武汉理工2005-12考研辅导班教务电话数学三十六技15

1、数学三十六技150 分力微积分下（三十六技之十二）数学科学系主讲“规律翻译”与 “微量平衡分析” 是解应用题的基本方法。几类应用问题例 12-1 曲线 y yx通过原点并在第一象限, 过其上任一点 Px, y作该曲线的切线及 y 轴的垂线, 这二直线分别与 y 轴交于T 点和 Q 点。则三角形 PQT 的面积与曲线在区间0, x上的曲边三角形面积的 3 倍。求其曲线的方程。( y cx 2 )x1 1 yxdx ,x 0 , y(0) 0 .x xy 解：列方程：3 20因曲线 y yx通过原点并在第一象限, 则必有 y(0) 0 ,x则存在 0, 0 x , yx 0 x 2 y 6 yxd

2、x x 2 y 2xy 6 y 0 ;0这是方程，令 y x 得特征方程： 6 0 ，一般解 y c x c2x 3 ;212由 y(0) 0 c 0 y c x 2 , c 0211例12-2 在上半平面上求上凸曲线，其上任一点 P(x, y) 处的曲率等于此曲线在该点法线段 PQ 长的倒数，又曲线在(1,1) 点处与 x 轴平行。( y 1 3x x3 3 )解：(1) 方程：y1y 2 y y231 y2 y1 1, y1 0 y y y2 1 y1 1, y1 0培训om - 1 -东门外创业1006（：62796032）10.80.60.40.20.511.5yy =f(x)QP(x

3、,y)0 xxT y 2 y y 1 x 2 11 x 2 y y 11 222 y1 1, y1 0 y1 1y1 1 1 x 1 1 x3 1 3y 2 1 3x x3 y 1 3x x3 3 .y 23x3 3x 1 0 有三个零点：x1 1.87939; x2 0.347296 x3 1.53209 ;所以函数的定义域是: x2 , x1 .例 12-3 设有一质量为 M 千克的物体在空中从地面以初速v0 开始上升，若此物体在上升过程中每秒损失的质量为m 千克，所受的阻力与速度成正比（比例系数为k ）,试求该物体运动速度与时间的关系.解: 设物体的下落速度为v(t) 下落时间为t .根

4、据题意及第二运动定律得M mtv gM mt k v ，即有方程：v kv gM m t，其中 g 为重力加速度.v(0) 0gkM m t CM m t ，微分方程，其通解为 v(t) 上述方程是一阶线性非mk mg M km ，gM k m k C M C v0 由v 0 v0 ，得到v0 Mmm k k下落速度与时间得关系为v(t) v gM1 mgM1 t 。mmtk m Mk m M0例 12-4 质量为 m 一辆汽车在公高速行驶，遇情况急刹车，此时速度达v0 ，刹车后滑行距离 s0 后终于仃下。假设:刹车后滑行阻力 f 为常数，空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为c 。试求 f

5、?2 dv 22cdvcfmd 2 sds2 fm c vv 2v 2 fm dt dsmdsmdt 2解：方程vs s0 v0vss(0) 0, s(0) v v0s 002c s mff v 2 sv 2; e0c c培训om - 2 -东门外创业1006（：62796032）2c s m eff由 vs 0 ,v 2 s v0 02c 000c2c scv 2c fv e f200m.02 c fc s0e m 1例 12-5 在一容器中，最初含有 A 公斤盐，它溶于 B 公升水中，今对容器中每分钟加入浓度为的盐水 M 公升，并抽出 N 公升(M N ) 溶液。假设搅拌能使浓度保持均匀。求容器中溶液浓度随时间t 的变化。解：设 xt 表示时刻t 容器中的盐的数量，时刻t 溶液的体积为V t B M N t ;时刻t 盐溶液浓度为： yt xt 。时段t, t t内盐量的变化x ：V t x M N t xdxNB M N tM x ;Vdt dx Nx M dtB M N t, 用 xt V t yt