bc) eq r(f(b,ac) eq r(f(c,ab) eq r(3)(eq r(a)

29、eq r(b)eq r(c)证明(1)要证abc eq r(3)，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故只需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaeq f(a2b2,2)eq f(b2c2,2)eq f(c2a2,2)a2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立(2) eq r(f(a,bc) eq r(f(b,ac) eq r(f(c,ab)eq f(abc,r(abc).在(1)中已证abc eq r(3).因此要证原不等式成立，只需证明

30、eq f(1,r(abc) eq r(a)eq r(b)eq r(c)，即证aeq r(bc)beq r(ac)ceq r(ab)1，即证aeq r(bc)beq r(ac)ceq r(ab)abbcca.而aeq r(bc)eq r(abac)eq f(abac,2)，beq r(ac)eq f(abbc,2)，ceq r(ab)eq f(bcac,2).所以aeq r(bc)beq r(ac)ceq r(ab)abbcca(当且仅当abceq f(r(3),3)时等号成立)所以原不等式成立方法技巧分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式eq

31、blc(rc)(avs4alco1(r(ab)f(ab,2)，a0，b0)没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点三已知abc，且abc0，求证：eq r(b2ac)eq r(3)a.证明：要证eq r(b2ac)eq r(3)a，只需证b2ac3a2.abc0，cab，只需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0.(ab)(ac)0显然成立，故原不等式成立2考点一已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b

32、3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.3考点二已知a，b，c，d均为正数，且adbc.(1)证明：若adbc，则|ad|bc|；(2)teq r(a2b2)eq r(c2d2)eq r(a4c4)eq r(b4d4)，求实数t的取值范围解：(1)证明：由adbc，且a，b，c，d均为正数，得(ad)2(bc)2，又adbc，所以(ad)2(bc)2，即|ad|bc|.(2)因为(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2

33、a2c22abcdb2d2(acbd)2，所以teq r(a2b2)eq r(c2d2)t(acbd)由于eq r(a4c4)eq r(2)ac，eq r(b4d4)eq r(2)bd，又已知teq r(a2b2)eq r(c2d2)eq r(a4c4)eq r(b4d4)，则t(acbd)eq r(2)(acbd)，故teq r(2)，当且仅当ac，bd时取等号全国卷5年真题集中演练明规律 1(2016全国甲卷)已知函数f(x)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,2)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当

34、a，bM时，|ab|1ab|.解：(1)f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x，xf(1,2)，,1，f(1,2)xf(1,2)，,2x，xf(1,2).)当xeq f(1,2)时，由f(x)2得2x1，所以1xeq f(1,2)；当eq f(1,2)xeq f(1,2)时，f(x)2恒成立；当xeq f(1,2)时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以eq f(1,2)x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|cd，则eq r(a)eq r(b)eq

35、 r(c)eq r(d)；(2)eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)是|ab|cd，得(eq r(a)eq r(b)2(eq r(c)eq r(d)2.因此eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d).(2)必要性：若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d).充分性：若eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)，则(eq r(a)eq r(b)2(eq r(c)eq r(d)2，即ab2eq r(ab)cd2eq r(cd).因为abcd，所以abcd.于是

36、(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|eq r(c)eq r(d)是|ab|cd|的充要条件3(2014新课标全国卷)若a0，b0，且eq f(1,a)eq f(1,b)eq r(ab).(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由eq r(ab)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(2,r(ab)，得ab2，当且仅当abeq r(2)时等号成立故a3b32eq r(a3b3)4eq r(2)，当且仅当abeq r(2)时等号成立所以a3b3的最小值为4eq r(2).(2)由(1)知，2a3b2eq r(6)eq

37、r(ab)4eq r(3).由于4eq r(3)6，从而不存在a，b，使得2a3b6.4(2013新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1) abbcaceq f(1,3)；(2) eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)1.证明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca，当且仅当abceq f(1,3)时取等号由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbccaeq f(1,3).(2)因为eq f(a2,b)b2a，eq f(b2,c)c2b，eq f(c2,a)

38、a2c，故eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)(abc)2(abc)，即eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)abc，当且仅当abceq f(1,3)时取等号所以eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)1.课时达标检测 基础送分题高考就考那几点，练通就能把分捡 1已知函数f(x)|x3|x1|，其最小值为t.(1)求t的值；(2)若正实数a，b满足abt，求证：eq f(1,a)eq f(4,b)eq f(9,4).解：(1)因为|x3|x1|x3|1x|x31x|4，所以f(x)min4，即t4.(2)证明：由(1)得ab4，

39、故eq f(a,4)eq f(b,4)1，eq f(1,a)eq f(4,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(4,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)f(b,4)eq f(1,4)1eq f(b,4a)eq f(a,b)eq f(5,4)2eq r(f(b,4a)f(a,b)eq f(5,4)1eq f(9,4)，当且仅当b2a，即aeq f(4,3)，beq f(8,3)时取等号，故eq f(1,a)eq f(4,b)eq f(9,4).2设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM.(1)证明：eq blc|rc|(avs4alco1(f(

40、1,3)af(1,6)b)eq f(1,4)；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由解：(1)证明：记f(x)|x1|x2|eq blcrc (avs4alco1(3，x2，,2x1，2x1，,3，x1.)由22x10解得eq f(1,2)xeq f(1,2)，则Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2).所以eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,3)af(1,6)b)eq f(1,3)|a|eq f(1,6)|b|eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,6)eq f(1,2)eq f(1,4).(2)由(1)得a2eq f(1,

41、4)，b20.所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.3(2017广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)|xm|x|，mN*，存在实数x使f(x)2成立(1)求实数m的值；(2)若，1，f()f()4，求证：eq f(4,)eq f(1,)3.解：(1)因为|xm|x|(xm)x|m|.要使不等式|xm|x|2有解，则|m|2，解得2ma2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：eq f(a2b2b2c2c2a2,abc)abc.证明：(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a，b都是正数，所以ab0.又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)

42、20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.(2)因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理，b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc0，因此eq f(a2b2b2c2c2a2,abc)abc(当且仅当abc时取等号)5已知x，yR，且|x|1，|y|1.求证：eq f(1,1x2)eq f(1,1y2)eq f(2,1xy).证明：eq f(2,f(1,1x2)f(1,1y2)eq f(1x21y2,2)eq f(2x2y2,2)eq f(22|xy|,2